湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期5月适应性考试（三）数学试题（含答案）

湖北省襄阳市第四中学2023届高三下学期5月适应性考试（三）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．已知复数满足，则的虚部为（    ）

A．2 B． C． D．

3．在的展开式中，的系数为（    ）．

A． B．5 C． D．10

4．已知平面直角坐标系内直线的方向向量，点和在上的射影分别是和，设，则（    ）

A． B． C． D．2

5．已知是双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，过点向轴作垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知矩形，，，沿折起成，若点在平面上的射影落在的内部（包括边界），则四面体的体积的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

7．为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（    ）元（参考数据：，）

A．35200 B．43200 C．30000 D．32000

8．已知函数存在零点，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列命题中，正确的是（    ）

A．夹在两个平行平面间的平行线段相等

B．三个两两垂直的平面的交线也两两垂直

C．如果直线平面，，那么过点且平行于直线的直线有无数条，且一定在内

D．已知，为异面直线，平面，平面，若直线满足，，，，则与相交，且交线平行于

10．已知函数的图像相邻两个对称中心之间的距离是，将的图像先向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数，则下列结论错误的是（    ）

A．的最小正周期是

B．在上单调递增

C．的图像关于直线对称

D．的图像关于点对称

11．记函数与的定义域的交集为I．若存在I，使得对任意I，不等式恒成立，则称(，)构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M函数对”的有（    ）

A．， B．，

C．， D．，

12．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列说法不一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

三、填空题

13．若两个锐角，满足，则______.

14．已知随机变量服从，则当______时，概率最大.

15．椭圆与抛物线有公共点，则的取值范围是______.

16．我校为了支援山区教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，新闻记者采访其中某位队员时询问了本团队的人员构成情况.该队员回答问题的结果如下：①支教团队有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教团队中教师的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上五个条件都成立.据此，我们可以推测该队员的职称是______.（从下列四个选项中选出正确的数字代号填空：（1）小学中级；（2）小学高级；（3）中学中级；（4）中学高级）

四、解答题

17．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，，在底面的射影为的中点，为的中点.

(1)求证：平面平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

18．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

(1)求角的大小；

(2)若的外接圆半径为1，且的外心满足，，求的最大值.

19．已知数列满足，且的前100项和

(1)求的首项；

(2)记，数列的前项和为，求证：.

20．已知椭圆的方程为，在椭圆上，离心率，左、右焦点分别为、.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于，两点，连接，并延长交椭圆于、两点，连接，试探索直线与直线的斜率之比是否为定值，并说明理由.

21．为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2，3班分别有，，的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为.

(1)现从三个班中随机抽取一位同学：

（i）求该同学有购买意向的概率；

（ii）如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；

(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率（精确到0.01）.

22．已知：函数，且，.

(1)求证：；

(2)设，试比较，，，的大小.

参考答案：

1．C

2．B

3．C

4．D

5．A

6．C

7．D

8．B

9．ABD

10．ACD

11．AC

12．BCD

13．

14．5或6

15．

16．（1）

17．(1)证明见解析

(2)

18．(1)

(2)2

19．(1)

(2)证明见解析

20．(1)

(2)是，理由见解析

21．(1)（i）；（ii）

(2)0.75.

22．(1)证明见解析

(2)