天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题（含答案）

天津市南开中学2023届高三高考模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．函数的部分图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

3．已知，，则“”是“函数是奇函数”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

A．1盏 B．3盏

C．5盏 D．9盏

5．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则 (　　)．

A．c>b>a B．b>c>a

C．a>c>b D．a>b>c

6．若向量，满足：，，，，则在上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

7．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A且离心率为，若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

8．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是

A． B． C． D．

9．直线l：ax+ y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜.其中，所有正确结论的序号是（　　）

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

二、填空题

10．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则______．

11．某次体检，位同学的身高（单位：米）分别为，，，，，，，则这组数据的第百分位数是_________（米）

12．的展开式的常数项为________.（用数字作答）

13．海棠同学在参加南开中学陶艺社时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为32厘米的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为厘米，则该球的表面积为_________平方厘米.

三、双空题

14．某校从5名学生中选派3人参加劳动技能大赛，已知这5名学生中有高一年级学生2名，高二年级学生2名，高三年级学生1名，则所选3人分别来自不同年级的概率为___________，记所选3人中高一年级学生的人数为，则随机变量的数学期望___________.

四、填空题

15．已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．

五、解答题

16．在中，，，分别为角，，所对的边，且.

(1)求角的大小；

(2)若，求的值.

17．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)求点到平面的距离.

18．已知数列是首项的等差数列，设.

(1)求证：是等比数列；

(2)记，求数列的前项和；

(3)在（2）的条件下，记，若对任意正整数，不等式恒成立，求整数的最大值.

19．已知椭圆的左顶点为，离心率为，过点且斜率为的直线与椭圆交于点与轴交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为的中点.

（i）若轴上存在点，对于任意的，都有（为原点），求出点的坐标；

（ii）射线（为原点）与椭圆交于点，满足，求正数的值.

20．已知函数，（为自然对数的底数）

(1)当时，求的单调区间；

(2)时，若函数与的图象有且仅有一个公共点.

（i）求实数的集合；

（ii）设经过点有且仅有3条直线与函数的图象相切，求证：当时，.

参考答案：

1．B

2．C

3．B

4．B

5．D

6．D

7．D

8．D

9．C

10．i

11．

12．

13．

14．         

15．

16．(1)

(2)

17．(1)证明见解析

(2)

(3)

18．(1)证明见解析.

(2)

(3)11

19．（Ⅰ）； （Ⅱ）（i）见解析； （ii）.

20．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)（i）（ii）证明见解析