2023年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷（含解析）

2023年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算结果是正数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的立方根是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某校用标准视力表检查全校学生的视力，并将全校学生的视力情况会制成如图的扇形统计图，则该校学生视力的中位数可能是(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.  在三边长分别为，，的直角三角形中，下列数量关系不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃为方便进出，在边上留有一个宽的小门设的长为，根据题意可得方程(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，用个棱长为的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7.  “兔年报新春，金陵呈祥瑞”，年春节假日期间，南京市组织开展了丰富多彩的文化旅游活动，据初步统计测算，全市共接待游客人次用科学记数法表示是______ ．

8.  计算的结果是______ ．

9.  不等式的解集是______ ．

10.  计算的结果是______ ．

11.  方程的解是______．

12.  已知是的反比例函数，其部分对应值如表：

若，则 ______ 填“”“”或“”

13.  如图是一个直角三角形纸片的一部分，测得，，，则原来的三角形纸片的面积是______ 结果精确到，参考数据：，，

14.  如图，与正五边形的边，分别相切于点，，且经过点，若的半径为，则的长是______ 结果保留

15.  如图，在四边形中，，对角线平分若，，则的度数是______ ．

16.  如图，二次函数的图象与轴交于，两点，其顶点为，连接，若，，则的值是______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解方程组．

18.  本小题分
计算．

19.  本小题分
如图，在菱形中，是对角线，，分别为边，的中点，连接，交于点．
求证；
若，，则的长为______ ．

20.  本小题分
年月，教育部印发了新的义务教育课程方案，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来某校据此开展了“布艺”，“烹饪”，“家居美化”三门课甲，乙，丙三名同学分别从中随机选择一门学习．
求甲，乙选择的课相同的概率；
甲，乙，丙选择的课均不相同的概率是______ ．

21.  本小题分
某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？

22.  本小题分
已知二次函数为然数，且．
求证：不论，为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点；
将该函数的图象绕原点旋转，则所得到的图象对应的函数表达式为______ ．

23.  本小题分
截止到年月，南京市已经开通了两类地铁钱市区地铁线号，号，号，号，号和市域地铁线经过长期统计，其日客运量有一定规律性如图是某月连续天两类地铁线日客运量的折线统计图．

在这天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是______ 万人，最少的一天总人数是______ 万人；
关于这天的描述：
对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日周一到周五的日客运量；
市区地铁线平均日客运量是市域地铁线的倍；
市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大．
其中正确的是______ ；填序号
若该月日市域地铁线客运量为万人，试根据你发现的规律，估计当日市区地铁线客运量人数，并说明理由．

24.  本小题分
如图，在中，，直钱与的外接圆相切于点，是上一点，．
求证：与的外接圆相切；
若，则的长是______ ．

25.  本小题分
如图，已知线段求作，使，，且分别满足下列条件：
．
的周长等于．
要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明

26.  本小题分
慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地已知快车出发时第次追上慢车在整个行程中，慢车离甲地的距离单位：与时间单位：之间的函数关系如图所示．

在图中画出快车离甲地的距离单位：与时间之间的函数图象；
若快车出发时与慢车第次相遇．
求快车从出发到返回甲地所用的时间；
当两车第次相遇的地点距离甲地时，的值为______ ．

27.  本小题分
如图是课本上的折纸活动．

【重温旧知】
上述活动，有的是为了折出特殊图形，如图、和；有的是为了发现或证明定理，如图和；有的是计算角度，如图；有的是计算长度，如图和．
图中的的形状是______ ，图的活动发现了定理“______ ”注：填写定理完整的表述，图中的的长是______ ．
【新的发现】
图中，在第次折后，点落在点处，直接写出点的位置特点．
【换种折法】
图中，在第次折后，再次折叠，如图，使点与点重合，折痕为，点落在点处，与交于点说明为的三等分点．
【继续探索】
如何折叠正方形纸片得到边的五等分点？请画出示意图，简述折叠过程，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，
B、，
C、，
D、，
结果是正数的是；
故选：．
根据有理数的运算法则分别计算，再比较大小即可求解．
本题考查了有理数的混合运算，顺序为：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．也考查了有理数大小比较．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
的立方根是．
故选：．
根据开立方的方法，求出的值，即可判断出的立方根是多少．
此题主要考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是．
 

3.【答案】 

【解析】解：把全校学生的视力从低到高排列，排在中间的数在，
所以该校学生视力的中位数可能是．
故选：．
根据中位数的定义解答即可．
本题考查了扇形统计图和中位数，掌握中位数的定义是解答本题的关键．将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，正确，故A不符合题意；
B、由，，得到，故B不符合题意；
C、由；，，是正数，得到，因此，所以，得到，故C符合题意；
D、由勾股定理得：，故D不符合题意．
故选：．
由三角形的三边关系定理得到，由不等式的性质得到，由；，，是正数，得到，因此，得到，由勾股定理得：．
本题考查勾股定理，三角形的三边关系，完全平方公式，不等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：设的长为，那么另一边的长为，
由题意得：．
故选：．
设的长为，那么另一边的长为，可根据长方形的面积公式即可列方程进行求解．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程；关键是根据题意找出等量关系列出方程．
 

6.【答案】 

【解析】解：将第一层小正方形的顶面和正面，以及第二层小正方形的顶面和正面展开，
如图，连接，则，

故选：．
先画出侧面展开图，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出线段的长即可．
本题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，正确地画出展开图，确定两点之间，线段最短是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
根据整式的混合运算法则，先计算幂的额乘方，再计算乘除．
本题主要考查整式的混合运算、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握整式的混合运算法则、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：．
故答案为：．
根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

10.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
先计算二次根式的乘法，再化简，最后合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：在方程两侧同时乘以最简公分母去分母得，
，
解得，
经检验是分式方程的解．
故答案为：．
在方程两侧同时乘以最简公分母去掉分母转化为整式方程，求出解即可．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
每个象限内，随的增大而减小，
，
．
故答案为：．
根据反比例函数的变化性质判断即可．
本题考查了反比例函数的性质，观察表格并得到条件是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设直角三角形的另一直角边为，
，，，
，
即，
解得：，
原来的三角形纸片的面积是：．
故答案为：．
由可求得原直角三角形的另一直角边的长度，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题主要考查解直角三角形，三角形的面积，解答的关键是由题意求得另一直角边的长度．
 

14.【答案】 

【解析】解：与正五边形的边、相切于点、，
，，，
，
，
的半径为，
劣弧的长度为：．
先根据切线的性质和正五边形的性质求得的度数，再利用弧长公式进行计算即可．
本题考查了正多边形和圆、切线的性质以及弧长公式，熟练掌握正五边形的性质和切线的性质，求出的度数是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过作于，于，

对角线平分，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
设，则，
，，
，
，
．
故答案为：．
过作于，于，根据角平分线的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，，即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过作轴于点．
由题意可知，
，
，
设，则，，
方法一：
抛物线解析式为，
把代入得：
，
解得；
方法二：
将，，代入得：
，
化简得：，
化简得：，
得：，
得：，
得：，
得：，
解得：，
故答案为：．
过作轴于点设出各点坐标，则，，代入，得到方程组，对方程进行化简，进行加减消去吗，即可得到的值．
本题主要考查抛物线与坐标轴交点问题，正确运用待定系数法是解题关键．
 

17.【答案】解：代入消元法求解，
由，得
将代入，得．
解这个一元一次方程，得．
将代入，得．
所以原方程组的解是．
方法二加减消元法求解：
解：，得
，得．
解这个一元一次方程，得．
将代入，得．
所以原方程组的解是． 

【解析】方程组利用代入消元法或加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
 

18.【答案】解：



． 

【解析】先算括号里面的，再算除法，最后化简．
本题考查了分式的混合运算，掌握因式分解是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】证明：四边形是菱形，
，，
，，
，
为边的中点，
．
同理，
，
，，
；
解：连接，
，四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
，分别为边，的中点，
，
故答案为：．
根据菱形的性质得到，，根据平行线的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
连接，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论．
本题考查了菱形的性质．三角形中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

20.【答案】 

【解析】解：把“布艺”，“烹饪”，“家居美化”三门课分别记为、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲，乙选择的课相同的结果有种，
甲，乙选择的课相同的概率为；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中甲，乙，丙选择的课均不相同的结果有种，
甲，乙，丙选择的课均不相同的概率是，
故答案为：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲，乙选择的课相同的结果有种，再由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中甲，乙，丙选择的课均不相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设衬衫的单价降了元．
根据题意，得
，
解得：，
答：衬衫的单价降了元． 

【解析】设衬衫的单价降了元．根据题意等量关系：降价后的销量每件的利润，根据等量关系列出方程即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

22.【答案】 

【解析】证明：方法一，
令，得方程，
一元二次方程的根的判别式，，
，
方程有两个不相等的实数根，
不论，为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点；
方法二，
令，得方程，
，
，，
，
方程有两个不相等的实数根，
不论，为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点；
方法三，
令，得方程，
，
原方程可化为，
，
方程有两个不相等的实数根，
不论，为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点；
二次函数的顶点坐标为，
将该函数的图象绕原点旋转，则所得到的图象对应的函数表达式为，
故答案为：．
方法一，根据求根公式证明；方法二，根据因式分解法证明；方法三，根据直接开平方法可以证明；
根据题目中的函数解析式，可以求得原函数的顶点坐标，然后根据旋转的特点，可以写出旋转后的解析式．
本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 

23.【答案】     

【解析】解：由统计图可知：在这天中，全市两类地铁线日客运量最多的一天总人数是万人，
最少的一天总人数是万人，
故答案为：；；
关于这天的描述：对同一类地铁线而言，周六、周日的日客运量不超过工作日周一到周五的日客运量，正确；
市区地铁线平均日客运量不一定是市域地铁线的倍，比如周三应当是倍，错误；
市区地铁线日客运量比市域地铁线日客运量波动大，正确．
其中正确的是，
故答案为：；
该月日周六市区地铁线和市域地铁线客运量的差为万人，
该月日周六市区地铁线和市域地铁线客运量的差为万人，
由此可知，周六市区地铁线和市域地铁线客运量的差基本一致．
因为该月日周日市区地铁线和市域地铁线客运量的差为万人，
推测该月日周日市区地铁线客运量为万人．
由折线统计图得出结论即可；
由统计图得出结论即可；
先计算周六及周日的客运数差，再进行估算即可．
本题考查了折线统计图，解决本题的关键是熟练掌握从折线统计图中获取信息．
 

24.【答案】 

【解析】证明：设中点为，连接，如图，
，
是的外接圆的直径，
即点为的外接圆的圆心．
直线与相切于点，
，
，
，
，
，
．
，
．
，
即，
又点在上，
与相切，
即与的外接圆相切；
解：连接交于点，如图，
，
，，
，
，，
垂直平分，
，
，
，
．
故答案为：．
设中点为，连接，如图，利用圆周角定理得到是的外接圆的直径，再根据切线的性质得到，然后证明，即，从而根据切线的判定定理得到结论；
连接交于点，如图，先利用勾股定理计算出，再证明垂直平分，则根据垂径定理得到，然后利用面积法求出，从而得到的长．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．
 

25.【答案】解：如图，即为所求；


如图，为所作．
 

【解析】先作线段，再作线段的垂直平分线交于点，然后在的垂直平分线上截取，则满足条件；
利用的作法作出底边为的等腰直角三角形，再分别以、为圆心，的长为半径作弧交于、，然后在垂直平分线上截取，则满足条件．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

26.【答案】 

【解析】解：与之间的函数图象如图所示：

设慢车速度为 ，快车速度为  ，
根据题意，得，
，
根据题意得，
，
点的坐标为，
设的函数表达式为，
将代入得：，
，
的函数表达式为，
令，得，
，
快车从出发到返回甲地所用的时间为；
由知，两车第次相遇后快车再行驶可返回甲地，
两车第次相遇的地点距离甲地，
快车速度，
而快车从出发到返回甲地所用的时间为，
，
故答案为：．
根据已知画出图象即可；
设慢车速度为 ，快车速度为  ，可得，求出点的坐标为，设的函数表达式为，将代入得：，即可得，，令，得，即可得快车从出发到返回甲地所用的时间为；
根据两车第次相遇的地点距离甲地，可得快车速度，故．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，利用数形结合思想解决问题．
 

27.【答案】等腰三角形  直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半  

【解析】解：图中，由矩形的性质可知，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
是等腰三角形；
图中，由折叠的性质得：，，
，
发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半“；
图中，同得：，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
；
故答案为：等腰三角形；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；；
解：点是的中点，理由如下：
如图，延长交的延长线于，

由折叠的性质可得：，
垂直平分，
，
，
是的等边三角形，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，，
≌，
，
点是的中点；
证明：折叠正方形，使点与点重合，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的三等分点；
解：如图，将正方形纸片对折次并展开后，可得：：：：，再次折叠，使得折痕为并且点落在上，落点记为，交于点，则为的五等分点．

理由如下：，
：：：，
：：，
是的五等分点．
由折叠的性质和勾股定理可求解；
先证是的等边三角形，由“”可证≌，可得，由“”可证≌，可得，即可求解；
由勾股定理可求的长，由锐角函数可求的长，即可求解；
由平行线分线段成比例可求解．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．