2023年浙江省温州市鹿城区中考数学二模试卷（含解析）

2023年浙江省温州市鹿城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  比大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是由个大小相同的正方体组合而成的几何体，其俯视图是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某商店一天售出各种商品的销售额的扇形统计图如图所示，如果知道这天家电的销售额为万元，那么这天“其他”商品的销售额为(    )

A. 万元
B. 万元
C. 万元
D. 万元

4.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某校举办诗词大会有名女生和名男生获奖，现从中任选人去参加区诗词大会，则选中女生的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以千米时的速度用了小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度千米时与时间小时的函数图象为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的直径，，则(    )

A.
B.
C.
D.

9.  二次函数中，当时，随的增大而增大，则一次项系数满足(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，中，，分别以，，为边在外部作正方形，，将正方形沿直线翻折，得到正方形，与交于点，点在边上，与交于点，记的面积为，四边形的面积为，若，，则正方形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  分解因式：______．

12.  某高校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织学生开展植树活动，为了解全校学生的植树情况，学校随机抽查了名学生的植树情况，将调查数据绘制成如图所示的统计图．那么这组数据的众数是______棵，平均每人植树______棵．

13.  计算： ______ ．

14.  如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为______．

15.  如图，在矩形中，，，若点在线段上，，交于点，沿折叠落在处，当为等腰三角形时， ______ ．

16.  如图，有一块矩形木板，，，工人师傅在该木板上锯下一块宽为的矩形木板，并将其拼接在剩下的矩形木板的正下方，其中、、、分别与、、、对应．现在这个新的组合木板上画圆，要使这个圆最大，则的取值范围是______，且最大圆的面积是______．
 

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．
将绕点旋转，请画出旋转后对应的；
将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出平移后的．

19.  本小题分
我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查每人从中必须选取一项，且只能选一项，男女生人数相等，将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题．

将条形统计图补充完整；
本次抽样调查的样本容量是______ ；
已知该校有名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数．

20.  本小题分
如图，在中，，交，分别于点、，已知．
求证：平分；
当时，请判断与的大小关系，并说明理由．

21.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中．已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
求反比例函数和一次函数的解析式；
根据图象，直接写出当不等式成立时，的取值范围．

22.  本小题分
如如图，在中，，点为的中点，过点作的垂线交于点，过点作交的延长线于点，连结，．
求证：四边形是菱形；
若，，连结，求的长．

23.  本小题分
如图，某水库上游有一单孔抛物线型拱桥，它的跨度为米最低水位与在同一平面时桥面距离水面米，桥拱两端有两根米高的水泥柱和，中间等距离竖立根钢柱支撑桥面，拱顶正上方的钢柱长米．
建立适当的直角坐标系，求抛物线型桥拱的解析式；
在最低水位时，能并排通过两艘宽米，高米的游轮吗？假设两游轮之间的安全间距为米
由于下游水库蓄水及雨季影响导致水位上涨，水位最高时比最低水位高出米，请问最高水位时没在水面以下的钢柱总长为多少米？

24.  本小题分
如图，中，，，为边上一点，以为圆心，为半径的与边相切于点，交、于点、点、分别在线段、上不与端点重合，且满足．
求的长；
设，，求与之间的函数关系式；
如图，作，交于点，连接，．
当为直角三角形时，求的长；
当点关于的对称点落在边上时，请直接写出的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接根据有理数加法运算即可．
本题主要考查有理数的加法运算，掌握有理数加法法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：从上边没看第一列一个小正方形，第二列一个小正方形，第三列一个小正方形，
故选：．
根据从上面看到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．由家电销售额及其所占百分比求得销售总额，根据百分比之和为求得“其他”销售额所占百分比，再用总销售额乘以对应百分比可得．
本题考查的是扇形统计图的知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【解答】
解：各种商品的销售总额为万元，
“其他”商品销售额所占的百分比为，
这天“其他”商品的销售额为万元．
故选B．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．
根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．
【解答】
解：，
，
．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：诗词大会有名女生和名男生获奖，共人，
则选中女生的概率是；
故选：．
先求出总的获奖人数，再根据概率公式列出算式，即可得出答案．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得，，解得：故选：．
利用方程有两个不相等的实数根时，，建立关于的不等式，求出的取值范围．
总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：由于返回时的速度为匀速，
则汽车的速度不随时间的变化而变化，
故函数图象对应为选项中的图象，
故选：．
根据题意分析可得对应函数图象．
本题考查了函数图象，解题的关键是读懂题意，掌握变量的变化情况．
 

8.【答案】 

【解析】解：是的直径，，
，
．
故选：．
由是的直径，，可求得的度数，又由圆周角定理，可求得的度数．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
二次函数的图象开口向上，
当时，随的增大而增大，
，
解得：，
故选：．
根据的值先确定抛物线的开口方向，然后再根据已知当时，随的增大而增大，可得抛物线的对称轴，从而进行计算即可解答．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，则，
由题意知：，
在和中，，
，
，
∽，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
▱，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
解得：，
，
故选：．
设，则，证明∽，得出，根据，再证明≌，得出，可以得出，得出等式，求解即可得到．
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是掌握相应的判定定理，通过转化的思想及等量代换的思想进行求解．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了公式法因式分解熟记平方差公式是解题的关键．
本题符合平方差公式的结构特点，利用平方差公式：分解可求．
【解答】
解：

．
故答案为．  

12.【答案】   

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，则众数是；
平均数棵，
故答案为：，．
利用众数的定义求得众数；根据平均数的计算方法：求出所有数据的和，然后除以数据的总个数；和中位数即可．
本题考查的是加权平均数的求法．众数的定义，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了分式加减运算，题比容易．
进行同分母分式加减运算最后要注意将结果为最简分式．
【解答】
解：，
故答案．  

14.【答案】 

【解析】解：勒洛三角形的周长，
故答案为：．
根据弧长公式计算即可．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式、等边三角形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：沿折叠落在处，
，，，
，，，
，
当时，，
；
当时，过点作于点，则，

，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
；
当时，过点作于点，连接交于点，连接，则，，，

，
四边形是矩形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
此时点落在上，，
，
设，则，
，
，解得：，
，
设，则，
，
，
解得：，
；
综上所述，或或．
故答案为：或或．
分三种情况讨论：当时，当时，当时，即可求解．
本题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】

【分析】
本题考查垂径定理、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
如图，设与相切于点，交与，连接，延长交于，设的半径为在中，当点与重合时，的面积最大，此时，利用勾股定理求出半径，再构建不等式求出的取值范围即可；
【解答】
解：如图，设与相切于点，交与，连接，延长交于，设的半径为．

在中，当点与重合时，的面积最大，此时，
，则有：，
．
的最大面积为，
由题意：，
，
故答案为，．  

17.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】原式利用绝对值的代数意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式的性质计算即可得到结果；
原式利用完全平方公式，以及平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．
此题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

18.【答案】解：如图，即为所作；
如图，即为所作．
 

【解析】根据旋转的性质得出 的对应点，，，连线即可；
根据平移后点的坐标得出平移方式，然后画出平移图形即可．
本题考查了作图旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：补全条形统计图，如图所示．

人，
人．
故答案为：；
样本中喜欢剪纸的人数为人，样本容量为，
估计全校学生中喜欢剪纸的人数：人．
答：估计全校学生中喜欢剪纸的有人．
根据女生的总人数等于男生总人数求出女生的素描人数；
根据条形统计图得出样本的总人数；
根据喜欢剪纸人数的百分比得出全校喜欢剪纸的人数．
本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，准确找到统计图中的有用信息是关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
平分；
解：，理由如下：
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
． 

【解析】根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可；
根据和等腰三角形的性质、平行线的性质，可以得到与的关系．
本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：在反比例函数的图象上，
．
．
把、代入一次函数得，，
解得，
反比例函数为，一次函数的解析式．
由图形可知，当不等式成立时，的取值范围是． 

【解析】利用待定系数法即可解决问题；
观察图象写出反比例函数图象在一次函数的图象下方的的取值范围即可．
本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会利用图象法解决取值范围问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：点为的中点，
，
，
，，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
解：四边形是菱形．
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
点为的中点，
． 

【解析】先证明≌，则，则四边形是平行四边形，又，即可得到四边形是菱形；
由四边形是菱形得到，，则，由得到，由勾股定理得，由勾股定理得到，由点为的中点即可得到答案．
此题考查了菱形判定和性质、平行四边形的判定、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：如图，以为轴，的中点为原点建立直角坐标系．

则、、的坐标分别是，，．
设抛物线的解析式为，
将的坐标代入得：，
抛物线的表达式是，

把代入解析式，，
不能并列通过两艘游轮．

由得，当时，，
又当时，，
水面只能没过最左边和最右边各两根钢柱．
当时，，
没在水面下的立柱总长为米． 

【解析】如图，以为轴，的中点为原点建立直角坐标系．则、、的坐标分别是，，设抛物线的解析式为，将的坐标代入求出即可．
求出时的函数值，即可判断．函数值大于等于可以通过，函数值小于不能通过．
求出，，的函数值，即可判断．
本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由自变量的值求函数值的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
 

24.【答案】解：如图，

连接，设半径为，
切于点，
，
，
，
∽，
，
     解得，
；
由得，
，，
，
，
；
显然，所以分两种情形：
如图，

当时，作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，

当时，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
综上，的值为或；
如图，

由上可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】证明∽，进而求得结果；
在的基础上求得的值，进而求得结果；
分成两种情形：当时，作于，可推出和是等腰直角三角形，根据及求得结果；当时，根据列出方程求得结果；
可表示出，在中，根据列出方程求得结果．
本题考查了圆的切线性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形．