人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）3

这是一份人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）3，共17页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。
 人教A版（2019）数学必修第二册期末素质检测模拟题（学校自测）3 一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）在中，，分别在边，上，为的中点，满足，，则A.  B.  C.  D. 2.（5分）在中，若，则为A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形3.（5分）设复数满足，且在复平面内对应的点位于第一象限，则A.  B.  C.  D. 4.（5分）在中，若：：：：，则角A.  B.  C.  D. 5.（5分）已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则6.（5分）已知，为单位向量，，则在的投影为A.  B.  C.  D. 7.（5分）复数满足，则是虚数单位的最大值是A.  B.  C.  D. 8.（5分）在中，，，，为的中点，为边上的一点，且，垂足为点，则A.  B.  C.  D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰——恢复经济正常运行国人万众一心，众志成城，防控疫情、复工复产，某企业对本企业名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是 
 A.
B. 从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为
C. 不到名职工倾向于继续申请休假
D. 倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过名.10.（5分）中，为上一点且满足，若为上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为11.（5分）如图三棱锥，平面平面，已知是等腰三角形，是等腰直角三角形，若，，球是三棱锥的外接球，则 
 A. 球心到平面的距离是 B. 球心到平面的距离是
C. 球的表面积是 D. 球的体积是12.（5分）气象意义上从春季进入夏季的标志为“当且仅当连续天每天日平均温度不低于”．现有甲、乙、丙三地连续天日平均温度的记录数据数据均为正整数，单位且满足以下条件：甲地：个数据的中位数是，众数是；乙地：个数据的中位数是，平均数是；丙地：个数据有个是，平均数是，方差是；根据以上数据，下列统计结论正确的是A. 甲地进入了夏季
B. 乙地进入了夏季
C. 不能确定丙地进入了夏季
D. 恰有地确定进入了夏季13.（5分）统计某校名学生的某次数学同步练习成绩满分分，根据成绩依次分成六组：，得到频率分布直方图如图所示，若不低于分的人数为，则下列说法正确的是A.
B.
C. 分以下的人数为
D. 成绩在区间内的人数占大半三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）在中，已知，，，则______.15.（5分）若三个数的方差为，则的方差为______ .16.（5分）若正四棱锥的底面边长为，高为，则它的体积为     .17.（5分）两个平面平行的判定定理： ________________________________两个平面平行的性质定理： __________________________________________.18.（5分）在棱长为的正方体中，异面直线与所成角的大小是______．四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）如图，四棱锥中，底面边长为的正方形，，平面平面； 
Ⅰ求证：平面； 
Ⅱ在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
 20.（12分）在中，角，，的对边分别是，，，已知，，的面积是． 
Ⅰ求的值； 
Ⅱ求的值．21.（12分）如图，在三棱柱中，丄，丄，，为的中点，且丄求证：丄平面；求多面体的体积．22.（12分） 
 22-1.如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．    证明：平面平面；    若，求三棱锥的体积．23.（12分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，，分别是，的中点． 
Ⅰ证明：平面； 
Ⅱ若是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求的值．
 
答案和解析1.【答案】D;【解析】如图，根据已知条件得：；；； 把带入上式并整理得  
 2.【答案】D;【解析】解：在中，角，，的对边分别为，，，满足， 
可得：， 
所以，或， 
所以为直角，或，即为等腰三角形或直角三角形． 
故选： 
利用两角和与差的三角函数化简等式右侧，然后化简可得，分类讨论即可得解． 
此题主要考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
 3.【答案】B;【解析】解：设， 
， 
，解得，， 
在复平面内对应的点位于第一象限， 
，， 
 
故选： 
根据已知条件，结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解． 
此题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．
 4.【答案】A;【解析】解：由正弦定理可知：：：：：：，  
不妨设，，，  
由余弦定理得，  
．  
故选A． 
由正弦定理可知：：：：，再利用余弦定理计算即可．  
该题考查了正弦定理，余弦定理，属于中档题．
 5.【答案】C;【解析】解：对于，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故错误； 
对于，平行于同一直线的两平面相交或平行，故错误； 
对于，垂直于同一平面的两直线平行，故正确； 
对于，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面，故错误． 
故选： 
对于，垂直于同一平面的两平面有可能相交或平行；对于，平行于同一直线的两平面有可能相交；对于，垂直于同一平面的两直线平行；对于，平行于同一平面的两直线相交、平行或异面． 
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
 6.【答案】C;【解析】 
这道题主要考查单位向量的概念，向量数量积的运算及计算公式，属于基础题． 
对等式两边平方，得出，进而利用投影的公式求出在的投影． 
 
解：根据条件，； 
由， 
得：； 
； 
； 
； 
； 
在的投影为： 
 
 
 
 
． 
故选C． 
 

 7.【答案】C;【解析】 
此题主要考查了复数的代数表示及其几何意义和复数的模，属于基础题. 
利用复数的模的几何意义得复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上，再利用复数减法的模 的几何意义得表示复数对应的点与点间的距离，最后结合题目条件计算得结论. 
 
解：因为由知，复数对应的点在以原点为圆心，半径为的圆上， 
表示复数对应的点与点间的距离， 
而复数对应的点所在圆的圆心到的距离为， 
所以 
故选
 8.【答案】D;【解析】解：建立如图所示的坐标系，，，，，的方程为：，的斜率为，的方程为：， 
，解得，， 
， 
 
故选： 
建立坐标系，求解直线方程，推出交点坐标，然后求解向量的数量积即可． 
此题主要考查向量的数量积的求法与应用，直线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．

 9.【答案】BD;【解析】 
此题主要考查根据扇形图进行相关命题的辨析的问题， 涉及到比例和频数的计算等知识，属于基础题. 
根据扇形图中的比例关系依次验证各个选项即可得到结果. 
 
解：对于，，错误； 
对于，倾向于在家办公的人员占比为，故对应概率为，正确； 
对于，倾向于继续申请休假人数为人，错误； 
对于，倾向于在家办公或在公司办公的职工人数为人，正确. 
故选 

 10.【答案】BD;【解析】解：因为为上一点且满足， 
所以，因为，则， 
又为上一点，所以，，三点共线，则有， 
由基本不等式可得，，解得，当且仅当时取等号， 
故的最大值为，故选项A错误，选项B正确； 
由公式可得，，当且仅当时取等号， 
故的最小值为，故选项C错误，选项D正确． 
故选：． 
利用三点共线的结论得到有，然后利用基本不等式求出的最值，即可判断选项A，，由公式可求得的最值，即可判断选项C，． 
此题主要考查了平面向量与不等式的综合应用，主要考查了三点共线结论的应用以及基本不等式的运用，考查了逻辑推理与转化化归能力，属于中档题．
 11.【答案】BC;【解析】 
此题主要考查正方体的几何特征，考查球的几何特征，考查空间点到平面的距离，考查三棱锥外接球的表面积和体积，属于较难题.根据题意，结合棱锥满足的条件，可以将棱锥放到正方体中，这样易于确定外接圆圆心，确定外接圆圆心，由正方体和球的几何特征，对各个量进行计算，逐项分析，即可判定各选项是否正确. 解：根据题中所给的条件，这个三棱锥可以置于棱长为的正方体内， 
如图，，，是正方体下底面三个顶点， 
 
正方体的上底面的中点即为此三棱锥的顶点， 
分别设，为外接圆圆心， 
则平面，平面， 
由正方体的几何特征，平面， 
故，平面，平面， 
所以平面， 
是等腰直角三角形，故是中点， 
故球心到平面的距离就是中点到平面的距离， 
是中点，到平面的距离是，故到平面的距离是， 
故球心到平面的距离是，错误在等腰三角形中，设为中点， 
是棱长，是棱长一半，，设其外接圆半径为如图， 
 则，，得：， 
解得，，所以，正确；设三棱锥外接球半径为， 
在中，，， 
所以，解得从而所以对，错.故选：
 12.【答案】AC;【解析】 
此题主要考查了众数、中位数、平均数、方差，属于中档题. 
根据题意，结合上述知识点逐一判定即可得出结论.解：甲地：个数据由小到大排，则，，，，，其中，满足进入夏季的标志；正确； 
乙地：将个数据由小到大排，则，其中， 
则，而，故，则和至少有一个小于， 
故不满足进入夏季的标志，错误； 
丙地：设个数据为，且，由方差公式可知： 
 
则 
， 
不妨设此时 
不满足进入夏季标准，正确，错误， 
综上，正确， 
故选
 13.【答案】BC;【解析】 
此题主要考查了频率分布直方图，属于基础题. 
利用频率分布直方图计算各个选项的值，判断得结论. 
 
解：因为不低于分的频率为，所以，故错误 
由频率分布直方图，得， 
解得，故正确 
因为分以下的频率为，所以分以下的人数为，故正确 
成绩在区间的频率为，故错误. 
故选
 14.【答案】45°或135°;【解析】解：因为在中，已知， 
由正弦定理， 
可得， 
所以或 
故答案为：或 
直接利用正弦定理，求出的正弦函数值，然后求出的值． 
本题是基础题，考查正弦定理的应用，考查计算能力．
 15.【答案】9;【解析】根据所给的三个数字的方差的值，列出方差的表示式要求，，的方差值，只要根据原来方差的表示式变化出来即可 
此题主要考查方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变.解：三个数，，的方差为， 
设三个数的平均数是，则，，的平均数是，   
有 
，，的方差是 
故答案为
 16.【答案】;【解析】 
此题主要考查棱锥体积的计算，求出底面积，公式即可求解.   
解：由题意正四棱锥的底面边长为，则底面积为，因此 ，故答案为 

 17.【答案】如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行;略;【解析】 
此题主要考查两平面平行的判定定理及两平面平行的性质定理，考查学生基础知识的记忆情况，属于基础题目. 
 
解：两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行； 
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 
故答案为：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
 18.【答案】;【解析】解：正方体中， 
连接、、，如图所示； 
 
则，且， 
四边形是平行四边形， 
， 
是异面直线与所成的角， 
连接，则是边长为等边三角形， 
， 
即异面直线与所成角是． 
故答案为：． 
根据题意，连接，得出是异面直线与所成的角，利用等边三角形求出它的大小． 
此题主要考查了空间中两条异面直线所成角的作法与计算问题，是基础题．
 19.【答案】（Ⅰ）证明：∵，∴PA2+PD2=AD2，∴AP⊥DP． 
∵，∴CD⊥面PAD， 
又∵AP⊂面ADP，∴AP⊥CD， 
且CD∩PD=D， 
∴AP⊥平面PCD． 
（Ⅱ）如图，设三棱锥E-BCD的高为h， 
三棱锥E-BCD的体积为V=，得h=1． 
在△ADP中，边AD上的高就是P到面ABCD的距离d，而d=， 
∴E是边PD的中点，∴=1．;
 【解析】 
Ⅰ由，得由平面平面得面，即可证得平面． 
Ⅱ三棱锥的体积为，得；在中，边上的高就是到面的距离，而，可得． 
此题主要考查了空间线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
 20.【答案】解：（Ⅰ）因为△ABC的面积是，c=5，， 
所以=，即=，求得a=3． 
由余弦定理=+-2accosB，得，求得b=7． 
（Ⅱ）由正弦定理，可得， 
∴．;【解析】 
Ⅰ由条件利用正弦定理求得的值，再利用余弦定理求得的值．  
Ⅱ由正弦定理求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值． 
此题主要考查正弦定理和余弦定理、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
 21.【答案】证明：，为的中点， 
， 
，， 
平面， 
，又，， 
平面 
为三棱柱的体积减去三棱锥的体积， 
多面体的体积为;【解析】此题主要考查了线面平行和线面垂直的判定定理的应用，三棱锥体积的计算．考查了学生立体几何综合素质． 
先证明出，进而由，则可利用线面垂直的判定定理证明出平面，进而可知，最后根据线面垂直的判定定理证明出平面； 
多面体的体积为三棱柱的体积减去三棱锥的体积. 
 

 22.【答案】证明：连接，交于点，设中点为， 
连接，． 
，分别为，的中点， 
，且， 
，且， 
，且． 
四边形为平行四边形，则，即， 
因为平面，平面， 
， 
四边形是菱形，， 
，平面， 
， 
平面， 
平面， 
平面平面． 
解：，是等边三角形，可得． 
又平面，平面，． 
， 
平面，是三棱锥的高．  
， 
 
．;
 【解析】该题考查平面与平面垂直的判定，三棱锥体积的计算，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 
连接，交于点，设中点为，由已知结合三角形中位线定理可得四边形为平行四边形，则，即再由平面，可得又四边形是菱形，得由线面垂直的判定可得平面，则平面进一步得到平面平面． 
由，可得是等边三角形，得再由平面，得求出三角形的面积，证得是三棱锥的高，即可求出结果．
 23.【答案】解：Ⅰ证明：连接，，且是的中点， 
， 
又面平面，平面平面， 
平面， 
平面， 
， 
又四边形为菱形，且，为棱的中点， 
，， 
， 
又，， 
平面； 
Ⅱ如图，连接，， 
 
 
 
 
 
 
 
设，则， 
， 
又， 
， 
，解得：，即． 
;
 【解析】此题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的性质，线面垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考查了推理论证能力和空间想象能力，属于中档题． 
Ⅰ连接，可得，利用面面垂直的性质可证平面，利用线面垂直的性质可证，由，，可证，，，利用线面垂直的判定定理即可证明平面； 
Ⅱ连接，，设，则，利用，可得，进而解得的值，即可得解的值．