2023年湖南省株洲市攸县中考数学一模试卷（含解析）

2023年湖南省株洲市攸县中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列四个数中，最大的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为平方千米．将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  某市月某周内每天的最高气温数据如下单位：：
           
则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

5.  一次函数的图象不经过的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6.  一个多边形的每个内角均为，则这个多边形是(    )

A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形

7.  不等式组的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  如图，，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知中，，求证：，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤：
，这与三角形内角和为矛盾
因此假设不成立．
假设在中，
由，得，即．
这四个步骤正确的顺序应是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  计算______．

12.  若关于方程的解是，则的值为______．

13.  因式分解： ______ ．

14.  一个样本的个数据分别落在个组内，第、、、组数据的个数分别是、、、，则第组数据的频数为______．

15.  已知的直径，为上的一点，，则 ______ ．

16.  九章算术是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有句五步，股十二步问句中容方几何”其大意是：如图，的两条直角边的长分别为和，则它的内接正方形的边长为           ．

17.  如图，相邻两线段互相垂直，甲、乙两人同时从点处出发到点处，甲沿着“”的路线走，乙沿着“的路线走，若他们的行走速度相同，则甲、乙两人谁先到处？______．

18.  如图，菱形的一边在轴的负半轴上，是坐标原点，，反比例函数的图象经过点，与交于点，若的面积为，则的值等于______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上．其中，米．
求无人机的飞行高度；结果保留根号
求河流的宽度结果精确到米，参考数据：，
 

22.  本小题分
某校组织代表队参加市“与经典同行”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成个小组表示成绩，单位：分组：；组：；组：；组：；组：，并绘制如下两幅不完整的统计图：请根据图中信息，解答下列问题：

参加初赛的选手共有______ 名，请补全频数分布直方图；
扇形统计图中，组对应的圆心角是多少度？组人数占参赛选手的百分比是多少？
学校准备组成人的代表队参加市级决赛，组名选手直接进入代表队，现要从组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中两名女生的概率．

23.  本小题分
已知：如图所示，、分别是平行四边形的、边上的点，且．
求证：≌；
若、分别是、的中点，连接、，求证：四边形是平行四边形．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，与双曲线的一个交点为，且．
求点的坐标；
当时，求和的值．

25.  本小题分
如图，已知是的直径，是上一点，的平分线交于点，作交的延长线于点，连接，．
求证：是的切线；
求证：∽；
当，，求线段的长．

26.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、，经过点、的抛物线与轴的另一个交点为．
求这个抛物线的解析式；
已知点在抛物线上，且横坐标为，求出的面积；
点是直线上方的抛物线上一动点，过点作垂直于轴，垂足为是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
最大的数是，故A正确．
故选：．
根据负数小于零小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．
本题主要考查比较有理数大小．熟练掌握负数小于零，零小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意．
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算、整式的乘法运算、积的乘方运算以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查二次根式的加减运算、整式的乘法运算、积的乘方运算以及完全平方公式，本题属于基础题型．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了科学记数法绝对值较大的数，一般地，一个绝对值大于或等于的数都可记成的形式，其中，等于原数的整数位数减．
【解答】
解：根据题意：．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：将这组数据按从小到大的顺序排列：，，，，，，，
在这一组数据中是出现次数最多的，故众数是，
处于中间位置的那个数是，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是；
故选：．
根据中位数和众数的定义，进行求解即可．
本题考查中位数与众数的意义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是找出函数图象经过的象限．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据函数系数的正负确定函数图象经过的象限是关键．
根据一次函数的系数确定函数图象经过的象限，由此即可得出结论．
【解答】
解：一次函数中，，
该函数图象经过第一、二、四象限．
故选C．  

6.【答案】 

【解析】解：外角是，
，则这个多边形是六边形．
故选：．
一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是度，利用除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集是，
在数轴上表示为：，
故选：．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，，，，
．
又，
．
故选：．
首先根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得；然后由平行线的性质得到．
本题考查了平行线的性质．此题利用了“两直线平行，内错角”相等的性质和三角形内角和定理求得的度数．
 

9.【答案】 

【解析】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤：、假设在中，，
、由，得，即，
、，这与三角形内角和为矛盾，
、因此假设不成立．，
故选：．
根据反证法的一般步骤判断即可．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
 

10.【答案】 

【解析】解：时，二次函数图象开口向上，
，
，
无法确定的正负情况，
，
时，二次函数图象开口向下，
，
，
无法确定的正负情况，
，
综上所述，表达式正确的是．
故选：．
分和两种情况根据二次函数的对称性确定出与的大小关系，然后对各选项分析判断即可得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据二次项系数的正负情况分情况讨论．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则．
根据有理数的乘法法则计算可得．
【解答】
解：，
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：将代入分式方程得，
，
，
故答案为：．
将代入分式方程后解关于的一次方程即可．
本题考查了分式方程的解，通过将的解代入方程化成含的方程进而求解，关键在于运算能力．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据提公因式法因式分解即可．
本题考查了因式分解提公因式运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：第、、、组数据的个数分别是、、、，共，样本总数为，故第小组的频数是．
故答案为：．
总数减去其它四组的数据就是第组的频数．
本题主要考查频数的定义，即样本数据出现的次数．掌握频数的定义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的直径，
；
在中，，；
因此．
根据圆周角定理，可得出；在中，已知了特殊角的度数和的长，易求得的长．
本题主要考查圆周角定理以及特殊直角三角形的性质．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
设正方形边长为，用∽，对应边成比例列方程即可求解；
本题考查正方形性质及相似三角形对应边成比例，关键是根据三角形相似列方程．
【解答】
解：设正方形边长为，则，
由的两条直角边的长分别为和可知，，，
四边形是正方形，
，
，
又，
∽，
，
，
解得．
故答案为：．  

17.【答案】甲、乙两人同时达到 

【解析】解：由平移的性质可知：，
．
他们的行走的路程相等．
他们的行走速度相同，
他们所用时间相同．
故答案为：甲、乙两人同时达到．
根据平移的性质可知，，，从而可得出问题的答案．
本题主要考查的是平移的性质，利用平移的性质发现，是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：作交于点，交轴于点，设，

四边形为菱形，
，，
，
，
同理，
，
，
，
，
，
，
解得负值舍去，
，，
点，
反比例函数的图象经过点，
．
故答案为：．
易证，再根据可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，代入反比例函数解析式即可．
本题考查菱形的性质和反比例函数，求得是解题的关键．
 

19.【答案】解：

． 

【解析】先计算二次根式、零次幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算，特殊三角函数值，二次根式的性质，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
 

20.【答案】解：



，
当时，原式． 

【解析】本题考查的是分式的化简求值有关知识，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
 

21.【答案】解：如图，过点作，垂足为点，由题意可知，
，，米，
在中，，米，
米，
答：无人机的飞行高度为米；
由可得米，
在中，
，即：，
米，
米，
米，
答：河流的宽度约为米． 

【解析】在中，由，，可求出；
在中，，，可求出，进而求出和即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
 

22.【答案】 

【解析】解：人，
人．
频数分布直方图补充如下：

故答案为：；
组对应的圆心角度数是：，
组人数占参赛选手的百分比是：；
画树状图得：

共有种等可能的结果，抽取的两人恰好是两名女生的有种结果，
抽取的两人恰好是两名女生的概率为．
用组人数除以组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以组所占百分比得到组人数，从而补全频数分布直方图；
用度乘以组所占百分比得到组对应的圆心角度数，用组人数除以总人数得到组人数占参赛选手的百分比；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到两名女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了树状图法与列表法求概率以及频率分布直方图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
又，
≌；
证明：≌，
，，
又、分别是、的中点
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形． 

【解析】根据平行四边形的性质，证得≌；
由的结论和中点的性质可得，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证．
此题考查了平行四边形的判定和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．
 

24.【答案】解：由题意得：令中，
即，解得，
点的坐标为，
故答案为．
过点作轴的垂线交轴于点，作轴的垂线交轴于点，如下图所示：

显然，，
，且，
∽，
，即：，
，
又，
即：，
，
点的坐标为，
故反比例函数的，
再将点代入一次函数中，
即，解得，
故答案为：，． 

【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象及性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握其图象性质是解决此题的关键．
令中即可求出点的坐标；
过点作轴的垂线交轴于点，作轴的垂线交轴于点，证明∽，利用和进而求出的长，再由求出的长，进而求出点坐标即可求解．
 

25.【答案】证明：如图，连接．

是的直径，是上一点，
，
又平分，
，
，
又，
，
，
是的半径，
是的切线．
证明：，
，
，
∽；
解：在中，，，

．
，
即，
∽，
，
即，
． 

【解析】圆周角定理，得到，角平分线得到，进而得到，根据平行线的性质，得到，即可得证；
由平行和圆周角定理可得：，由圆内接四边形的性质，可得，即可得证；
勾股定理求出，等积法求出，相似三角形的性质，得到，进行求解即可．
本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的外角等于内对角，是解题的关键．
 

26.【答案】解：直线分别与轴、轴相交于点、，
，，
将，代入得，
，
解得．
故此抛物线的解析式为．
点在抛物线上，且横坐标为，
，
，
，
，
四边形是梯形，
；
存在．
如图，设点的横坐标为，则的纵坐标为，
，，
又，
当时，
∽，
即
解得：，舍去，
则，
当时，
∽，
即，
解得：不合题意，舍去，，
则
故符合条件的点的坐标为或 

【解析】本题需先根据直线过，两点，求得，的坐标，然后根据的东西是即可得出抛物线的解析式．
把的横坐标代入抛物线的解析式求得纵坐标，求得四边形是梯形，可直接根据三角形面积公式求得；
本题首先判断出存在，首先设点的横坐标为，则的纵坐标为，再分两种情况进行讨论：当时和当时，得出∽，∽，分别求出点的坐标即可．
本题考查了抛物线解析式的求法，相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．