2022-2023学年江苏省常州市天宁区清潭中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省常州市天宁区清潭中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列汽车标志中，不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列调查中，适合采用普查的是(    )

A. 对夏季冷饮市场上冰淇淋质量的调查 B. 对一批节能灯管使用寿命的调查
C. 对量子科学通信卫星上某种零部件的调查 D. 了解我省农民的年人均收入情况

3.  在一个不透明的盒子中装有红球和白球共个，这些球除颜色外无其它差别，随机从盒子中摸出一个球，记下球的颜色后，放回并摇匀通过大量的实验后发现摸出白球的频率稳定在，则盒子中白球的个数可能是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  代数式，，，中，分式有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

5.  下列说法正确的是(    )

A. 平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 四条边相等的四边形一定是正方形
D. 四个角是直角的四边形是正方形

6.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图，在矩形中，、交于点，于点，，则大小是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在菱形中，点、分别是边、的中点，连接、、若菱形的面积为，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

9.  为了了解我校八年级学生的视力情况，从八年级全部名学生中随机抽查了名学生的视力．在这个问题中，样本的容量是______．

10.  将一批数据分成组，并列出频率分布表，其中第一组的频率是，第二组与第四组的频率之和是，那么第三组的频率是______ ．

11.  当 ______ 时，分式有意义．
若分式的值为，则 ______ ．

12.  分式和的最简公分母是______．

13.  某批乒乓球的质量检验结果如表：

从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是______精确到

14.  如图，矩形的对角线，相交于点，，若，则四边形的周长是______ ．

15.  如图，在中，点、分别是边、的中点，连接，的平分线交于点，若，，则的长为______ ．

16.  如图，在菱形中，、相交于点，，垂足为若，，则的长为______．

17.  如图，已知中，，，将绕着点逆时针旋转，使点落在边上的点处，点落在点处，那么的度数为______度．

18.  如图，在中，，，点是射线上的一动点，将绕点顺时针方向旋转得，连接、，点为的中点，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
；
；
．

20.  本小题分
先化简，再从，，，四个数中选取一个合适的数代入求值．

21.  本小题分
某校就“地方戏曲进校园”的喜爱情况进行了随机调查，对收集的信息进行统计，绘制了下面两副尚不完整的统计图．请你根据统计图所提供的信息解答下列问题：
图中表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”．
被调查的总人数是______人，扇形统计图中部分所对应的扇形圆心角的度数为______．
补全条形统计图；
若该校共有学生人，请根据上述调查结果，估计该校学生中类有多少人？
 

22.  本小题分
仅用无刻度的直尺按要求画图，保留作图痕迹．

在图中，矩形中，点在上，，画出的平分线；
在图中，矩形中，点在上，，画出的平分线；
在图中，过点作直线将平行四边形的面积平分．

23.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上．

将向右平移个单位长度得到，请画出；
请画出关于点的中心对称图形；
若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为______ ．

24.  本小题分
如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，，，．
判断四边形的形状，证明你的结论；
若，则四边形是什么特殊四边形？证明你的结论．

25.  本小题分
如图，在中，，是中线，是中点，过作交的延长线于点，连接．
求证：；
如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

26.  本小题分
在菱形中，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边．

如图，当点在线段上时，连接，与的数量关系是______ ；与的位置关系是______ ；
当点在线段的延长线上时，中的结论是否还成立？若成立，请予以证明，若不成立，请说明理由；请结合图的情况予以证明或说理
如图，在的条件下，连接，若，，请直接写出的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】A.对夏季冷饮市场上冰淇淋质量的调查具有破坏性，适合抽样调查；
B.对一批节能灯管使用寿命的调查具有破坏性，适合抽样调查；
C.对量子科学通信卫星上某种零部件的调查非常重要，适合普查；
D.了解我省农民的年人均收入情况工作量非常大，适合抽样调查．
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似判断即可．
本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意可得：
盒子中白球的个数可能是：，
故选：．
用球的总个数乘以摸出白球的频率稳定值即可．
本题考查了用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．
 

4.【答案】 

【解析】解：由分式的定义可得，
，是分式，，是整式，
故选：．
根据分母中含有字母的代数式叫做分式进行辨别、求解．
此题考查了分式概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
 

5.【答案】 

【解析】解：平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项错误，不符合题意；
B.对角线互相垂直的四边形是菱形，故本选项正确，符合题意；
C.四条边相等的四边形是菱形或正方形，故本选项错误，不符合题意；
D.四个角是直角的四边形是正方形或矩形，故本选项错误，不符合题意；
故选B．
根据四边形的性质及判定解答．
本题考查了各种四边形的相关判定和性质，从角、边、对角线的角度进行分析是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：．，不符合题意；
B.分子和分母都是整体，当分子分母都除以的时候，也要除以，不符合题意；
C.分子和分母没有公因式，不能约分，不符合题意；
D.，符合题意．
故选：．
分别计算各选项，即可得出答案．
本题考查了分式的约分，分式的基本性质，考核学生的计算能力，约分的时候注意分子分母都是一个整体，有公因式才可以约分．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
；
故选：．
由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案．
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，交于点，交于点，

四边形是菱形，
，菱形的面积为：，
点、分别是边、的中点，
，，
，，
设，，
，即，
．
故选：．
连接、，交于点，交于点，根据菱形性质可得菱形面积公式，然后根据三角形中位线定理得与关系，最后根据三角形面积公式代入计算可得答案．
此题考查的是菱形的性质、三角形中位线定理，能够利用三角形面积公式得到答案是解决此题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：为了了解我校八年级学生的视力情况，从八年级全部名学生中随机抽查了名学生的视力．
在这个问题中，样本的容量是：．
故答案为：．
直接利用样本容量的概念得出答案．
此题主要考查了样本容量的定义，正确把握相关定义是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据各组频率之和为，可求出答案．
本题考查频率分布表的意义和制作方法，掌握各组频率之和为是得出正确答案的前提．
 

11.【答案】   

【解析】解：分式有意义，
，即；
分式的值为，
，且，
，
故答案为：；．
根据分式有意义的条件即可求出结果；
根据分式的值为的条件即可求出结果．
本题考查分式有意义的条件及分式的值为的条件，熟练掌握分式有意义的条件及分式的值为的条件是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
分式和的最简公分母是：，
故答案为：．
确定最简公分母的方法是：
取各分母系数的最小公倍数；
凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的知识，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
 

13.【答案】 

【解析】解：从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是．
故答案为．
由表中数据可判断频率在左右摆动，于是利于频率估计概率可判断任意抽取一只乒乓球是优等品的概率为．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形为矩形，
，，且，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为菱形，
，
．
故答案为：．
根据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长．
本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点、分别为边、的中点，
，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线定义和平行线的性质以及等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，由勾股定理得：，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据菱形的性质得出，，，，求出和，求出，根据菱形的面积公式求出即可．
本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由旋转可知：，，，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由旋转的性质可得，，，结合等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解，的度数，即可证得，再利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求解．
本题主要考查旋转的性质，三角形的内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
又为的中点，
，
当取最小值时，最小，
而当时，最小，
的最小值为，
的最小值为，
故答案为：．
根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，可证，则为等腰直角三角形，可得，利用直角三角形斜边中线的性质可得，当取最小值时，最小，而当时，最小，于是得到结论．
本题考查来了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式


；
原式



；
原式

；
原式

． 

【解析】先通分、然后再计算即可；
先通分、然后再计算即可；
根据分式混合运算法则计算即可；
根据分式混合运算法则计算即可．
本题主要考查了分式的混合运算等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
 

20.【答案】解：


，
，，
，，
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后从，，，四个数中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

21.【答案】   

【解析】解：人，
，
故答案为：；；
人，补全条形统计图如图所示：

人，
答：估计该校学生中类有多人．
从两个统计图中，可得“很喜欢”的频数为人，占调查人数的，可求出调查人数；用乘部分所占比例即可得出部分所对应的扇形圆心角的度数；
求出组人数，即可补全条形统计图；
用乘即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解和掌握两个统计图中的数量关系是正确解答的关键．
 

22.【答案】解：如图：连接，即为所求．

如图，即为所求．

如图：直线即为所求．
 

【解析】如图：连接，由得到，由得，则，即可确定平分；
如图：连接、相交于点，连接，利用矩形性质得到，则，根据等腰三角形的性质可判断平分；
如图：连接、相交于点，过、作直线交与，直线即为所求．
本题主要考查了平行四边形的性质、矩形的性质等知识点，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，掌握基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解答本题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

如图，即为所求；
若将绕某一点旋转可得到，则旋转中心的坐标为，
故答案为：．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
对应点连线的交点即为旋转中心．
本题考查作图旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形是平行四边形，
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形；
解：四边形是菱形，
证明：，，
，
四边形是平行四边形，
平行四边形是菱形． 

【解析】根据平行四边形的性质得出，，进而利用平行四边形的判定解答即可；
根据平行四边形的判定和菱形的判定解答即可．
此题考查平行四边形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出，解答．
 

25.【答案】证明：，
，
是的中点，
，
在和中，，
≌，
，
在中，，是中线，
，
；

当时，四边形是正方形．
，，
四边形是平行四边形，
，是中线，
，
，
四边形是正方形． 

【解析】由是的中点，，易证得≌，即可得，又由在中，，是中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可证得，即可证得：；
当时，四边形是矩形．由，，可证得：四边形是平行四边形，又由，根据三线合一的性质，可得，，继而可得四边形是正方形．
此题考查了正方形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

26.【答案】   

【解析】解：如图，连接，延长交于，

四边形是菱形，，
，，
，都是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，即，
故答案为：，；

当点在线段延长线上时，中的结论还成立，理由如下：
如图，连接交于，设交于，

四边形是菱形，，
，，
，都是等边三角形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，

≌，
，，
，
，
，即；

如图，连接交于，连接，

四边形是菱形，
，平分，
，
，，
，
由知，
，
，
，，
，
由知，
，
，
．
连接，延长交于，证明≌，可得，再根据，即可得出；
连接交于，设交于，证明≌，可得，再根据，即可得出；
连接交于，连接，利用菱形的性质求得，，，利用勾股定理求得，从而求出，再利用勾股定理即可求解．
本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定证明三角形全等是解题的关键．