安徽省定远中学2023届高三下学期高考冲刺卷（三）数学试卷（含答案）

安徽省定远中学2023届高三下学期高考冲刺卷（三）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、若复数，则z的共轭复数为(   )

A. B. C. D.

3、函数与在均单调递减的一个充分不必要条件是(   )

A. B. C. D.

4、新高考数学中的不定项选择题有4个不同选项，其错误选项可能有0个、1个或2个，这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的4个不同选项的排列方式共有(   )

A.24种 B.36种 C.48种 D.60种

5、已知向量，，，若，则(   )

A.5 B.6 C.7 D. 8

6、已知实数x，y满足，则的最小值为(    )

A. B. C. D.

7、已知，，且，，则 (   )

A. B. C. D.或

8、已知，，,(e为自然对数的底数)，则(    )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：

则下列结论中正确的是(   )

A. 招商引资后，工资性收入较前一年增加

B. 招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍

C. 招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的

D. 招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍

10、已知圆，直线，下列结论正确的是(   )

A.直线l恒过点

B.若直线l平分圆C，则

C.圆心C到直线l的距离的取值范围为

D.若直线l与圆C交于点A，B，则面积的最大值为

11、阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面”

解答问题：已知在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，，则下列说法正确的是(   )

A.四棱柱在其各顶点处的离散曲率都相等

B.若，则四棱柱在顶点A处的离散曲率为C.若四面体在点处的离散曲率为，则平面

D.若四棱柱在顶点A处的离散曲率为，则与平面的夹角为

12、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则(   )

A.以线段AB为直径的圆与直线相切

B.以线段为直径的圆与轴相切

C.当时，

D.的最小值为4

三、填空题

13、的展开式中含项的系数为______ ．

14、中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为______ ．

15、已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点若，则C的离心率为____________．

16、已知函数在区间上有零点，则实数m的取值范围是__________．

四、解答题

17、已知数列满足对任意m，都有，数列是等比数列，且，，．

(1)求数列，的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和．

18、在中，D是边BC上的点，,．

(1)求；

(2)若，求的面积．

19、国学小组有编号为1，2，3，，n的n位同学，现在有两个选择题，每人答对第一题的概率为，第二题的概率为，每个同学的答题过程都是相互独立的，比赛规则如下：

①按编号由小到大的顺序依次进行，第号同学开始第1轮比赛，先答第一题；

②若第号同学未答对第一题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续比赛；③若第号同学答对第一题，再答第二题，若该生答对第二题，则比赛在第i轮结束；若该生未答对第二题，则第i轮比赛失败，由第号同学继续答第二题，且以后比赛的同学不答第一题；

④若比赛进行到了第n轮，则不管第n号同学答题情况，比赛结束．

(1)令随机变量表n示名同学在第X轮比赛结束，当时，求随机变量的分布列；

(2)若把比赛规则③改为：若第号同学未答对第二题，则i第轮比赛失败，第号同学重新从第一题开始作答令随机变量表示n名同学在第轮比赛结束．

(i)求随机变量的分布列；

(ii)证明：随n增大而增大，且小于3．

20、如图，点O是正四棱锥的底面中心，四边形PQDO是矩形，．

(1)求点B到平面APQ的距离；

(2)设E为棱PC上的点，且，若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为，试求实数的值．

21、，分别是椭圆的左、右焦点，，M是E上一点，与x轴垂直，且

(1)求E的方程；

(2)设A,B,C,D是椭圆E上的四点，AC与BD相交于，且，求四边形ABCD的面积的最小值．

22、已知函数．

(1)若，讨论函数的单调性；

(2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围．

参考答案

1、答案： D 

解析：根据题意，集合，，

则．

故选：D．

2、答案： C

解析：复数，

则z的共轭复数为．

故选：C．

3、答案： C 

解析：与均单调递减，

，

，

⫋，

函数与均单调递减的一个充分不必要条件是．

故选：C．

4、答案： B

解析：当错误选项恰有1个时，4个选项进行排列有种；

当错误选项恰有2个时，先排2个正确选项，再将2个错误选项插入到3个空位中，有种．

故共有种．

故选：B．

5、答案： C 

解析：，，，，

则，即，解得，，

故．

故选：C．

6、答案：A

解析：实数x，y满足，

，当且仅当时，等号成立．

故选：A．

7、答案： B

解析：因为，，

所以，则，

因为，，所以，

又因为，所以，

所以，

所以

．

故选：B．

8、答案： A 

解析：对两边取对数，

可得，

又在上单调递增，，

；

又，

，

．

故选：A．

9、答案： AD 

解析：设招商引资前经济收入为a，则招商引资后经济收入为，

对于A，招商引资前工资性收入为，招商引资后工资性收入为，

因为，所以招商引资后，工资性收入较前一年增加了，故A正确；

对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，

因为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；

对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和占，

所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和不超过该年经济收入的，故C错误；

对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后经营净收入为，

所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确．

故选：AD．

10、答案： AD 

解析：由直线，得，得直线过定点，故A正确；

圆C化为标准方程得，圆心，

直l线平分圆C，直线l过圆心C，，解得，故B错误；

圆心C到直线l的距离的最大值为，最小值为0，

直线l不能表示表示，圆心C到直线不能为2，故圆心C到直线l的距离的取值范围为，故C错误；

设圆心C到直线l的距离为d，的面积为，

当且仅当，即时取等号，故D正确．

故选：AD．

11、答案： BC

解析：对于A，当直四棱柱的底面不为正方形时，

其在同一底面且相邻的两个顶点处的离散曲率不相等，故A错误；

对于B，若，则菱形ABCD为正方形，

平面ABCD，AB，平面ABCD，

，，

直四棱柱在顶点处的离散曲率为，故B正确；

对于C，在四面体中，，，

，

四面体在点上的离散曲率为，

解得，由题意知，，，

直四棱柱为正方体，

平面，平面，

，

，，平面，

平面，，

同理，，

，，平面，

平面，故C正确；

对于D，直四棱柱在顶点A处的离散曲率为，

则，是等边三角形，

设，则是与平面的所成角，

，故D错误．

故选：BC．

12、答案： ACD 

解析：由抛物线的方程为，

则该抛物线的焦点F的坐标为，准线方程为，

过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，

不妨设直线AB的方程为，

联立，

消x可得，

设，，

则，，

对于选项A，分别过A、B、M作抛物线的准线的垂线，垂足分别为C、E、D，

由抛物线的定义可得，

又，

则，

即以线段AB为直径的圆与直线相切，

即选项A正确；

对于选项C，由，

过B作，

不妨设，

则，

则，，

则，

即直线AB的倾斜角为，

则直线AB的方程为，

即，

则，

则，

即选项C正确；

对于选项B，当直线AB的方程为时，

由选项C可得，，

则线段BM的中点坐标为，

又，

又线段BM的中点坐标到y轴的距离小于，

即以线段BM为直径的圆与轴相交，

即选项B错误；

对于选项D，

由选项A可得，

当且仅当时取等号，

即的最小值为4，

即选项D正确，

故选：ACD．

13、答案：72 

解析：的展开式中含项的系数为．

故答案为：72．

14、答案：196 

解析：三三数之剩二的数为：2，5，8，11，⋅⋅⋅，188，191，194，197，200；

五五数之剩三的数为：3，8，13，⋅⋅⋅，188，193，198，

同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数最小是8，最大为188，

数列最大项和最小项之和为196．

故答案为：196．

15、答案： 

解析：由题可知，

双曲线的渐近线的方程为，可取直线OM方程为，

方程是，

联立，可得，

同理可得

所以，

又，

所以，解得，

所以

故答案为．

16、答案： 

解析：与在上都单调递增，

在上单调递增，

在区间上有零点，

，，

，

实数m的取值范围为．

故答案为：．

17、答案：(1)

(2)

解析：(1)有，

，

数列是公差，首项的等差数列，

．

为等比数列，且，，，

，，，

，，

，；

(2)由(1)得，

，①

，②

①-②，得，

． 

18、答案：(1)

(2)

解析：(1)在中，由正弦定理得，即①，

在中，由正弦定理得，即②，

，，

由得，

，，

，解得，

，

或，

当时，不满足，不合题意，舍去；

当时，满足题意，

故；

(2)由(1)得，，

在中，，

，即，

是等腰三角形，

过点C作于点E，如图所示：

，

，即的面积为． 

19、答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)由题设，可取值为1,2,3，

,，

因此的分布列为：

(2)(i)可取值为1，2，…，n，

每位同学两题都答对的概率为，则答题失败的概率均为：，

所以时，；当时，

故的分布列为：

证明：(ii)由(i)知：，

，故单调递增；

由上得，故，

，

故． 

20、答案：(1)

(2)或

解析：(1)点O是正四棱锥的底面中心，

所以平面ABCD，又四边形PQDO矩形，

所以，所以平面ABCD，

以D为坐标原点，DA，DC，DQ为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，

设平面APQ的一个法向量为，

则，即，令，则，，

所以平面APQ的一个法向量为，

又，

所以B到平面APQ的距离；

(2)因为，所以，

所以，

设直线DE与平面APQ所成角为，则，，

解得或． 

21、答案：(1)

(2)

解析：(1)由于，且则，，

又，得．

又，则，于是，

故E的方程为．

(2)当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，，，则直线AC的方程为，

联立及得，

所以，．．

由于直线BD的斜率为，用代换上式中的k可得．

，四边形ABCD的面积为．

由，

所以，当时，即时取等号．

当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积，

综上可得，四边形ABCD面积的最小值为． 

22、答案：(1)在和上单调递增，在上单调递减

(2)

解析：(1)函数的定义域是，，

当时，由，得或，

由，得，

在和上单调递增，在上单调递减；

(2)至少存在一个，使得成立，

即当时，有解，

当时，，

有解，

令,，则，

，

在上单调递减，，

，即，

实数a的取值范围．