2023年云南省昆明市五华区中考数学二模试卷（含解析）

2023年云南省昆明市五华区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示，某地一天的最低气温为，最高气温为，则该地这天的温差为(    )

A.
B.
C.
D.

2.  石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

4.  右图是几个完全相同的正方体组成的几何体的俯视图，则这个几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若有意义，则实数的取值范围在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  小红和小颖相约到某湿地公园健身步道上参加健步走活动，他们同时同地出发，线路长度为已知小红的速度是小颖的倍，小红比小颖提前分钟走完全程，设小颖的速度为，则下列方程中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  小明玩游戏：一张纸片，第一次将其撕成四小片，以后每次都将其中一片撕成更小的四片，如此进行下去当小明撕了次后，共有张纸片，则的值是(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  “学习强国”学习平台是中共中央宣传部主管，以习近平新时代中共特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台．王老师最近一周在“学习强国”的每日学习积分明细如下表所示，则下列说法错误的是(    )

A. 中位数是 B. 众数是 C. 平均数是 D. 方差是

10.  已知三个点，，在反比例函数的图象上，其中，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图所示，在▱中，按以下步骤作图：连接，以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图所示，圆锥的侧面积是，底面直径是一只电子昆虫以的速度先从圆锥的顶点沿母线爬到点，再沿底面圆周爬行一周后回到点，然后从点沿母线爬回点设它的运动时间为单位：，它与点的距离为单位：，则关于的函数图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13.  在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形如图所示，是格点三角形，，与网格线分别交于，两点若小正方形的边长为，则的长为______ ．

14.  计算： ______ ．

15.  为测量校园水平地面上一棵树的高度，学校数学兴趣小组根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图所示的测量方案：把这面镜子水平放置在地面点处，然后观测者沿着直线后退到点，恰好在镜子里看到树的最高点，再用皮尺测量，和观测者目高若，，，则树的高度为______

16.  已知正方形的边长为，点是边上一点，，连接，将绕点旋转，得到，则的面积为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
在一次跨学科主题学习活动中，郭老师请同学们以“糖水加糖变甜了”糖水一直未饱和，这一生活常识为背景提炼出一个数学命题，然后给出严格的数学证明小华设加糖前糖水的浓度为，加糖的量为，则变甜后糖水的浓度为，这就得到数学命题：
如果，，那么．
请你证明这个命题是真命题．

19.  本小题分
云南鲜花饼以盛开在味蕾里的沁人花香、本真而自然的美好让人食而不忘，成为云南最具特色的伴手礼某超市现有五种口味的鲜花饼，分别是：原味，紫薯味，抹茶味，茉莉味，坚果味数学兴趣小组为了解人们对这五种口味鲜花饼的喜爱情况，对该超市一天的顾客进行抽样调查，然后根据统计结果绘制如下统计图：

说明：参与本次抽样调查的每一位顾客在上述五种口味的鲜花饼中，选择且只选择了一种喜爱的鲜花饼．
请根据以上信息，解答下列问题：
本次接受调查的顾客共有______ 人， ______ ， ______ ；
补全条形统计图；
若该超市这天有名顾客，估计喜爱原味鲜花饼的顾客有多少人？

20.  本小题分
某班数学兴趣小组进行如下活动：组长从一副扑克牌中选取六张分给两位同学，小明分到的三张扑克牌分别是方块，，；小亮分到的是方块，，两人将分到的牌随机放在桌上数字一面朝下，然后各自从对方的牌中抽一张进行比较，抽牌数字较大的人当“小老师”，给全班同学讲一个关于数学家的故事．
若小亮从对方的扑克牌中抽一张，则抽到方块的概率是______ ；
用列表法或画树状图法中的一种方法，求小明能当“小老师”的概率．

21.  本小题分
富民县今年种植的杨梅喜获丰收，杨梅上市的成本价元，售价为元，该农户对杨梅一个月天的销售情况进行记录，然后将日销量单位：与销售时间单位：天之间的函数关系绘成如图所示的图象图中线段表示的函数关系中，时间每增加天，日销量减少．
请直接写出该农户第天的日销量和这天的销售利润；
求与之间的函数关系式，并写出的取值范围；
求销售期间日销售最大利润是多少元？

22.  本小题分
如图所示，在矩形中，，点，分别在边，上，且于点．

当时，求证：≌；
如图，当，，时，求的值；
如图，连接交于点，当点与点重合时，点和点关于直线对称，请直接写出此时的值．

23.  (本小题8.0分)
如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若，求cos∠E.

24.  本小题分
已知抛物线经过点，两点，其中．
当，时，求和的值；
若点是抛物线的顶点，且，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：某地一天的最高气温是，最低气温是，
该地这天的温差是：．
故选：．
根据题意算式，计算即可得到结果．
此题考查了有理数的减法，熟练掌握减法法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，正确记忆一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，
，
，
故选：．
根据角的和差求出，根据平行线的性质求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由俯视图知：共列，左边一列有两个正方体，右侧一列有个正方体，选项符合，
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解几何体的俯视图，难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：，无法合并，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、立方根的性质、完全平方公式分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、立方根的性质、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由于有意义．则且，
即，
所以，
将在数轴上表示为：

故选：．
根据二次根式、分式有意义的条件得出的取值范围，再在数轴上将解集表示出来，最后判断即可．
本题考查二次根式、分式有意义的条件以及数轴表示不等式的解集，理解二次根式、分式有意义的条件，
 

7.【答案】 

【解析】解：分钟
根据题意，得，
故选：．
设小颖的速度为，则小红的速度为，根据时间路程速度结合小红比小颖提前分钟走完全程，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：从图中可以看出，当小明撕了次时，手中有张纸；
当小明撕了次时，手中有张纸；

可以发现：小明撕了几次后，他手中纸的张数等于与几的乘积加．
设撕的次数为，纸的张数为，按照上面的规律可得：，
故，
解得：．
故选：．
直接利用每次纸片的数量得出变化规律，进而得出答案．
此题主要考查了图形的变化类，正确得出变化规律是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、将表格中的数据排序为：，，，，，，，则中位数为，该项说法正确，不符合题意；
B、表格中的数据出现次数最多的是，则众数为，该项说法正确，不符合题意；
C、表格中的数据的平均数为，该项说法正确，不符合题意；
D、表格中的数据的方差为，该项说法错误，符合题意；
故选：．
求出“学习强国”的每日学习积分的平均数、众数、中位数、方差即可得出答案．
本题主要考查平均数，众数，中位数，方差，熟练掌握平均数、众数、中位数、方差的定义及求法是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小．
，
、两点在第三象限，点在第一象限，
．
故选：．
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在▱中，有，，
，
由作图得：垂直平分，
，
，
，
故选：．
先根据平行四边形的性质，把角进行转化，再根据三角函数及勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理及三角函数的意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积是，底面直径是，
，
解得：，
当电子昆虫在上爬行时，它与点的距离逐渐增大，直到增大，即此段函数图象为一条向上倾斜的直线，过点，
当电子昆虫沿底面圆周爬行时，它与点的距离不会发生变化，即此段函数图象为一条水平的直线，
当电子昆虫从点沿母线爬回点的过程中，它与点的距离逐渐减小，直到，即此段函数图象为一条向下倾斜的直线．
故选：．
圆锥的侧面展开图为扇形，先利用圆锥的侧面积是，求出母线的长，当电子昆虫在上爬行时，它与点的距离逐渐增大，直到增大等于的长；当电子昆虫沿底面圆周爬行时，它与点的距离不会发生变化；当电子昆虫从点沿母线爬回点的过程中，它与点的距离逐渐减小，直到据此即可判断．
本题考查动点问题的函数图象，理解题意，正确算出圆锥母线的长度是解题的前提，再分段分析出函数的图象的特点，以此解决问题．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
：：：，
，
，，
是的中位线，
．
故答案为：．
由，得到：：：，而，因此，，故DE是的中位线，得到．
本题考查平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，关键是由平行线分线段成比例定理，推出是的中位线．
 

14.【答案】 

【解析】解：
；
；


．
故答案为：．
先通分，再合并成一个分式，最后约分化简即可．
本题考查了分式的加减，关键是找到最简公分母进行通分．
 

15.【答案】 

【解析】解：过点作于点，则，
，
，
，，
，
∽，
，
米，米，米，
，
解得米．
故答案是：．
先过作于点，再根据入射角等于反射角可知，，故可得出，由，可知，进而可得出∽，再由相似三角形的对应边成比例即可求出大树的高度．
本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，熟知相似三角形的判定定理及性质是解答此题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图，当将绕点逆时针旋转，

，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，，
的面积，
如图当将绕点顺时针旋转，
同理可证≌，
，
的面积，
故答案为：或．
分两种情况讨论，由“”可证≌，可得，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：

，
，，
，，
．
如果，，那么是真命题． 

【解析】用比差法即可证明即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握分式的性质，能进行异分母分式的加减运算．
 

19.【答案】     

【解析】解：本次接受调查的顾客共有：人，
故，
，即，
故答案为：，，；
组人数为：人，
补全条形统计图如下：

人，
答：估计喜爱原味鲜花饼的顾客有人．
用的人数除以可得样本容量；用的人数除以样本容量可得的值；用乘所占百分百可得的值；
用样本容量减去其他四组人数可得组人数，进而补全条形统计图；
用乘样本中所占百分百即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

20.【答案】 

【解析】解：若小亮从对方的扑克牌中抽一张，则抽到方块的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小明能当“小老师”的结果有种，
小明能当“小老师”的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小明能当“小老师”的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：由图象可知，第天的日销售量为斤，
线段表示的函数关系中，时间每增加天，日销量减少斤，
第天的日销售量为斤，
这天的销售利润为：元．
该农户第天的日销量为斤，这天的销售利润为元；
设直线的函数关系式为，
将代入，
得：，
解得：．
直线的函数关系式为；
设直线的函数关系式为，
将、代入，
得，
解得：，
直线的函数关系式为，
联立两函数解析式得方程，，
解得：，，
点的坐标为，
与之间的函数关系式为；
折线的最高点的坐标为，
元，
当时，日销售利润最大，最大利润为元．
答：销售期间日销售最大利润是元． 

【解析】根据第天的日销售量为斤，且时间每增加天，日销量减少斤求出第天的日销售量；并根据每斤的利润日销量得出利润；
根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线、的函数关系式，联立两函数关系式成方程组可求出点的坐标，即可找出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
根据销售量最大时，利润最大求出最大利润．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式．
 

22.【答案】证明：当时，，
矩形是正方形，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，，，
≌；
解：在矩形中，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
解得：或舍去，
；
解：交于点，当点与点重合时，
，
点和点关于直线对称，
是的垂直平分线，
，
，
在中，根据勾股定理得，
，
，
，
，
的值为． 

【解析】根据题意可得矩形是正方形，再证明≌即可；
证明∽，可得，从而得到，再由勾股定理，即可求解；
根据题意可得，然后利用勾股定理即可求解．
本题主要考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识是解题的关键．
 

23.【答案】（1）证明：∵OP⊥AB于点C，
∴BC=AC，
∴PB=PA，
∴∠PBA=∠PAB，
∵OB=OA，
∴∠OBA=∠OAB，
∵PA为⊙O的切线，A为切点，
∴PA⊥OA，
∴∠PBO=∠PBA+∠OBA=∠PAB+∠OAB=∠PAO=90°，
∵OB是⊙O的半径，且PB⊥OB，
∴PB为⊙O的切线．
（2）解：∵∠PBO=∠BCO=90°，
∴∠BPO=∠CBO=90°-∠BOP，
∴=tan∠BPO=tan∠CBO==，
∴BP=3OB，
设AE=x,OE=y,OA=OB=a,则PA=PB=3a,
∵∠OAE=90°，
∴y2-x2=a2，
∵==cos∠E，
∴=，
∴y2-x2=3ax-ay,
∴a2=3ax-ay,
∴a=3x-y,
将a=3x-y代入y2-x2=a2，得y2-x2=（3x-y）2，
整理得5x=3y,
∴cos∠E===． 

【解析】（1）根据垂径定理证明OP垂直平分AB，则PB=PA，所以∠PBA=∠PAB，而∠OBA=∠OAB，则∠PBO=∠PBA+∠OBA=∠PAB+∠OAB=∠PAO=90°，即可证明PB为⊙O的切线；
（2）由∠PBO=∠BCO=90°，得∠BPO=∠CBO=90°-∠BOP，则=tan∠BPO=tan∠CBO==，所以BP=3OB，设AE=x,OE=y,OA=OB=a,则PA=PB=3a,y2-x2=a2，由==cos∠E，得y2-x2=3ax-ay,则a2=3ax-ay,所以a=3x-y,于是得y2-x2=（3x-y）2，整理得5x=3y,则cos∠E==．
此题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定与性质、同角的余角相等、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明∠BPO=∠CBO是解题的关键．
 

24.【答案】解：抛物线，
对称轴为直线，
，，
，
，
，，
；
的值为，的值为；
点是抛物线的顶点，
，
，
，
，
，
，
，
把代入得，，
解得，
开口向下，
或． 

【解析】根据抛物线的得出，解得，求得，，把代入即可求得；
由题意可知，解得，求得，化成顶点式得到顶点坐标，即可求得，解不等式即可求得的取值，求得抛物线于直线的交点坐标，结合图象即可求得的取值范围．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质，数形结合是解题的关键．