2023年广东省东莞市中考二模数学试卷（含解析）

这是一份2023年广东省东莞市中考二模数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省东莞市中考二模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列实数是无理数的是（   ）
A． B． C． D．
2．某种芯片每个探针单元的面积为，0.00000164用科学记数法可表示为（  ）
A． B． C． D．
3．下列立体图形中，俯视图是三角形的是（   ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（    ）
A． B． C． D．
5．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为（     ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．把抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，．若，则的大小为（    ）

A． B． C． D．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像如图所示、则当时，自变量的取值范围为（    ）

A． B． C． D．
9．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（    ）

A． B． C． D．
10．如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，设x表示线段的长，y表示线段的长，下列结论不正确的是（　　）
  
A． B． C． D．

二、填空题
11．若代数式有意义，则实数x的取值范围是 _____．
12．点关于轴的对称点是_____．
13．不等式组的解集是_____．
14．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，此时A′B′⊥AC于点D，已知∠A＝50°，则∠B′CB的度数是 _____．

15．若方程的一个根是m，则代数式_________．
16．双曲线在第一象限的图象如图，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB＝3，则k的值为_____．

17．如图，将等边的三条边向外延长一倍，得到第一个新的．第二次将等边的三边向外延长一倍，得到第二个新的，依此规律继续延长下去，若的面积，则第2023个新的三角形的面积为_______．
  

三、解答题
18．计算：．
19．先化简，再求值，其中．
20．如图，已知△ABC，∠C＝90°，
（1）请用直尺与圆规作图，作线段AB的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点D．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若∠B＝15°，若AC＝，则BD＝　 　．

21．春季开学后，某校为了让学生有效应用压岁钱，开展有意义的“尊老、敬老”慈善捐款活动，将捐款捐赠给本市敬老院．学生会为了了解学生捐款的情况，随机调查了该校部分学生，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图．请根据相关信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生人数为________人，在扇形统计图中，捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数是________度，在调查的这组学生中，捐款金额的中位数是________元；
(2)补全条形统计图；
(3)学生会为了更好地引导学生合理支配压岁钱，选出甲，乙，丙和丁四人从不同的方面在全校进行讲解，但由于时间的限定，临时调整只能两人讲解．因此，学生会采用随机抽签的方式从甲，乙，丙和丁四人中确定两名讲解人选．请用列表或画树状图的方式说明抽中甲和乙的概率是多少？
22．如图，的半径为6cm，经过上一点C作的切线交半径的延长于点B，作的平分线交于点D，交于点F，延长交于点E．
(1)求证：；
(2)如果，求的长度．

23．某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半．
(1)求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；
(2)经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
24．如图1，在正方形中，点E在边上（不与点C，D重合），交于点F．
  
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图2，连接，则 ．
25．如图，抛物线y＝ax2+bx+1与x轴交于两点A（﹣1，0），B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD∥CA抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


参考答案：
1．C
【分析】无理数是指无限不循环小数，据此判断即可．
【详解】根据无理数的定义，为无理数，
，1，2均为有理数，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的辨别，理解无理数的定义以及常见形式是解题关键．
2．B
【分析】绝对值小于1的数利用科学记数法表示的一般形式为a×10-n，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.00000164=1.64×10-6，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小数的方法，写成a×10-n的形式是关键．
3．B
【分析】俯视图是从物体上面看所得到的图形，据此判断得出物体的俯视图．
【详解】解：A、圆锥体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，故此选项符合题意；
C、球的俯视图是圆，故此选项不合题意；
D、圆柱体的俯视图是圆，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了几何体的三视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
4．B
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，原计算错误，该选项不符合题意；
B、，正确，该选项符合题意；
C、，原计算错误，该选项不符合题意；
D、，原计算错误，该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．A
【分析】根据正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，外角和等于，即可得出答案
【详解】解：∵多边形的外角和等于360°，且这个每个外角都等于72°，
∴它的边数为.
故选A
【点睛】本题考查多边形的外角和，解题的关键是掌握多边形的外角和等于360°.
6．C
【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
【详解】解：抛物线向左平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
7．B
【分析】根据两直线平行线，内错角相等，求出∠1=∠C=58°，再利用两直线平行线，同旁内角互补即可求出∠CGE的大小，然后利用对顶角性质即可求解．
【详解】解：设CD与EF交于G，
∵AB∥CD
∴∠1=∠C=58°
∵BC∥FE，
∴∠C+∠CGE=180°，
∴∠CGE=180°-58°=122°，
∴∠2=∠CGE=122°，

故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线性质是解题关键
8．D
【分析】观察图像得到两个交点的横坐标，再观察一次函数函数图像在反比例函数图像上方的区段，从而可得答案．
【详解】解：由图像可得：两个交点的横坐标分别是：
所以：当时，
，
故选D．
【点睛】本题考查的是利用一次函数图像与反比例函数图像解不等式，掌握数型结合的方法是解题的关键．
9．A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，
∴=，
故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
10．C
【分析】由函数图象可知，，当时，BP取得最小值，由“垂线段最短”得到当时，取得最小值，此时，，从而求得的底边上的高的长度，即可在中，求出的长，再在中，由勾股定理求得的长，最后利用勾股定理的逆定理可求得．
【详解】解：由函数图象可知，，故选项A正确，不符合题意；
当时，取得最小值，
则如图，过点B作于点P，则，
∴在中，，，
∴在中，，故选项B正确，不符合题意；
∴，，故选项C错误，符合题意；
∵，
∴，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
  
【点睛】本题考查的是动点的函数图象，勾股定理，此类题目的核心是在图形和图象上，找到动点位置在两个图上的对应位置关系，这类题目有一定的难度．
11．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12．(-2，-3)
【分析】点(x，y)关于y轴的对称点的坐标是(-x，y)，据此进行求解即可得.
【详解】点P(2，-3)关于y轴的对称点坐标是(-2，-3)，
故答案为(-2，-3).
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决的关键是对知识点的正确记忆．关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数；关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
13．．
【分析】根据解一元一次不等式组的方法求解即可.
【详解】解：，
由不等式①，得，
由不等式②，得，
故原不等式组的解集是，
故答案为．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题目，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键.
14．40°
【分析】由旋转的性质可得∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，由直角三角形的性质可求∠ACA'＝40°＝∠B′CB．
【详解】解：∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，
∴∠A＝∠A'＝50°，∠BCB'＝∠ACA'，
∵A'B'⊥AC，
∴∠A'＋∠ACA'＝90°，
∴∠ACA'＝40°，
∴∠B′CB＝40°，
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质求解．
15．6
【分析】根据一元二次方程解的定义得到，即，则．
【详解】解：∵方程的一个根是m，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义和代数式求值，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．
16．10
【分析】根据S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB，列出方程，求出k的值．
【详解】由题意得：S△BOC﹣S△AOC＝S△AOB，

解得，k＝10，
故答案为10
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．根据面积关系得出方程是解决问题的关键．
17．72023
【分析】如图，连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积即可；根据等底等高的三角形的面积相等得到向外扩展了一次得到的的面积，向外扩展了二次得到的的面积，，找出规律即可．
【详解】解：如图，连接，
  
，
，
，
用同样的方法得到，，，
；
向外扩展了一次得到的的面积为；
向外扩展了二次得到的，可以看作是向外扩展了一次得到，
的面积为的面积；
向外扩展了二次得到的的面积，，
同理：向外扩展了次得到的的面积为，
第2023个新的三角形的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查规律型：图形变化类，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
18．3
【分析】根据特殊角的三角函数值、绝对值的意义和负整数指数幂的计算方法计算即可．
【详解】解：原式

=3．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、绝对值的意义和负整数指数幂的运算法则等知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
19．x2-2y，0
【分析】首先运用平方差公式计算，再运用单项式乘以多项式计算，最后合并同类项，即可化简，然后把x、y值代入计算即可．
【详解】解：
=x2-y2+y2-2y
=x2-2y
当x=1，y=时，原式=12-2×=0．
【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）2
【分析】（1）以A、B两点为圆心，大于AB为半径，画弧交M、N两点，过M、N作直线MN即可，
（2）利用MN是垂直平分线得DA＝DB，由等边对等角得∠B＝∠DAB＝15°，由外角求∠ADC＝30°，利用直角三角形中30º角的性质BD＝AD＝2AC即可．
【详解】（1）如图，直线MN即为所求．

（2）连接AD．
∵MN垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝15°，
∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，AC＝，
∴BD＝AD＝2AC＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查尺规作图和垂直平分线的性质，直角三角形中30º角的性质，掌握尺规作图和垂直平分线的性质，直角三角形中30º角的性质，会用尺规作线段垂直平分线，会利用垂直平分线求角，会利用30度角的性质解题是关键．
21．(1)60，108，50
(2)见解析
(3)

【分析】（1）由捐款金额为50元的有21人，所占的百分比为，即可求得这次被调查的学生数；用360度乘以捐款金额为100元所占的百分比，即可求得B所占扇形的圆心角；根据中位数的求法可求得捐款金额的中位数；
（2）首先求得捐款金额为20元对应人数、捐款金额为200元对应人数，即可补全统计图；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：∵捐款金额为50元的有21人，所占的百分比为，
∴这次被调查的学生共有：（人）；
捐款金额为100元所在扇形的圆心角的度数是：；
捐款金额的中位数是第30、31两个数，即50元；
故答案为：60，108，50；
（2）解：捐款金额为20元对应人数为：（人）
捐款金额为200元对应人数为：（人）；
补全条形统计图如图．
；
（3）解：画树状图得：

∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种，
∴P（选中甲、乙）．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用．
22．(1)证明见解析；
(2)．

【分析】（1）由平分，易证得，即可证得；
（2）切于点C，，易证得平行四边形是菱形，继而可证得是等边三角形，则可得：，继而求得弧的长度．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）∵切于点C，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴弧的长度=．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
23．(1)购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元
(2)该学校最多可购买21个测温枪

【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，根据用400元购买测温枪的数量是用160元购买洗手液的一半，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，根据总价单价数量结合总价不超过670元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，
依题意，得：，
解得：．
答：该学校最多可购买21个测温枪．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）由“”可证，可得，，由四边形内角和定理可证，可得；
（2）过点作于，利用勾股定理可求的长，即可求解；
（3）在上截取，连接，由“”可证，可得，，可得，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
    
四边形是正方形，
，，，
又，
，
，，
，且，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，过点作于，
    
，，
，
，
，，
，，
，
，
，（负值舍去），
；
（3）解：如图3，在上截取，连接，
  
，，
，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
25．（1）y＝﹣x2+1；（2）4；（3）M （，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．
【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值；
（2）先求出直线AC的解析式，由于BD∥AC，那么直线BD的斜率与直线AC的相同，可据此求出直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标；由图知四边形ACBD的面积是△ABC和△ABD的面积和，由此可求得其面积；
（3）易知OA＝OB＝OC＝1，那么△ACB是等腰直角三角形，由于AC∥BD，则∠CBD＝90°；根据B、C的坐标可求出BC、BD的长，进而可求出它们的比例关系；若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，那么两个直角三角形的对应直角边应该成立，可据此求出△AMN两条直角边的比例关系，连接抛物线的解析式即可求出M点的坐标．
【详解】解：（1）依题意，得：，解得；
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+1；
（2）易知A（﹣1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y＝x+1；
由于AC∥BD，可设直线BD的解析式为y＝x+h，则有：1+h＝0，h＝﹣1；
∴直线BD的解析式为y＝x﹣1；联立抛物线的解析式得：
，解得，；
∴D（﹣2，﹣3）；
∴S四边形ACBD＝S△ABC+S△ABD＝×2×1+×2×3＝4；
（3）∵OA＝OB＝OC＝1，
∴△ABC是等腰Rt△；
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝90°；
易求得BC＝，BD＝3；
∴BC：BD＝1：3；
由于∠CBD＝∠MNA＝90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
△MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得：
或；
即MN＝AN或MN＝3AN；
设M点的坐标为（x，﹣x2+1），
①当x＞1时，AN＝x﹣（﹣1）＝x+1，MN＝x2﹣1；
∴x2﹣1＝（x+1）或x2﹣1＝3（x+1），
解得x＝，x＝﹣1（舍去）或x＝4，x＝﹣1（舍去）；
∴M点的坐标为：M（，﹣）或（4，﹣15）；
②当x＜﹣1时，AN＝﹣1﹣x，MN＝x2﹣1；
∴x2﹣1＝（﹣x﹣1）或x2﹣1＝3（﹣x﹣1），
解得x＝，x＝﹣1（两个都不合题意，舍去）或x＝﹣2，x＝﹣1（舍去）；
∴M（﹣2，﹣3）；
故存在符合条件的M点，且坐标为：M（，﹣）或（4，﹣15）或（﹣2，﹣3）．
【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法以及相似三角形的判定和性质等重要知识点，同时还考查了分类讨论的数学思想．