2022-2023学年湖北省武汉市武昌区粮道街中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省武汉市武昌区粮道街中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各式计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在以下列线段、、的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ：：：： D. ，，

5.  下列说法错误的是(    )

A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等
C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形

6.  九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，则折断处离地面的高度是(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

7.  如图，把矩形沿翻折，点恰好落在边的处，若，，，则矩形的面积是(    )
 

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，为垂足，连结，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  课间，小聪拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间如右图，，，从三角板的刻度可知，小聪想知道砌墙砖块的厚度每块砖的厚度相等，下面为砌墙砖块厚度的平方是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形中，，点在边上，且将沿对折至，延长交边于点，连接、下列结论：≌；；；其中正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若是整数，则满足条件的最小正整数的值为______ ．

12.  已知且，化简二次根式的结果是______ ．

13.  如图，在数轴上点表示，点表示，，，则点所表示的数是______ ．

14.  如图，中，，，则 ______ ．

15.  菱形的周长为，，以为腰在菱形外作底角为的等腰，连结，，则的面积为______．

16.  已知，均为正数，且，求的最小值______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：
；
．

18.  本小题分
已知，，求下列各式的值：
；
．

19.  本小题分
如图，平行四边形中，，于，于，，，求平行四边形的周长和面积．

20.  本小题分
如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为米，此人以米每秒的速度收绳．问秒后船向岸边移动了多少米？假设绳子是直的，结果保留根号

21.  本小题分
如图是边长为的小正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点．
直接写出图中格点的面积为______ ；
若格点满足，，请在图中画出符合条件的；
在直线上找点，使最小，则的最小值是______ 保留作图痕迹．

22.  本小题分
如图，已知是的边的中点，是的延长线上一点，满足．
求证：；
若，求的值．

23.  本小题分
【知识感知】如图，四边形的两条对角线交于点，我们把这种对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
在我们学过的：平行四边形；矩形；菱形；正方形中，属于垂美四边形的是______ ；只填序号
【性质探究】如图，试探究垂美四边形的四条边，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；
【性质应用】如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求的长．
 

24.  本小题分
平面直角坐标系中，正方形的顶点在坐标原点
如图，若，求的坐标；
如图，将正方形绕点旋转，过作轴于，为的中点，问：的大小是否发生变化？说明理由；
如图，，直线交于，交轴于，下列关系式：；中哪个是正确的？证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
解得．
故选：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于．
 

2.【答案】 

【解析】解：、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判定即可．
本题主要考查对最简二次根式的理解，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式乘法运算以及二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、因为，
故能构成直角三角形；
B、因为，
故能构成直角三角形；
C、因为：：：：，设，
则，，
所以，
故能构成直角三角形；
D、因为，
故不能构成直角三角形；
故选：．
根据直角三角形的判定，符合即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：选项A，平行四边形的对角线互相平分，不符合题意；
选项B，矩形的对角线互相平分且相等，不符合题意；
选项C，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，不符合题意；
选项D，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合题意．
故选：．
根据平行四边形、矩形、直角三角形的性质和菱形的判定方法进行判断即可．
本题考查了平行四边形、矩形、直角三角形的性质和菱形的判定，灵活掌握特殊图形的性质和判定方法是解答此类问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：．
解得：，
折断处离地面的高度为尺，
故选：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．
在矩形中根据得出，由折叠的性质可得，，，，根据直角三角形的性质得出，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】
解：在矩形中，
，
，
由折叠的性质得，，，，
．
在中，
，
，而，
，
，即，
，，
，
矩形的面积．
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
在菱形中，，，，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
，
在和中，，
，
，
故选：．
连接，根据菱形的对角线平分一组对角求出，，四条边都相等可得，再根据菱形的邻角互补求出，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角求出，从而求出，再利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，
设砌墙砖块的厚度为，则，则，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
在中，，
，
解得，，
故选：．
根据全等三角形的判定定理证明≌，进而利用勾股定理，在中，，求出即可．
本题考查的是勾股定理的应用以及全等三角形的应用，得出，是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：正确．
理由：
，，，
在和中，
≌；
正确．
理由：
，设，则．
在直角中，根据勾股定理，得，即：，
解得．
；
正确．
理由：
，，
，
是等腰三角形，．
又≌；
，，
，
；
错误．
理由：

，，和等高，
：：，
．
故不正确．
正确的个数有个．
故选：．
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证≌；在直角中，根据勾股定理可证；通过证明，由平行线的判定可得；由于，求得面积比较即可．
本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
是整数，
满足条件的最小正整数．
故答案为：．
，所以要想能开平方，必须再乘一个．
本题考查了二次根式的定义，能够正确把根式里的写成平方的形式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：有意义，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
直接利用二次根式的性质得出，的符号，进而化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，正确得出，的符号是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
点表示，点表示，
，，
，
，
点所表示的数是，
故答案为：．
根据勾股定理计算出，从而得到，再根据点在数轴上的位置得到答案．
本题考查数轴和勾股定理，解题的关键是根据勾股定理计算出的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点作于，如图所示．
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：
过点作于，根据勾股定理和线段相互间的关系可得，再把数据代入计算即可求解．
考查了勾股定理和等腰三角形的性质，利用勾股定理及线段间的关系找出是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：如图，延长交于点，
菱形的周长为，
，
，
三角形是等边三角形，
，
当时，是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
则的面积为：；

如图，过点作于点，
由可知：
，
，
，
，，
，，
，
，
，

则的面积为：．
故答案为：或．
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：将转化为，代入得，，
可理解为点到与的距离．
如图：找到关于轴的对称点，
可见，的长即为求代数式的最小值．
，
代数式的最小值为．
故答案为：．
将代数式转化为，理解为点到与的距离，利用勾股定理解答即可．
本题考查利用轴对称求最短路线的问题，难度较大，解题关键是将求代数式的值巧妙的转化为几何问题．
 

17.【答案】解：


；



． 

【解析】先化简各数，再合并计算；
先化简，再算乘法，最后计算除法，将结果分母有理化．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：，，
，，，
；
． 

【解析】先计算出，，，再利用完全平方公式和平方差公式得到；，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．利用整体代入的方法可简化计算．
 

19.【答案】解：，，，
，
，
，
四边形平行四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
平行四边形的周长，平行四边形的面积． 

【解析】根据平行四边形性质和勾股定理即可求解．
本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．
 

20.【答案】解：在中，，，
则，
秒后，，则，
则船向岸边移动距离为． 

【解析】开始时，，，即可求得的值，秒后根据，长度即可求得的值，即可解题．
本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求秒后的值是解题的关键．
 

21.【答案】  

【解析】解由图可得长方形的面积为：，
故答案为：；
解：由题意可得，，
符合条件的如图所示：

解：如图所示，过点作直线的对称点，连接交直线与点，点即所求点，

的最小值等于，，
故答案为：．
通过长方形的面积减去三角形的面积即可得到答案；
根据，，即可找出点；
过点作直线的对称点，连接交直线与点，点即所求点．
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理的知识．
 

22.【答案】证明：延长至，使，连接、，

四边形中对角线、互相平分，
四边形是平行四边形，
，，
，
．
，
；

解：延长至点，使，连结，

在和中，
，
≌，
，
又，
，
是等边三角形，
，
． 

【解析】延长至，使，连接、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，等量代换得到，即可证明；
延长至点，使，连结，证明≌，根据全等三角形的性质得到，又，证明是等边三角形，得到，即可求解．
本题主要考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等，作出辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：菱形和正方形的对角线相互垂直，
故答案为：；
，理由如下，
，
，，，，
，，
；
如图所示，设，交于点，，交于点，连接，

，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是垂美四边形，
根据得，
，，
，
正方形和正方形，
，
，
．
根据菱形和正方形的性质即可得到答案；
先根据勾股定理得到，，，，即可推算出；
先根据正方形的性质证明≌，再证明，得到四边形是垂美四边形，再结合的结论即可求出．
本题考查菱形、正方形、全等三角形和勾股定理，能够灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：如图中，连接、，交于，作轴于，轴于．

四边形是正方形，
，，，，
，，
，
≌，
，，
，
，
．

结论：，不发生变化．
理由：如图中，作轴于，于，连接．

，，，
，，
，
，
，
，
≌，
，轴于，于，
平分，
．

结论：正确．
理由：如图中，将绕点顺时针性质得到．

，
，
，
，
，
，，
≌，
，
在中，，，
． 

【解析】如图中，连接、，交于，作轴于，轴于由≌，推出，，推出，求出点的坐标即可解决问题；
结论：，不发生变化．如图中，作轴于，于，连接只要证明≌，推出，又轴于，于，即可推出平分，由此即可解决问题；
结论：正确．如图中，将绕点顺时针性质得到首先证明是直角三角形，再证明≌即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、中点坐标公式、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．