2023年吉林省长春市新区中考一模数学试题（含解析）

这是一份2023年吉林省长春市新区中考一模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年吉林省长春市新区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．如图所示的领奖台，其俯视图为（    ）

A． B． C． D．
2．2022年年末，我国人口比上年末减少85万人．“85万”这个数用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．下列计算结果为2的是（    ）
A． B． C． D．
4．已知药品A的保存温度要求为，药品B保存温度要求为，若需要将A，B两种药品放在一起保存，则保存温度要求为（    ）
A． B． C． D．
5．如图为敦煌莫高窟的三兔图，将图案绕中心至少旋转度能与自身重合，则为（    ）

A． B． C． D．
6．如图，用三角支架固定空调外机，已知，，米，则点O到墙面距离为（    ）

A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图，已知线段，分别以点A、B为圆心，长为半径作圆弧，两弧相交于点C、D，连接，交线段于点E，以点E为圆心，长为半径作圆弧，交线段于点F，连接、，则的度数为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，的顶点B在x轴正半轴上，点A与的中点D都在反比例函数的图象上，若的面积为12，则k的值为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．12

二、填空题
9．分解因式：_____．
10．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为______．
11．我国古代著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．”其大意是：“今有人合伙买猪，每人出100钱，则会多出100钱；每人出90钱，恰好合适．”若设共有x人，可求得x的值为______．
12．如图，圆形挂钟分针针尖到圆心的距离为，经过20分钟，分针针尖转过的弧长为______cm．（结果保留）

13．将一个含30°角的三角尺按如图方式放置在量角器上，使点A恰好落在量角器的弧上，三角尺与量角器交于B，C两点，其中点，C的读数为22°，则点B的读数为______．

14．已知点与点都在二次函数的图象上，若，则a的取值范围为______．

三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．某运动俱乐部推出活动，到俱乐部消费的顾客都有一次抽奖机会，商家在一个不透明的纸箱中放入三个小球，分别标记字母A、B、C，每个小球除字母不同外其余均相同，每次搅匀后顾客从纸箱中随机摸出一个小球记下字母后放回，按照字母兑换运动体验券即可(A：乒乓球；B：羽毛球；C：游泳)．小明和小亮均抽奖一次，用画树状图(或列表)的方法，求小明和小亮抽到的都是球类运动体验券的概率．
17．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，保留作图痕迹．

(1)在图①中的边上确定一点D，连接，使；
(2)在图②中的边上确定一点E，连接，使；
(3)在图③中的边上确定一点F，连接，使．
18．小月与小方分别驾车从人民广场，到净月潭．两人同时出发，小月走A线路，全程20km，小方走B线路，全程18km，小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到小时，求小月的平均速度．
19．如图，在中，，是边上的中线，，．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，则的值为______．
20．某校举办“科创达人”比赛，比赛分为笔试和科创作品展示两部分，其中笔试成绩占40%，作品展示成绩占60%．作品展示由十位评委现场打分后取平均数．对参加比赛的甲、乙两位同学得分数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲、乙两位同学的笔试成绩分别为85分、90分．
b．甲同学作品展示十位评委给分的部分折线图：

c．乙同学作品展示十位评委给分：
80，90，90，80，80，80，70，80，70，80．
d．甲、乙同学作品展示十位评委给分的平均数：
同学
甲
乙
平均数
85
m
根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全甲同学作品展示评委给分折线统计图；
(2)_____；
(3)科创作品展示中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学的作品评价越一致．据此判断：在甲、乙两位同学中，评委对______的评价更一致（填“甲”或“乙”）：
(4)通过计算说明甲、乙两位同学中哪位同学的总成绩较高．
21．A、B两个码头之间航程为48千米，甲、乙两轮船同时出发，甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头后，立即逆流匀速航行返回到A码头，乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头后停止，两轮船在静水中速度均为20千米/时，水流速度不变．两轮船距A码头的航程y（千米）与各自的航行时间x（时）之间的函数图象如图所示．

（顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度）
(1)水流速度为______千米/时；a值为______；
(2)求甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式；
(3)当乙轮船到达A码头时，求甲轮船距A码头的航程．
22．实践与探究

(1)操作一：如图①，已知三角形纸片，，，将三角形纸片沿过点A的直线折叠，折痕为，点B的对应点为点E，与交于点F，且，则______度；
(2)操作二：如图②，将沿继续折叠，点E的对应点为点G．与交于点M，与交于点N，则图②中度数为的角共有______个．
(3)根据以上操作所得结论，解答下列问题：
①求证：；
②若，则线段的长为______．
23．如图，在中，，，． 为边中线，点在线段上（点不与点重合），连结，作点关于的对称点，连结、．

(1)线段BD长为______；
(2)点到点A的距离最小值为______；
(3)当点落在的边上时，求线段BP的长度；
(4)当直线垂直于的一条直角边时，直线与边AB交于点Q，直接写出线段PQ的长度．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）经过点，．点A、B在抛物线上（点A与点B不重合），且点A的横坐标为m，点B的横坐标为，将此抛物线在A、B两点之间的部分（包含A、B两点）记为G．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)当G的函数值y随x的增大而先减小后增大时，求m的取值范围；
(3)当A、B两点到直线距离相等时，求m的值；
(4)设点C的坐标为，点D的坐标为，连接，当线段与G有一个公共点时，直接写出m的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】根据俯视图是从上往下看得到的图形，直接判断即可．
【详解】解：根据题意得：其俯视图是

故选D．
【点睛】本题考查了三视图，解题关键是明确俯视图是从上往下看到的图形．
2．B
【分析】根据科学记数法的表示方法选择即可．
【详解】∵85万，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的表示方法．
3．A
【分析】进行多重符号化简和去绝对值计算，进行判断即可．
【详解】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查多重符号化简，求一个数的绝对值．熟练掌握多重符号化简时，负号的个数为奇数个，结果为负，负号的个数为偶数个，结果为正，是解题的关键．
4．C
【分析】需要将A，B两种药品放在一起保存，冷库储藏温度正好是A药品冷库储藏温度的最高度数和B药品冷库储藏温度的最低度数.
【详解】解：∵药品A的保存温度要求为，药品B保存温度要求为，
∴将A，B两种药品放在一起保存，冷库储藏温度要求为，
故选：C.
【点睛】此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题意，搞懂A药品冷库储藏温度和B药品冷库储藏温度的要求.
5．C
【分析】根据旋转对称的性质，进行求解即可．
【详解】解：由题意得：将图案绕中心至少旋转，能与自身重合，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查旋转对称图形．熟练掌握旋转对称，是解题的关键．
6．B
【分析】利用，即可得出结果．
【详解】解：∵，，米，
∴，
∴米；
故选B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用．正确的识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
7．D
【分析】连接，由作法可知，垂直平分，，，进而推出是等边三角形，，再利用垂直平分线的性质，证明是等腰直角三角形，得到，即可求出的度数．
【详解】解：连接，
由作法可知，垂直平分，，，
是等边三角形，
，
垂直平分，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故选D．

【点睛】本题考查了作图——基本作图，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
8．C
【分析】作于M，于N．设，只要证明，由此构建方程即可解决问题．
【详解】解：连接，作于M，于N，

设，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数的性质、平行四边形的性质、三角形的面积、梯形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
9．a（a-2）
【分析】观察原式，找到公因式，提出即可得出答案．
【详解】解：.
故答案为．
【点睛】此题考查提公因式法，解题关键在于因式是否还能分解．
10．
【分析】根据一元二次方程根的情况和判别式的关系求解即可．
【详解】解：根据题意得．
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况和判别式的关系，熟练掌握一元二次方程根的情况和判别式的关系点是解题关键．
11．10
【分析】根据猪的价格不变，列出方程，进行求解即可．
【详解】解：设共有x人，由题意，得：，
解得：；
故答案为：10．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
12．
【分析】根据弧长公式可求得．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周的弧长公式和钟表上分针所走过的角度与时间之间的关系．弧长公式为，需要注意的是求弧长需要知道圆心角的度数和半径；分针1分钟走过的角度为．
13．/82度
【分析】连接，圆周角定理得到，再利用点B的读数为C的读数加上的度数，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，，

连接，则：，
∴点B的读数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
14．
【分析】先确定抛物线的对称轴和开口方向，再根据抛物线的对称性求出函数值相等时的x的值，然后根据函数值的增减性的得出答案．
【详解】二次函数，
可知抛物线的对称轴是，开口向下，
当时，即时，，
当时，.
所以当时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，根据抛物线的对称性确定临界值是解题的关键．
15．，0
【分析】先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，然后代值计算即可．
【详解】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键．
16．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的都是球类运动体验券的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】解：列表如下：

A
B
C
A



B



C



所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的都是球类运动体验券相同的情况有4种，
则．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析

【分析】（1）取的中点，连接，即为所求；
（2）取格点，连接，交于点E，连接，即为所求；
（3）取格点，连接交于点F，连接，即为所求；
【详解】（1）解：如图，取的中点，连接，即为所求；

由图可知：，
∴；
（2）解：如图，取格点，连接，交于点E，连接，即为所求；

由图可知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，取格点，连接交于点F，连接，即为所求；

由图可知：，
∴四边形为菱形，
∴是的中垂线，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键．
18．小月的平均速度为
【分析】设小月的平均速度为，根据小方的平均速度是小月的1.2倍，结果小方比小月早到小时，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设小月的平均速度为，则小方的平均速度为，由题意，得：
，解得：，
经检验：是原方程的解，
∴小月的平均速度为．
【点睛】本题考查分式方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到，即可得证；
（2）根据菱形的性质，得到，勾股定理求出的长，根据正切的定义，进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，是边上的中线，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵在中，，，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的判定和性质，求正切值，直角三角形斜边上的中线以及勾股定理．熟练掌握菱形的判定方法，正切的定义，是解题的关键．
20．(1)图见解析
(2)80
(3)乙
(4)甲同学的总成绩较高

【分析】（1）根据题意，补全折线图即可；
（2）利用平均数的计算公式求出的值即可；
（3）求出两位同学的方差，进行判断即可；
（4）利用加权平均数的计算公式求出两位同学的总成绩，进行比较即可．
【详解】（1）解：补全折线图，如图所示：

（2）解：；
故答案为：；
（3）解：由折线图可知：甲的10个得分分别为：，
∴
，
∴，
∴评委对乙的评价更一致；
故答案为：乙；
（4）解：甲的总成绩为分；
乙的总成绩为分；
∴甲同学的总成绩较高．
【点睛】本题考查折线图，平均数，加权平均数，方差．从折线图中有效的获取信息，熟练掌握平均数，加权平均数和方差的计算方法，是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)甲轮船距A码头的航程为千米

【分析】（1）先求出乙轮船的船速，进而求出水流速度，再计算出甲轮船顺水的速度，利用路程除以速度即可得到的值；
（2）求出甲轮船逆流的速度，设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将代入解析式，即可得出结论．
【详解】（1）解：由图象可知：乙轮船从B码头逆流匀速航行到A码头用了小时，
∴乙轮船逆流的速度为，
∴水流速度为：；
∴甲轮船顺水速度为：，
∴甲轮船从A码头顺流匀速航行到B码头所用时间为：；
∴，
故答案为：；
（2）解：甲轮船逆流的速度为：，
设甲轮船从B码头向A码头返回过程中y与x之间的函数关系式为：，
由图象可知：点在函数图象上，代入，得：
，解得：，
∴；
（3）解：当时，；
∴甲轮船距A码头的航程为千米．
【点睛】本题考查一次函数的实际应用．正确的识图，从图象上有效的获取信息，是解题的关键．
22．(1)45
(2)7
(3)①见解析②

【分析】（1）等边对等角，得到，三角形的内角和定理，得到，折叠得到，，平行，得到，进而求出的度数，即可得出结果；
（2）由（1）得到，， ，推出，根据折叠得到，即可得出结论；
（3）①推出，得到，利用证明即可；②利用含度的直角形的性质，求出各线段的长度，利用进行求解即可．
【详解】（1）解：∵三角形纸片，，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，即：；
故答案为：；
（2）由（1）知：，， ，
∴，
∵，
∴，
∵折叠，
∴；
综上：图②中度数为的角共有个；
故答案为：7；
（3）①证明：由（1）（2）知：，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②设，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．
23．(1)5
(2)2
(3)见解析
(4)

【分析】（1）根据为边中线，可得，根据勾股定理即可求得；
（2）根据点和点关于对称，可得是的垂直平分线，故，即点是以为圆心，的长为半径的圆上一点；当的值最小时候，即在上，可得，即可求得；
（3）分类讨论：
点落在的边上时：过点作交于点，交于点，根据勾股定理和三角形面积公式求得，根据相似三角形的判定得，，，根据相似三角形的性质可得，，，求得，即可求得；
点落在的边上时：过点作交于点，根据对称的性质，可得即为等腰直角三角形，根据相似三角形的性质可得，，求得，即可求得；
（4）当直线垂直于，交于点，交于点，根据相似三角形判定可得，，，即可得到故，，，，解得，即可求得．
【详解】（1）∵为边中线
∴
在中，
故答案为：5．
（2）∵点和点关于对称
∴是的垂直平分线
∴，
即点是以为圆心，的长为半径的圆上一点，如图：

当的值最小时候，即在上
∴
故答案为：2．
（3）点落在的边上时：
过点作交于点，交于点，如图：

∵
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴，
∴
解得
故
点落在的边上时：
过点作交于点

∵点和点关于对称
∴是的垂直平分线
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∴，
故，
又∵
∴
∴
（4）当直线垂直于，交于点，交于点，如图：

∵
∴，
∴，，
故，，
∵，，
∴
∴
∴
∴
故

∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，对称的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，本题综合性强，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键，属于中考常考题目．
24．(1)
(2)或
(3)
(4)或

【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据增减性，得到在抛物线对称轴的两侧，进行求解即可；
（3）直线平行于轴，易得的纵坐标相同，即关于抛物线的对称轴对称，进行求解即可；
（4）由点C的坐标为，点D的坐标为得到直线上，设直线与抛物线的两个交点为（在的左侧），求出点，分点在点左侧和右侧两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线（b、c为常数）经过点，，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线：，在对称轴的左侧，随的增大而减小，在对称轴的右侧，随的增大而增大，
∵G的函数值y随x的增大而先减小后增大，
∴点在抛物线对称轴的两侧，
∴或，
解得：或，
即：当G的函数值y随x的增大而先减小后增大时，或；
（3）∵直线与轴平行，A、B两点到直线距离相等，
∴的纵坐标相同，
∴关于抛物线的对称轴对称，
即：，
解得：；
（4）解：∵点C的坐标为，点D的坐标为，
∴直线上，
设直线与抛物线的两个交点为（在的左侧），
∵，当时，，
解得：，
∴，
当与抛物线只有一个交点时，
①点在点左侧时，，即，
或
即：或，
解得，
②当点在点右侧时，，即，
或
即：或，
解得，
综上可知m的取值范围是或
【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、一元一次不等式组的应用、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．