2023年安徽省芜湖市南陵县中考数学二模试卷（含解析）

2023年安徽省芜湖市南陵县中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  “学习强国”平台上线的某天，全国约有人在平台上学习，将这个数据用科学记数法可表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图是由个相同的小正方体组成的几何体，其俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某厂家今年一月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为则所列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，是的内接三角形，，的半径为，若点是上的一点，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  如图，是甲、乙两位同学五次体育测试成绩的折线统计图，下列说法：甲同学成绩的平均数更小，乙同学成绩的中位数是，甲同学成绩的众数是，乙同学成绩的方差更大；其中正确的说法有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

9.  二次函数的图象如图所示，则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是(    )
 

A.
B.
C.
D.

10.  如图，纸板中，，，，是上一点，沿过点的直线剪下一个与相似的小三角形纸板，如果有种不同剪法，那么长的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  若点在第四象限，则实数的取值范围是______．

12.  双曲线经过点，则 ______ ．

13.  如图，是边长为的等边三角形，是的中点，是直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接则在点的运动过程中，的最小值是______．

14.  在平面直角坐标系中，点，，连接，抛物线经过点，且与线段恰有一个公共点．
抛物线的对称轴为直线______ ；
的取值范围为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  计算：

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，．
画出，并画出关于轴对称的
以为位似中心，在第一象限内把扩大到原来的两倍，得到．

17.  本小题分
九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？

18.  本小题分
观察下图中用小黑点摆成的三角形，并根据图中规律回答相关问题．

；；．
第个图形对应的等式为______ ；
若第个图形对应的黑点总数为个，求的值．

19.  本小题分
如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．
求证：是的切线；
若直径，，求的长．

20.  本小题分
每年的月日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯可伸缩最长可伸至，且可绕点转动，其底部离地面的距离为，当云梯顶端在建筑物所在直线上时，底部到的距离为．
若，求此时云梯的长．
如图，若在建筑物底部的正上方处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．
参考数据：，，
 

21.  本小题分
新角度概率、几何结合如图，线段和相交于点，连接，四张纸牌除正面分别写着如图所示的四个不同的条件外完全相同，将四张纸牌背面朝上洗匀后放在桌面上．

若小明第一次抽到纸牌后，再从剩下的三张纸牌中随机抽取一张，则两张纸牌上的条件能证明≌成立的概率是______ ；
若从四张纸牌中随机抽出两张，求两张纸牌上的条件能证明≌成立的概率，先补全图中的树状图，再计算．

22.  本小题分
如图，在矩形中，，，点，分别为，的中点．
求证：四边形是矩形；
如图，点是边上一点，交于点，点关于的对称点为点，当点落在线段上时，则有请说明理由；
如图，若点是射线上一个动点，点关于的对称点为点，连接，，当是等腰三角形时，求的长．
 

23.  本小题分
如图，小明和小亮分别站在平地上的、两地先后竖直向上抛小球、抛出前两小球在同一水平面上，小球到达最高点后会自由竖直下落到地面、两球到地面的距离和与小球离开小明手掌后运动的时间之间的函数图象分别是图中的抛物线、已知抛物线经过点，顶点是，抛物线经过和两点，两抛物线的开口大小相同．
分别求出、与之间的函数表达式．
在小球离开小亮手掌到小球落到地面的过程中．
当的值为______ 时，两小球到地面的距离相等；
当为何值时，两小球到地面的距离之差最大？最大是多少？

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故此选项正确；
B.无法合并，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：由个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是：
．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

，
，
，
，
故选：．
利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

6.【答案】 

【解析】解：设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，
由题意得，．
故选：．
若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为，某厂家今年一月份的口罩产量是万个，则二月份的口罩产量是万个，三月份的口罩产量是万个，根据三月份的口罩产量是万个，列出方程即可．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出各月的产量是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、，连接交于，
由圆周角定理得，，
，
，，
的半径为，
，
，
．
故选：．
连接、，连接交于，根据圆周角定理得到，根据正弦的概念计算即可．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、解直角三角形的知识是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可知，甲次的成绩分别为、、、、；乙次的成绩分别为、、、、；
甲同学成绩的平均数更小，说法正确；
乙同学成绩的中位数是，说法正确；
甲同学成绩的众数是，说法正确；
乙同学成绩的方差更大，说法正确．
所以正确的说法有个．
故选：．
根据折线统计图，可得甲次的成绩，乙次的成绩，根据众数、中位数，方差以及平均数的定义可得答案．
本题考查了折线统计图，利用折线统计图获得有效信息是解题关键，又利用了众数、中位数的定义．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与轴的交点坐标等确定出、、的情况是解题的关键．
根据二次函数图象开口向下得到，再根据对称轴确定出，根据与轴的交点确定出，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【解答】
解：二次函数图象开口方向向下，
，
对称轴为直线，
，
与轴的负半轴相交，
，
的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数图象在第二、四象限，
只有选项图象符合．
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，过作交于或交于，则∽或∽，
此时；

如图所示，过作交于，则∽，
此时；

如图所示，过作交于，则∽，
此时，∽，
当点与点重合时，，即，
，，
此时，；

综上所述，长的取值范围是．
故选：．
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到的长的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
 

11.【答案】 

【解析】解：点在第四象限，
，解得．
故答案为：．
根据第四象限内点的坐标特点列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知第四象限内点的坐标特点是解答此题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：双曲线经过点，
，
．
故答案为：．
直接利用待定系数法即可求解．
本题主要考查用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握在双曲线上点的坐标一定满足该函数关系式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理“”证明≌，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，此题得解．
【解答】
解：取线段的中点，连接，如图所示．
为等边三角形，且为的对称轴，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
．
当时，最小，
点为的中点，
此时．
故答案为．  

14.【答案】  或或 

【解析】解：对称轴为：，
故答案为：；
当抛物线的顶点在线段上时，，
即，
解得：；
若抛物线与线段恰有一个公共点，，，
当时；当时；
由于对称轴是直线，所以定在抛物线内，即可以得到：或
解得：或，
故答案为：或或．
代入对称轴公式即可求出；
当顶点线段上时，纵坐标为，若顶点不在线段上时，则定在抛物线内，列出不等式组解之即可．
本题考查二次函数的对称轴，用不等式组解决交点问题，解题的关键是利用分类讨论的数学思想解决问题．
 

15.【答案】解： 

【解析】此题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂及特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
分别进行负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值即可．
 

16.【答案】解：如图，和为所作；
如图，为所作．
 

【解析】根据关于轴对称点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
把、、点的横纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点即可．
本题考查了作图位似变换：掌握画位似图形的一般步骤先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
 

17.【答案】解：设合伙买羊的有人，羊价为钱，
依题意，得：，
解得：．
答：合伙买羊的有人，羊价为钱． 

【解析】设合伙买羊的有人，羊价为钱，根据“若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
第四个图形总点数可列为：，
故答案为：；
由题意可得，
每一个图形的行数比个数多，每行的数字从开始逐渐加，
第个图形的点数为：，
，
整理得，解得，舍去，
的值为．
根据图形规律第四个图形多一行个的点，直接列式即可得到答案；
根据题意找到图形点数规律列式求解即可得到答案．
本题考查图形规律问题及解一元二次方程，解题的关键是根据题意找到图形规律．
 

19.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又．
，
即，
是的切线；
解：，，
，
在中，
，，
，
，
，
，，
∽，
，
设，则，，
又，
即，
解得取正值，
． 

【解析】根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得：：：：，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
 

20.【答案】解：在中，，，
，
此时云梯的长为；
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
，
，
，
在中，，
，
，
在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处． 

【解析】在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答；
根据题意可得，从而求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行比较即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：，，
当抽中时，由能判断≌，符合题意；
当抽中时，由能判断≌，符合题意；
当抽中时，由不能判断≌，不符合题意；
共有三种等可能结果，其中能证明≌成立的情况有种
能证明≌概率是，
故答案为：；
补全树状图，如图，

，
当抽中，，不能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，不能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，不能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，能判断≌；
当抽中，，不能判断≌；
共有个可能的结果，两张纸牌上的条件能证明≌成立的结果有个，
摸出两张纸牌上的条件能证明≌成立的概率．
根据全等三角形的判定得到能证明≌成立的结果数，利用概率公式即可求解；
补全树状图，共有个可能的结果，根据全等三角形的判定得到能证明≌成立的结果数，即可得求出概率．
本题考查的是全等三角形的判定以及用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
 

22.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．

证明：如图中，连接．

四边形是矩形，
，
，
，
由翻折可知，，
．

解：如图中，当时，连接，过点作于交于．

，，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
．
，，
，
，
∽，
，
，
．
如图中，当时，连接，设交于．

，，，
，
，
，
，
，
如图中，当时，此时点与重合，．


如图中，当时，连接，过点作于交于．

，，
，，
由∽，可得，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或或或． 

【解析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．
根据直角三角形斜边中线的性质证明即可．
分四种情形：图中，当时；图中，当时；图中，当时，此时点与重合；如图中，当时分别求解即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
 

23.【答案】解：设与之间的函数表达式为．
顶点的坐标是，
，
因为点在抛物线上，
所以点的坐标满足，
即，解得，
，
两抛物线的开口大小相同，
设与之间的函数表达式为，
因为点和都在抛物线上，
所以点和的坐标满足，
即，解得，
；

；
令，则．
解方程得，不合题意，舍去，
在小球离开小亮手掌到小球落到地面这个过程中，．
当时，两球到地面的距离之差，
，
随的增大而减小．
当时，有最大值，最大值是，
当时，两球到地面的距离之差，
，
随的增大而增大．
当时，有最大值，最大值是，
．
当的值为时，两球到地面的距离之差最大，最大是． 

【解析】

【分析】
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质，分类求解和熟悉二次函数的图象和性质是本题解题的关键．
用待定系数法即可求解；
令，即可求解；
在小球离开小亮手掌到小球落到地面这个过程中，当时，两球到地面的距离之差，进而求解；当时，同理可得；当时，有最大值，最大值是，进而求解．
【解答】
见答案；
令，则，解得，
故答案为：；
见答案．