2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学二模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列交通图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列几何体中，主视图与俯视图的形状不一样的几何体是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  分式方程的解为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知抛物线，下列结论错误的是(    )

A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴为直线
C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而增大

7.  如图，内接于，是的直径，若，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，点，分别在边，上，若，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  甲、乙两位同学放学后走路回家，他们走过的路程千米与所用的时间分钟之间的函数关系如图所示根据图中信息，下列说法错误的是(    )

A. 前分钟，甲比乙的速度慢
B. 从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲、乙都走了千米
C. 甲的平均速度为千米分钟
D. 从甲、乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲比乙走过的路程少

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  体现我国先进核电技术的“华龙一号”，年发电能力相当于减少二氧化碳排放吨，数用科学记数法表示为______ ．

12.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

13.  计算的结果是______ ．

14.  把多项式分解因式的结果为______．

15.  不等式组的解集为______ ．

16.  如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为若反比例函数的图象经过点，则的值为______．

17.  已知扇形的面积为，半径为，则此扇形的圆心角为______度．

18.  某班从甲、乙、丙、丁四位选手中随机选取两人参加校乒乓球比赛，恰好选中甲、乙两位选手的概率是______ ．

19.  在菱形中，，，点在边上，连接，，若，则线段的长为______ ．

20.  如图，是的斜边上的中线，点是的中点，连接，点是的中点，连接，若，则线段的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中，．

22.  本小题分
图，图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，点，，均为格点只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点，按下列要求作图：
在图中，连接，，使；
在图中，连接，，，使．
 

23.  本小题分
某中学计划在劳动技术课中增设剪纸陶艺、厨艺、刺绣、养殖等五类选择性“技能课程”，加大培养学生的劳动习惯和实践操作能力，为了解学生选择各“技能课程”的意向，从全校随机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果整理并绘制如下不完整统计图表：
样本中选择各技能课程的人数统计表

请根据上述统计数据解决下列问题：
求所抽取样本的样本容量；
求扇形统计图中的值；
若该校有名学生，请你估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数．

24.  本小题分
如图，在▱中，连接，点为线段的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中的四个等腰三角形除外

25.  本小题分
为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书已知购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元．
每本科技类图书与每本文学类图书的价格分别为多少元？
社区计划购进科技类图书和文学类图书共本，且总费用不超过元，那么最多购进科技类图书多少本？

26.  本小题分
已知：内接于，弦平分．
如图，求证：；
如图，过点作，垂足为点过点作，交的延长线于点，且．
求证：；
若，，求的半径．
 

27.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．
求抛物线的解析式；
连接，点是线段上的一个动点，过点作轴于点在线段上截取，过点作轴，交抛物线于点，设点的横坐标为，点的纵坐标为，求与之间的函数解析式不要求写出自变量的取值范围；
在的条件下，点是的中点，连接，，，过点作，交线段于点，连接，若，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据绝对值的定义求解．
本题考查了绝对值的定义，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是圆，故B不符合题意；
C、主视图、俯视图都是矩形，故C不符合题意；
D、主视图是三角形、俯视图是圆形，故D符合题意；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：去分母，得，
整理，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故选：．
先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程即可，注意检验．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛物线，
该抛物线的开口向上，故选项A正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，故选项B正确，不符合题意；
抛物线的顶点坐标为，故选项C正确，不符合题意；
当时，随的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；
故选：．
根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，

是的直径，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，再利用同弧所对的圆周角相等可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
即的值为．
故选：．
利用根的判别式的意义得到，然后解一次方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，即，
解得：，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例列出比例式，求出，进而求出．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：前分钟，甲的速度：千米分钟，
乙的速度：千米分钟，
，
前分钟，甲比乙的速度慢，
故选项A说法正确，不符合题意；
观察函数关系图得，从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲、乙都走了千米，
故选项B说法正确，不符合题意；
甲的平均速度为：千米分钟，
故选项C说法正确，不符合题意；
观察函数关系图得，从甲、乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲走过的路程为千米，乙走过的路程为千米，
则从甲、乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲比乙走过的路程多，
故选项D说法错误，符合题意；
故选：．
根据函数关系图算出前分钟，甲的速度，乙的速度即可判断选项A，观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项B，根据函数关系图即可得算出甲的平均速度，即可判断选项B，观察函数关系图即可得从甲，乙两位同学放学后走路回家开始，经过分钟，甲、乙走的路程，即可判断选项D，综上，即可得．
本题考查了从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获得信息并正确计算．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
本题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围和分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为．
根据分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得答案．
【解答】
解：根据题意可得；
解得；
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减、二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：；
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
故答案为：．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：设交轴于，如图：

轴为矩形的一条对称轴，且矩形的面积为，
四边形是矩形，且矩形面积是，
设，则，，
矩形面积是，
，
在反比例函数的图象上，
，即，
，
故答案为：．
设交轴于，根据轴为矩形的一条对称轴，且矩形的面积为，可得四边形是矩形，且矩形面积是，设，则，即可得．
本题考查反比例函数图象及应用，解题的关键是掌握反比例函数图象上点坐标的特征，理解中的几何意义．
 

17.【答案】 

【解析】解：设扇形的圆心角为．
则有，
解得，
故答案为
利用扇形的面积公式：计算即可．
本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式，属于中考常考题型．
 

18.【答案】 

【解析】解：根据题意画图如下：

共有种等可能的结果数，其中恰好选中甲、乙两位选手的有种，
则恰好选中甲、乙两位选手的概率是，
故答案为：．
根据题意画出树状图得出所有等可能情况数和恰好选中甲、乙两位选手的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，过点作于点，连接，

四边形是菱形，，
，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
在中，．
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，连接，由菱形性质可得，，进而可得是等边三角形，利用解直角三角形可得，，，利用勾股定理可得，．
本题考查了菱形性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．
 

20.【答案】或 

【解析】解：连接，过点作于点，如图所示：
则，
点是的中点，
，
，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，点是的中点，
，
，
点是的中点，
，
，
在中，根据勾股定理，得，
，
点是的中点，
，
是的中点，
，
，
是的中点，
，
设，
则，
，
在中，根据勾股定理，得，
解得或，
经检验，或是原方程的根，且符合题意，
或，
故答案为：或．
连接，过点作于点，根据可证≌，根据全等三角形的性质可知，根据直角三角形斜边上的中线的性质可得，进一步可知，根据等腰三角形的性质可知，在中，根据勾股定理可得的长，求出的面积，根据点是的中点，可得的面积，根据点是的中点，可得的面积，进一步可知的面积，的面积，设，可知，在中，根据勾股定理列方程求出的值，即可确定的长．
本题考查了直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中线，勾股定理等，本题综合性较强，添加合适的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】先算括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，再化简，然后将、的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：如图正确画图．

如图，
 

【解析】作出线段的垂直平分线可得结论；
根据要求作出点即可
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

23.【答案】解，
答：所抽取样本的样本容量为．
，
．
，
答：扇形统计图中的值为．
人，
答：估计全校有意向选择“养殖”技能课程的人数为人． 

【解析】利用的频数及其百分比可得所抽取样本的样本容量，即可求解；
减去其他组的百分比可得组的百分比，即可求解；
样本估计总体，样本中，有意向选择“养殖”的占，因此估计总体人的是有意向选择“养殖”技能课程的人数．
本题考查扇形统计图、统计表的意义和制作方法，明确统计图、表中的数量关系是正确计算的前提．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点为线段的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
解：、、、，
理由：由得≌，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
四边形是矩形，且对角线、相交于点，
，，
，
，
、、、都是等腰三角形． 

【解析】先证明≌，得，则四边形是平行四边形，而，即可根据矩形的定义证明四边形是矩形；
先证明，，则，所以是等腰三角形；由矩形的性质得，所以、、都是等腰三角形．
此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定等知识，证明≌是解题的关键．
 

25.【答案】解：设每本科技类图书的价格为元，每本文学类图书的价格为元，
根据题意得：，
解得：．
答：每本科技类图书的价格为元，每本文学类图书的价格为元；
设购进科技类图书本，则购进文学类图书本，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：最多购进科技类图书本． 

【解析】设每本科技类图书的价格为元，每本文学类图书的价格为元，根据“购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购进科技类图书本，则购进文学类图书本，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：连接，，，如图，

平分，
，
又，，
，
；
证明：延长至点，使得，连接，如图，

设，则，．
在和中，
，
≌，
，
．
．
，
；
连接，过点作于点，作直径，连接，如图，

设，则，
≌，
，
在中，
，
在中，
，
．
解得：，舍．
，，
．
在中，
．
在和中，
，
≌，
，．
．
在中，
．
是的直径，
，
，
．
在中，
．
，
的半径为． 

【解析】连接，，，利用角平分线的定义和圆周角定理解答即可；
延长至点，使得，连接，利用补短法解答．先证明≌，则，利用三角形的内角和定理和等腰三角形的判定定理得到，则结论可得；
连接，过点作于点，作直径，连接，设，则，利用勾股定理列出关于的方程，解方程求得值，则，；通过证明≌，求得线段，，利用勾股定理求得线段，利用圆周角定理和直角三角形的边角关系定理得到，列出关系式即可求得直径，则半径可求．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，利用补短法解答是解决一条线段等于两条线段的和的常用解法．
 

27.【答案】解：在中，当时，，
，
，
，
，
，
将代入中，得，
解得，
抛物线的解析式为；
如图．

在中，当时，得，
解得，，
．
设直线的解析式为
，
解得，
，
点的横坐标为，
，

，
点的横坐标为，
点的纵坐标；
如图，

延长交轴于点，过点作，垂足为点，过点作于点，交于点，
在中，，，
在中，，
，，
，
，点是的中点，
，
，，
，，
，，
，
，

，
，
，
，
，
，
．
，
，
解得，舍，
，，
，
，
，，，
，
令，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
． 

【解析】解方程得到，，将代入中，即可得到结论；
如图，解方程得到设直线的解析式为解方程组得到，得到，得到点的横坐标为，于是得到结论；
如图，延长交轴于点，过点作，垂足为点，过点作于点，交于点，在中，根据勾股定理求得的值和，根据直角三角形的性质得到，根据平行线的性质得到求得，根据平行线分线段成比例定理得到根据勾股定理得到，求得，解直角三角形得到，，根据平行线的性质得到，求得，根据矩形的性质得到，，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了二次函数的综合题，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，正确地画出图形是解题的关键．