2022-2023学年江苏省扬州市江都区八校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省扬州市江都区八校八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有多年的历史．一棋谱中四部分的截图由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  为了解某市年名考生的数学中考成绩，从中抽取了名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：这名考生的数学中考成绩的全体是总体；每个考生是个体；从中抽取的名考生的数学中考成绩是总体的一个样本；样本容量是名．其中说法正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列成语描述的事件是随机事件的是(    )

A. 海枯石烂 B. 守株待兔 C. 画饼充饥 D. 瓜熟蒂落

4.  如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  若把分式中的，都扩大原来的倍，则该分式的值(    )

A. 扩大为原来的倍 B. 扩大为原来的倍 C. 不变 D. 缩小原来的

6.  随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万件产品，现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，则代数式的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在▱中，，于点，为的中点，连结、，下列结论：；；；，其中正确结论的个数共有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

9.  一个不透明的口袋中有质地均匀大小相同的个白球和个黑球，从中任意摸出个球，摸出白球的概率是______．

10.  一个样本的个数据分别落在个小组内，第、、、组的数据的个数分别、、、，则第组的频率为______ ．

11.  已知葵形中，对角线，，则菱形的面积是______．

12.  计算： ______ ．

13.  如图，在中，是上一点，，，垂足为点，是的中点，若，则的长为______ ．

14.  如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则等于          
 

15.  如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，则点的坐标为           ．

16.  已知，则 ______ ．

17.  如图，正方形的边长为，点在边上，且，若点在对角线上移动，则的最小值是______．
 

18.  已知关于的方程的解是正整数，则正整数的值是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
．

20.  本小题分
解分式方程：
；
．

21.  本小题分
化简：，并在中选取一个合适的整数代入求值．

22.  本小题分
某校为了解在春节期间学生在家的上网时间，随机抽查了该校若干名学生，对他们在春节期间的上网时间进行统计每个学生只选一个选项，绘制了统计表和条形统计图．

根据以上信息回答下列问题：
统计表中 ______ ， ______ ．
补全条形统计图；
若该校有名学生，请估计该校学生春节期间在家上网时间少于小时不包含小时的人数．

23.  本小题分
“绿水青山就是金山银山”，为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务甲、乙两个工程队每天共整治河道米，且甲工程队整治米所用的时间与乙工程队整治米所用的时间相等求甲工程队每天整治河道多少米？

24.  本小题分
如图所示，在▱中，对角线与相交于点，过点任作一条直线分别交、于点、．
求证：；
若，，，求四边形的周长．

25.  本小题分
如图，在四边形中，对角线，相交于点，，，且．
求证：四边形是矩形；
若：：，，求的度数．

26.  本小题分
已知关于的分式方程．
若分式方程的根是，求的值；
若分式方程有增根，求的值；
若分式方程有无解，求的值．

27.  本小题分
阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或．
又因为，
所以关于的方程有两个解，分别为，．
应用上面的结论解答下列问题：
方程的两个解分别为，，则 ______ ， ______ ；
方程的两个解分别为，，求的值；
关于的方程的两个解分别为、，求用含的代数式表示．

28.  本小题分
如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线不含点上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．

求证：≌；
如图，当点在何处时，的值最小；
如图，在中，，，若点是内一点，直接写出的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项B、、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．
区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】
解：这名考生的数学中考成绩的全体是总体，正确；
每个考生的数学中考成绩是个体，故原说法错误；
从中抽取的名考生的数学中考成绩是总体的一个样本，正确；
样本容量是，故原说法错误；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、海枯石烂是不可能事件，故此选项不合题意；
B、守株待兔是随机事件，故此选项符合题意；
C、画饼充饥是不可能事件，故此选项不合题意；
D、瓜熟蒂落，是必然事件，故此选项不合题意．
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断．
此题主要考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意得，变形得，
，
扩大为原来的倍，选项，扩大为原来的倍，不符合题意；
选项，扩大为原来的倍，符合题意；
选项，不变，不符合题意；
选项，缩小原来的，不符合题意；
故选：．
根据分式的性质，将，都扩大原来的倍，在进行化简计算即可．
本题主要考查分式的性质，化简，掌握分式的性质是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，根据工作时间工作总量工作效率结合现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】
解：设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，
依题意，得：．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，即，
则原式，
故选D
已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则计算，整理得到，代入原式计算即可得到结果．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
如图延长交的延长线于，取的中点连接，利用平行四边形和全等三角形的判定和性质即可判断，想办法证明四边形是菱形即可判断．
【解答】
解：如图延长交的延长线于，取的中点连接．

，，
，
，
，
，
，
故正确，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
，故正确，
，
，故正确，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，，，
，
，
，故正确，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：一个不透明的口袋中有个白球和个黑球，它们除颜色外完全相同，
从中任意摸出一个球，摸出的是白球的概率是：．
故答案为：．
直接利用概率公式求出答案．
此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：第组的频数：，
频率为：．
答：第组的频率为．
故答案为：．
根据总数计算出第组的频数，用第组的频数除以数据总数就是第组的频率．
本题考查了频率的计算方法，理解频率的计算公式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，，，
菱形的面积；
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解决问题．
本题考查了菱形的性质；数据菱形的面积公式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：



．
根据分式的混合运算法则即可求解．
本题主要考查异分母分式的加减法，掌握分式运算法则即可求解．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
为的中点，
又是的中点，
为的中位线，
，，
，
，
故答案为：．
根据三角形的中位线定理，在三角形中准确应用，并且求证为的中点，再求证为的中位线，从而求得结论．
本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的性质．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
先根据平行线的性质得出的度数，再根据翻折变换的性质得出的度数，根据平角的定义即可得出结论．
【解答】
解：，，
，
又，
，
．
故答案是：．  

15.【答案】 

【解析】解：过点作于，
四边形是菱形，
，，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
，
点的坐标为．
故答案为：．
首先由四边形是菱形，可得，，然后过点作于，设，则，，在中，利用勾股定理即可求得的长，则可得点的坐标．
此题考查了菱形的性质与勾股定理的应用．解题的关键是方程思想的应用．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
首先由，求得的值，然后由，即可求得答案．
此题考查了完全平方公式的应用．解题的关键是掌握与整体思想的应用．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了轴对称最短线路问题，以及正方形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
作出点关于的对称点交于，连接与交于点，此时最小，求出的长即为最小值．
【解答】
解：作出点关于的对称点交于，连接与交于点，此时最小，

，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
则的最小值为．
故答案为：．  

18.【答案】或 

【解析】解：，
移项，，
即，，
，

且，
解是正整数，
，且，
正整数，
，，，即，，，
此时舍去或或，符合题意；
综上所述，正整数的值是或．
根据解分式方程的方法解出分式的解，再根据解是正整数，判断正整数的值，由此即可求解．
本题主要考查解分式方程，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
 

19.【答案】解：



．
解：


． 

【解析】根据分式的加减法，乘法公式即可求解；
根据分式的乘除法，乘法公式即可求解．
本题主要考查分式的混合运算，乘法公式的综合，掌握分式混合运算法则，平方差公式的运用是解题的关键．
 

20.【答案】解：
方程两边都乘以得，，
解得，，
检验：当时，，
是原分式方程的解；

方程两边都乘以得，，
解得，，
检验：当时，，
是增根，
原分式方程无解． 

【解析】方程两边都乘以得，，解得，，检验后即可得到答案；
方程两边都乘以得，，解得，检验后即可得到答案．
此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式


，
选择一个合适的整数，这里只能选，
当时，原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选择使分式有意义的的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

22.【答案】   

【解析】解：，，
故答案为：，；
补全的条形统计图如图所示；

人，
答：估计该校学生春节期间在家上网时间少于小时不包含小时的有人．
根据统计表中的数据可以计算出和的值；
根据中得出的的值即可补全条形统计图；
根据统计表中的数据可以计算出该校学生上网时间少于小时不包含小时的人数．
本题考查条形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：设甲工程队每天整治河道米，则乙工程队每天整治河道米，
根据题意得：，
解得：，
经检验得：是原方程的解，且符合题意，
答：甲工程队每天整治河道米． 

【解析】设甲工程队每天整治河道米，则乙工程队每天整治河道米，由题意：甲工程队整治米所用的时间与乙工程队整治米所用的时间相等．列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；

≌，
，，
，，，
，，
四边形的周长为：． 

【解析】由四边形是平行四边形，可得，，则可证得≌，继而证得；
由≌，可得，，继而求得答案．
此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
 

25.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是矩形；

解：，：：，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
． 

【解析】根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，求出，根据矩形的判定得出即可；
求出的度数，根据三角形内角和定理求出，根据矩形的性质得出，求出，即可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
 

26.【答案】解：把代入得，，
解得；
，
两边都乘以得，，
整理得，，
由分式有增根，则，
或，
把代入，的值不存在，
把代入，解得，
综上可知，；
由可知，，
当时，方程无解，即，
当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由知，
综上可知，或． 

【解析】把方程的解代入方程，解之即可得到答案；
原方程整理得，由分式有增根，则，得到或，分两种情况分别求解即可；
由可知，，分和两种情况分别求解即可．
此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
 

27.【答案】   

【解析】解：关于的方程有两个解，分别为，且 方程的两个解分别为，，
，；
方程的两个解分别为，，则，，
由 ，把，代入上式得：；
，
，
，
，
或，
，
．
根据题意即可得到，；
方程的解为，得，，代入 即可得到答案；
原方程可变形为，由可得或，则，代入即可得答案．
此题考查了分式方程的解法，读懂题意并准确计算是解题的关键．
 

28.【答案】证明：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
≌；
连接，当点位于与的交点处时，的值最小，连接，

由得≌，
，
，，
是等边三角形，
，
，
根据两点之间线段最短，当点，，，在同一条直线上时，取最小值，最小值为．
以点为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，如图所示，

则，，，
是等边三角形，
，
，
，
当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值，
，，，
，，，
，
，
的最小值为． 

【解析】由是等边三角形得到，，又由得，由，即可证明≌；
连接，当点位于与的交点处时，的值最小，连接，由得≌则，再证是等边三角形，，，根据两点之间线段最短，即可得到结论；
以点为旋转中心，顺时针旋转到，旋转角是，连接、，证明是等边三角形，，证得当，，，四点共线时，最小，最小值就是的值，再求得的值即可．
此题考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握等边三角形的判定和旋转的性质是解题的关键．