2023年广东省中山市中考数学二模试卷（含解析）

2023年广东省中山市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在，，，这四个数中，最小的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在平面直角坐标系中，二次函数的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的主视图是(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  如图，内接于，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，统计结果如下表所示：

表中表示成绩分数的数据中，中位数是(    )

A. 分 B. 分 C. 分 D. 分

7.  如图，中，，，的中垂线交于点，连接，若，则(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  关于的一元二次方程有两个不等的整数根，为整数，那么的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  祁中初三班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，点为▱的对称中心，轴，与轴交于点，与轴交于点，：：，若将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  分解因式：______．

12.  若分式有意义，则实数的取值范围是______．

13.  把用科学记数法表示为______ ．

14.  如图，用一个圆心角为的扇形围成一个无底的圆锥，如果这个圆锥底面圆的半径为，则这个扇形的半径是____．
 

15.  如图，与均为等腰直角三角形，点，，在同一直线上，，垂足为点，点在上，，将沿方向平移，当这两个三角形重叠部分的面积等于面积的一半时，平移的距离为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  计算：

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，已知，点在射线上．
Ⅰ尺规作图：
在上取一点，使；
作的平分线，保留作图痕迹，不写作法
Ⅱ在Ⅰ的条件下，求证：．
 

19.  本小题分
白溪镇年有绿地面积公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，年达到公顷．
求该镇至年绿地面积的年平均增长率；
若年增长率保持不变，年该镇绿地面积能否达到公顷？

20.  本小题分
如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点、两点，且与反比例函数的图象在第一象限内的部分交于点，垂直于轴于点，其中．
求这两个函数的表达式；
若点在轴上，且，求点的坐标．

21.  本小题分
某校设有体育选修课，每位同学必须从羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动中选择一项且只能选择一项球类运动，在该校学生中随机抽取的学生进行调查，根据调查结果绘制成如图所示的尚不完整的频数分布表和扇形统计图．

请根据图、表信息解答下列问题：
频数分布表中的 ______ ， ______ ；
排球所在的扇形的圆心角为______ 度；
小郭和小李参加上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们恰好参加同一项活动的概率？

22.  本小题分
如图，是的直径，是上一点，点是的中点，过点作的切线交的延长线于点连接并延长交于点．
求证：；
如果，，求的长．

23.  本小题分
已知抛物线：．
若抛物线经过原点，则的值为______ ，此时抛物线的顶点坐标为______ ．
用含的代数式表示抛物线的顶点坐标，并说明无论为何值，抛物线的顶点都在同一条抛物线上
无论为何值，抛物线一定恒过定点，设抛物线的顶点为，当点不与点重合时，过点作轴，与抛物线的另一个交点为，过点作轴，与抛物线的另一个交点为求证：四边形是平行四边形．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
在，，，这四个数中，最小的数是，
故选：．
先根据实数的大小比较法则比较数的大小，即可得出选项．
本题考查了实数的大小比较法则，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、应为，故本选项错误；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、应为，正确．
故选：．
根据同底数幂的运算法则进行计算即可．
本题考查同底数幂的运算：乘法法则，底数不变，指数相加；除法法则，底数不变，指数相减；
乘方，底数不变，指数相乘．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
根据题目中的函数解析式，可以直接写出该函数的顶点坐标，从而可以解答本题．
【解答】
解：二次函数，
该函数的顶点坐标是，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】
解：从正面看易得主视图的形状：
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：连接，
，
，
．
故选：．
直接利用圆周角定理得出，再利用三角形内角和定理得出答案．
此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出的度数是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：一共有个数据，
第和第名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：，
故选：．
根据中位数的定义求解可得．
本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了锐角三角函数的定义，线段垂直平分线的性质和勾股定理．
根据垂直平分线性质可知，所以；根据可求出和，从而根据勾股定理求出．
【解答】
解：为的中垂线，
．
设，
，，
，
．
在中，，，
．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出方程的根是解题的关键．
利用因式分解法求出方程的解，再根据方程有两个不相等的整数根结合为整数，即可求出的值，此题得解．
【解答】
解：，即，
解得：，．
关于的一元二次方程有两个不等的整数根，
，为整数，且．
又为整数，
．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程．
可设全班有名同学，则每人写份留言，共写份留言，进而可列出方程即可．
【解答】
解：设全班有名同学，则每人写份留言，
根据题意得：，
故选：．  

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，，

原点为平行四边形的对称中心，
点为对角线，的交点，
，，
轴，
∽，
，
即，，
点，
，
，
：：，
，，
点
点，
每次旋转，
次为一个周期，
，
第次旋转结束时，点的对应点在第三象限，
此时点的坐标为．
故选：．
连接，，可得点为对角线，的交点，，，再根据∽，可得，，再由点，可得，然后根据：：，可得，，从而得到点，进而得到次为一个周期，据此即可求解．
本题主要考查了坐标与图形，旋转变换，平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，找到规律是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
由于原式子中含有公因式，可用提取公因式法求解．
本题主要考查提公因式法分解因式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：分式有意义，
，
则实数的取值范围是：．
故答案为：．
直接利用分式有意义的条件得出，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：设扇形半径为，由题意得：

解得．
故答案为：．
利用圆锥底面周长扇形展开图的弧长可求得结果．
本题主要考查圆锥的问题，解答本题的关键是确定“圆锥底面周长扇形展开图的弧长”这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．
 

15.【答案】或 

【解析】解：与均为等腰直角三角形，
，，
的面积，
当这两个三角形重叠部分的面积等于面积的一半时，
的面积，
，
，
即平移的距离为，
当点平移到与点重合时，也满足，此时平移的距离为：，
故答案为：或．

根据平移的性质和等腰直角三角形的性质解答即可．
此题考查等腰直角三角形的性质，关键是根据等腰直角三角形的面积公式解答．
 

16.【答案】解：原式． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式


，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】Ⅰ解：如图，点为所作；
如图，为所作；

Ⅱ证明：，
，
平分，
，
，
即，
，
． 

【解析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图是解题的关键．
Ⅰ以点为圆心，为半径画弧交于点；
利用基本作图作平分；
Ⅱ先利用等腰三角形的性质得，再利用角平分线的定义得到，然后根据三角形外角性质可得，最后利用平行线的判定得到结论．
 

19.【答案】解：设绿地面积的年平均增长率为，根据题意，得 
，
解得：，不合题意，舍去
答：增长率为； 
由题意，得公顷，
答：年该镇绿地面积不能达到公顷． 

【解析】本题考查了一元二次方程的应用，解答时求出平均增长率是关键．
设每绿地面积的年平均增长率为，就可以表示出年的绿地面积，根据年的绿地面积达到公顷建立方程求出的值即可；
根据求出的年增长率就可以求出结论．
 

20.【答案】解：，
点坐标为，点坐标为，
，
：：，
，
点坐标为，
把代入得，
，
反比例函数解析式为，
把，代入得，
，
解得，
一次函数解析式为；
设，
，
而，
，解得或，
点的坐标为或． 

【解析】利用直接写出点坐标和点坐标，再利用平分线分线段成比例定理计算出得到点坐标；利用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式；
设，利用三角形面积公式得到，然后其出得到点的坐标．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
 

21.【答案】     

【解析】解：抽取的学生人数为：人，
，
，
故答案为：，；
排球所在的扇形的圆心角为：，
故答案为：；
把羽毛球、篮球、乒乓球、排球、足球五项球类运动分别记为、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中小郭和小李恰好参加同一项活动的结果有种，
他们恰好参加同一项活动的概率为．
由选择足球的人数除以所占百分比求得本次抽取的学生人数，即可得到和的值；
由乘以排球所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中小郭和小李恰好参加同一项活动的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，
，
而点为弧的中点，
，
；
解：为切线，
，
，，
，
，
在中，，
设，则，
，即，解得，
，
作于，如图，
，
∽，
，即，
，，
，
，即，解得
在中，． 

【解析】先利用圆周角定理得到，根据根据等腰三角形的判定方法得到；
利用切线的性质得到，则根据等角的余角相等得到，则，在中利用正切的定义计算出，作于，如图，接着证明∽，则利用相似比得到，，然后根据平行线分线段成比例定理计算出，最后根据勾股定理计算的长．
本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和解直角三角形．
 

23.【答案】  

【解析】解：把代入得：，
解得：，
此时，，则顶点的坐标为，
故答案为：，；

解：由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为，
故顶点在上；

证明：，
当时，，即点，
抛物线的部分图象的示意图如下所示：

由知，点，点，
则，
当时，则，
整理得：，
则，
，则，
则，
而轴，
故四边形是平行四边形．
由题意得：，解得，进而求解；
由抛物线的坐标为，即可求解；
由，求出，确定，进而得出，则，即可得证．
本题考查了二次函数的综合题，主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，平行四边形的判定，综合运用以上知识是解题的关键．