四川省遂宁市射洪市2023届高三5月模拟数学（文）试题（含解析）

这是一份四川省遂宁市射洪市2023届高三5月模拟数学（文）试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省遂宁市射洪市2023届高三5月模拟数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设集合，集合，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（    ）A．1 B． C．2 D．3．在区间内随机取一个数，使得不等式成立的概率为（    ）A． B． C． D．4．已知点满足不等式组，则的最小值为（    ）A． B．1 C．5 D．75．函数的大致图象为A． B．C． D．6．“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（    ）A． B．C． D．7．已知函数，则下列结论中正确的是（    ）A．在区间上单调递减B．的最大值为C．是的一条对称轴D．的图象可由函数的图象向右平移个单位得到8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（    ）A．26 B．36 C．48 D．359．已知一组正数，，的方差，则数据，，的平均数为（    ）A．1 B．3 C．5 D．710．已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列，则（    ）A． B． C． D．11．若直线与曲线恰有两个公共点，则a的取值范围是（    ）A． B．C． D．12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上一点，点，且，，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D． 二、填空题13．已知，，若，则__________．14．若直线与关于直线对称，则实数a=______.15．已知数列为等比数列，，，则数列的第10项为___．16．表面积为的球面上有四点S、A、B、C，△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为2，若面SAB⊥面ABC，则棱锥体积的最大值为___.   三、解答题17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，且7sinA=3sinC．(1)求；(2)若的面积为，求b．18．如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，，为等边三角形，为棱的中点.   (1)证明：平面；(2)当=时，求证：平面⊥平面，并求点与到平面的距离.19．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级ABCDE人数比例15%35%35%13%2%赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中，分别表示原始分区间的最低分和最高分，，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：  (1)求实数的值；(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间.(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分；20．椭圆的离心率为，且椭圆经过点．直线与椭圆交于，两点，且线段的中点恰好在抛物线上．(1)求椭圆的标准方程；(2)求（为坐标原点）面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程．21．已知函数.(1)若，求曲线在点处的切线方程；(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.22．已知直线为参数，，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆与极轴和直线分别交于点，点（异于坐标原点）.(1)写出点的极坐标及圆的参数方程；(2)求的最大值.23．已知函数.（1）解不等式；（2）若正实数，满足，且函数的最小值为，求证：.
参考答案：1．C【分析】利用并集定义即可求得.【详解】，则故选：C2．B【分析】根据复数的四则运算可求得，即可求得．【详解】根据题意，设，所以，所以所以或,所以复数或，所以．故选:B．3．D【分析】解不等式得到，利用几何概型求概率公式得到答案.【详解】，，解得，故使得不等式成立的概率为.故选：D4．C【分析】先作出题给不等式组表示的可行域，利用直线截距的几何意义即可求得的最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域如图由，可得，则；当直线穿过时，取得最小值  故选：C5．A【分析】将函数表达式化为，由函数奇偶性得到BC不正确，再由特殊值得到最终结果.【详解】因为是奇函数排除，且当时，.故答案为A.【点睛】这个题目考查了已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.6．C【分析】先求得关于的不等式的解集为R对应的a的范围，进而得到其必要不充分条件.【详解】关于的不等式的解集为R，则，解之得，则“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件对应的a的范围应包含，则仅选项C符合题意.故选：C7．B【分析】结合三角函数的性质、图像变换和利用导数研究三角函数的单调性即可.【详解】，，A：1弧度，所以，当时，所以，所以在上单调递增，故A错误；B：当时，且所以，故B正确；C：由导数的性质得，所以不是极值点，即不是的对称轴，故C错误；D：将图像向右平移个单位得，即D错误.故选：B8．C【分析】由三视图可得，该几何体是由一个长方体中间挖掉一个圆柱得到的，再根据长方体和圆柱的表面积公式即可得解.【详解】由三视图可得，该几何体是由一个长方体中间挖掉一个圆柱得到的，其中长方体的长为，宽为，高为，圆柱的高为，底面圆的半径为，则.故选：C.9．C【分析】利用方差的计算公式求出的平均数，然后利用平均数的结论求解即可.【详解】正数的方差，又，所以，所以，所以数据的平均数为：.故选：C10．A【分析】由等差和等比数列通项公式可推导得到的通项公式，利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得结果.【详解】是以为首项，为公比的等比数列，，是以为首项，为公差的等差数列，，，.故选：A.11．B【分析】曲线方程变形得曲线为半圆，由直线与半圆相切得的一个值，由直线过直径的一个端点又得一个值，结合图象可得的范围．【详解】可化为且，即曲线是以为圆心，1为半径的圆的下半圆，作出曲线，如图，作直线，而直线与直线平行，当直线过时，，当直线与半圆相切时，由得舍去），由图象可知的取值范围是．故选：B．12．A【分析】过点作，延长交于点，利用平行关系得出对应线段成比例，在直角三角形中，结合双曲线定义得出各边之间的关系，在三角形中，利用余弦定理求得结果.【详解】如图，过点作，延长交于点，因为，，，所以，设，则，，因为，所以，所以，在直角三角形中，，所以，即，所以.在三角形中，由余弦定理得，所以，整理得，所以.故选：A.13．【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，且，所以，解得.故答案为：14．【分析】根据特殊点求得的值.【详解】直线过点，点关于直线对称点为，依题意可知点在直线上，所以.故答案为：15．【分析】先利用题给条件求得数列的通项公式，进而求得数列的第10项的值.【详解】数列为等比数列，，，则，解之得则数列前3项为，则数列是首项为1公比为2的等比数列，则，则，则故答案为：16．【分析】先利用题给条件求得△的边长，再求得点S到平面距离的最大值，进而求得棱锥体积的最大值.【详解】依题意，球的半径，令正△的中心为，则，且平面，△外接圆半径，连接并延长交于D，则D为的中点，且，显然，而平面平面，平面平面，CD在面ABC内，则平面，令的外接圆圆心为，则平面，则，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以，而平面平面，平面平面，平面，则平面，即有，因此四边形为平行四边形，则，，的外接圆半径，的外接圆上点S到直线距离最大值为，而点S在平面上的射影在直线上，于是点S到平面距离的最大值，又正△的面积，所以棱锥的体积最大值.  故答案为：17．(1)(2)5 【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理结合a，b，c成等差数列可解决；（2）利用三角形面积公式即可解决.【详解】（1）因为a，b，c成等差数列，所以，又7sinA=3sinC，结合正弦定理得，联立，得.从而.（2）由（1）可得，的面积为，解得，所以.18．(1)证明见解析；(2)证明见解析，距离为 【分析】（1）利用线面平行判定定理即可证得平面；（2）利用面面垂直判定定理即可证得平面⊥平面；利用三棱锥等体积法即可求得点与到平面的距离.【详解】（1）取线段的中点,连接,则为的中位线,∴由题知,∴,∴四边形为平行四边形. ∴又∵平面,平面,∴平面（2）在中，∵,∴.又∵,平面∴平面，平面，∴平面平面， ∵为的中点，∴到平面的距离等于点到平面的距离的一半.∵平面，∴平面∴.∴取中点，连接，又为等边三角形，则.∵平面平面，∴平面，设点到平面的距离为.由 ，得，解得.∴点到平面的距离为  19．(1)0.005(2)(3)91分 【分析】（1）利用频率分布直方图列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值；（2）先利用频率分布直方图求得第百分位数对应的原始分，进而估计出此次考试化学成绩A等级的原始分区间；（3）利用题给转换公式即可求得其等级分.【详解】（1）由，可得（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90，100]的占比为5%，位于区间[80，90]的占比为20%，估计等级A的原始分区间的最低分为，所以估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为[85，98]（3）由，解得，该学生的等级分为91分20．(1)(2) 【分析】（1）将点代入椭圆标准方程，结合离心率和关系式即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，得出关于的一元二次方程，写出韦达定理，结合中点在上求出与关系式，再由弦长公式和点到直线距离公式表示出，结合二次函数性质可求最值.【详解】（1）椭圆的离心率为，且椭圆经过点，，所以所以椭圆的标准方程为．（2）由得，，设，则，线段的中点为，，，又点在抛物线上，，所以或，当时，三点共线（舍去），又点到直线的距离，，，当时，的面积取得最大值，此时，所以面积的最大值为1，此时直线的方程为．21．(1)(2) 【分析】（1）当时，，求导可得，，再结合切线的几何意义，即可求解．（2）设，则，，，再利用导数研究函数的单调性，分和两种情况讨论，即可求解．【详解】（1）解：当时，函数，定义域为， 又，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2）解：若在上恒成立，即在上恒成立，可令，，则，，，令，可解得，当时，即时，在上恒成立，所以在上单调递增，，又，所以恒成立，即时，在上恒成立，当，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时，，又，，即，不满足恒成立，故舍去，综上可知：实数的取值范围是.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数分类讨论求函数的单调区间，考查了不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想.22．(1)，的参数方程为为参数)(2) 【分析】（1）将圆的极坐标方程化为普通方程后令可得点的极坐标，也容易将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求出点的坐标，再确定向量后求数量积，然后再化简整理求解即可.【详解】（1）直线为参数，，转换为直角坐标方程为：.圆的极坐标方程为，整理得：，根据，转换为直角坐标方程为：，化简整理得：，令，，或0（舍，圆的参数方程为为参数），（2），，，，，，,（其中的最大值为18.23．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）分类讨论：、、求的解集，然后取并集即可；（2）由绝对值的几何意义可知，即，再由已知条件等式，应用基本不等式“1”的代换可证，即结论得证.【详解】（1）∵，要使，∴当时，则，解得，得.当时，则，即恒成立，得.当时，则，解得，得.综上，不等式的解集为.（2）证明：由，∴，又正实数，满足，可得，∴当且仅当，即时等号成立，∴得证.【点睛】关键点点睛：（1）应用分类讨论的方法求绝对值不等式的解集；（2）根据绝对值的几何含义求最小值，再根据条件等式结合基本不等式“1”的代换求证即可.