广东省部分地市2023届高三下学期模拟（三）数学试题（含解析）

广东省部分地市2023届高三下学期模拟（三）数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若，则复数z的虚部为（   ）

A．-5 B．5 C．7 D．-7

2．研究人员采取普查的方式调查某市国企普通职工的收入情况，记被调查的职工的收入为X，统计分析可知，则（   ）

参考数据：若，则，，.

A．0.8186 B．0.9759 C．0.74 D．0.84

3．若集合，，且，则实数a的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

4．古希腊数学家帕波斯在其著作《数学汇编》的第五卷序言中，提到了蜂巢，称蜜蜂将它们的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的正六棱柱结构，从而储存更多的蜂蜜，提升了空间利用率，体现了动物的智慧，得到世人的认可.已知蜂巢结构的平面图形如图所示，则（   ）

A． B．

C． D．

5．已知当时，，基于上述事实，若对任意的，都有，则（   ）

参考数据：，，.

A．19656 B．-19656 C．-19710 D．19710

6．已知，则，，的大小关系为（   ）

A． B．

C． D．

7．已知双曲线的左焦点为，是双曲线上的点，其中线段的中点恰为坐标原点，且点在第一象限，若，，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A． B． C． D．

8．已知正四棱锥的侧棱长为2，底面边长为，点E在射线PD上，F，G分别是BC，PC的中点，则异面直线AE与FG所成角的余弦值的最大值为（   ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知四棱台中，底面ABCD是面积为16的正方形，点在平面ABCD上的射影为点A，，，则（   ）

A．平面平面

B．四边形为等腰梯形

C．四棱台的体积为14

D．直线，的夹角为

10．已知函数，则（   ）

A．当时，的定义域为R

B．一定存在最小值

C．的图象关于直线对称

D．当时，的值域为R

11．已知函数，则（   ）

A．的图象关于y轴对称

B．为的一个周期

C．在上单调递增

D．函数在上有4个零点

12．已知椭圆的右焦点为，过点作不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点，点，在轴上，其中（为坐标原点），，点为直线，的交点，当点为椭圆的上顶点时，直线与直线垂直，则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆的长轴长为

B．若点，则的最大值为

C．点的横坐标为

D．当的面积取得最大值时，直线的斜率为

三、填空题

13．某电影院同时上映A与B两部电影，甲、乙、丙3人同时去电影院观影，3人必须在A，B两部电影中选择一部进行观看，且甲、乙2人观看A电影的概率均为，丙观看B电影的概率为，若3人观看哪部电影相互独立，则恰有2人观看B电影的概率为___________.

14．已知圆过点，，则圆心到坐标原点的距离的最小值为___________.

15．已知数列中，，，是，的等差中项，是其前n项和，若数列是公差为3的等差数列，则___________.

16．已知实数m，n满足，则___________.

四、解答题

17．某学校开展消防安全教育活动，邀请消防队进校园给师生进行培训，培训结束后抽取了部分学生进行消防安全知识测试（满分100分），所得分数统计如表①所示，并按照学生性别进行分类，所得数据如表②所示.

表①

表②

(1)估计这次测试学生得分的平均值；（每组数据以所在区间的中点值为代表）

(2)依据小概率值的独立性检验，能否判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异？

参考公式：.

参考数据：

18．记数列的前项和为，已知，.

(1)求；

(2)若，求数列的前项和.

19．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，E，F分别为AD，PC的中点.

(1)证明：；

(2)若BF与CD所成的角为，求平面BEF和平面ABE夹角的余弦值.

20．如图，的面积为，记内角，，所对的边分别为，，，已知，.

(1)求的值；

(2)已知点在线段上，点为的中点，若，求.

21．已知抛物线，过点作不与x轴垂直的直线，分别与抛物线C交于M，N和P、Q两点.

(1)若M，N两点的纵坐标之和为-6，求直线l的斜率；

(2)证明：；

(3)若点E为线段MN的中点，点G为线段PQ的中点，求的值.

注：k表示直线的斜率.

22．已知函数，.

(1)讨论的单调性；

(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围.

参考答案：

1．A

【分析】根据复数的运算、复数的概念求值即可.

【详解】依题意，，故z的虚部为-5.

故选：A

2．D

【分析】根据正态分布的性质结合条件即得.

【详解】依题意，，

所以

.

故选：D.

3．C

【分析】化简集合，然后分类讨论结合即得.

【详解】依题意，，

方程或.

当时，，此时，不合题意；

当时，，此时，不合题意；

当时，，此时，不合题意；

当时，，此时，适合题意；

综上，.

故选：C.

4．B

【分析】利用坐标法，建立如图所示的平面直角坐标系，表示出各点坐标利用坐标运算结合平面向量基本定理即得.

【详解】以D为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系.

不妨设，则，，，，，

故，，.

设，则，

解得，

所以.

故选：B.

5．C

【分析】根据已知条件，将所求问题转化为多项式相乘问题，即可求得.

【详解】因为，所以为的系数，

则

依题意得，，，

故，

即需求的的系数，所以.

故选：C

6．A

【分析】根据三角函数的性质可得，然后利用指对数函数的性质即得.

【详解】因为，

所以，

所以，，，

故.

故选：A.

7．B

【分析】易证得四边形为矩形，设，结合双曲线定义可表示出，在中，利用勾股定理可构造方程求得，由此可得渐近线方程.

【详解】设双曲线的右焦点为，连接，

，，，

又为中点，四边形为矩形；

设，则，，，，

，，解得：，

又，，即，

整理可得：，双曲线的渐近线方程为.

故选：B.

8．C

【分析】由F，G分别是BC，PC的中点，可得，则AE与FG所成的角即是AE与PB所成的角，设AE与PB所成的角为θ.以OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式求解即可.

【详解】如图，连接AC、BD交于O，连接PO.

因为F，G分别是BC，PC的中点，所以，

则AE与FG所成的角即是AE与PB所成的角，设AE与PB所成的角为θ.

由题意知，OA，OB，OP两两互相垂直，

分别以OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

由得，

所以，，

所以.

令，则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取得最大值，此时也取得最大值.

故选：C.

9．BC

【分析】根据线面垂直的性质及面面角的概念判断A，根据棱台的性质结合条件可判断B，根据台体体积公式判断C，根据线面垂直的判定定理及性质可判断D.

【详解】因为底面ABCD是面积为16的正方形，点在平面ABCD上的射影为点A，

对A，因为平面，平面，

所以，为平面与平面所成角，，故A错误；

对B，由题可知四边形和四边形为全等的直角梯形，故，

又，故四边形为梯形，故四边形为等腰梯形，B正确；

对C，因为，，，故，

则四棱台的体积为，故C正确；

对D，因为四边形是正方形，所以，

因为平面ABCD，平面ABCD，

所以，又，平面，

所以平面，又平面，

所以，故D错误.

故选：BC.

10．AC

【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.

【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，

即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；

对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；

对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，

将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，

此时对称轴为直线，故C正确；

对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.

故选：AC

11．BCD

【分析】利用偶函数的定义和性质判断选项A；利用周期函数的定义判断选项B；

利用三角函数的单调性和周期性判断选项C；利用函数零点的定义和图象判断选项D.

【详解】依题意，，，故函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，故A错误；，故为函数的一个周期，故也为函数的一个周期，故B正确；

当时，，

则，

当时，，当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减，结合周期性，可知C正确；

作出函数，的大致图象如下所示，结合周期观察可知，函数在上有4个零点，故D正确.

故选: BCD.

12．AC

【分析】对于A，取时，求出直线斜率，使其与直线的斜率相乘等于即可；对于B，取椭圆左焦点，根据椭圆定义，将转化为求解即可；对于C，设方程并与椭圆方程联立，由，，，坐标求得直线，方程，解得点横坐标，结合韦达定理化简即可；对于D，将的面积看作与面积之和，即，结合韦达定理化简，由基本不等式求解即可.

【详解】  

对于A，当点为椭圆的上顶点时，点的坐标为，

∵，∴直线即直线的斜率，

∵直线与直线垂直，∴，解得，

∴，∴长轴长，故选项A正确；

对于B，记椭圆的左焦点为，则，，

如图，，

当且仅当三点共线时，取等号，故选项B错误；

对于C，易知直线斜率不为，∴设直线，

由，消去，整理得，，

设，，则，，

由已知，，，

∴直线的方程为，直线的方程为，

∴由解得点横坐标，

其中，

∴，故选项C正确；

对于D，，

∵，∴，

∴，

令，则，

∴，

当且仅当，即时取等号，

∴当直线的方程为，即直线的斜率为时，的面积取得最大值，故选项D错误.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：椭圆上的点到焦点与定点的距离和、差最值问题，通常需要借助椭圆的定义转化求解；椭圆中的定值问题，需根据题目中的几何关系，列式运算，通常会借助韦达定理，化简为一个常数；椭圆与直线位置关系中的面积最值问题，通常需要借助基本不等式进行求解.

13．

【分析】利用相互独立事件的概率结合条件即得.

【详解】由题知：恰有2人观看B电影的情况有甲乙观看B电影丙观看A电影，甲丙观看B电影乙观看A电影，乙丙观看B电影甲观看A电影，

所以3人中恰有2人观看B电影的概率为.

故答案为：.

14．

【分析】先求出圆心所在直线方程，再求原点到直线距离即可.

【详解】依题意，可知圆心在线段的中垂线上，的斜率为，线段的中点为，

故线段的中垂线方程为，故到坐标原点的距离的最小值为.

故答案为：.

15．5248

【分析】利用等差数列的基本性质及求和公式计算即可.

【详解】依题意，，故，

而，

所以,

且，

故是首项为12，公差为9的等差数列，

则.

故答案为：5248

16．

【分析】首先根据条件进行同构变形，从而构造函数，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】因为，所以，

故，即，

即.

由，得.

令，因为增函数+增函数=增函数，所以函数在R上单调递增，

而，故，解得，则.

故答案为：

17．(1)82

(2)能判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异.

【分析】（1）根据每一组的频率，以及每组的中间值，代入公式求平均数；

（2）根据数据，结合列联表，计算求得的值，再根据参考公式求，和参考数据对比后，即可判断.

【详解】（1）依题意，估计平均值为.

（2）依题意，，解得，

可得列联表：

则，

故依据的独立性检验，能判断男生和女生对消防安全知识的掌握情况有差异.

18．(1)

(2)

【分析】（1）由与的关系，可以推导出为等比数列，再求通项公式即可；

（2）使用错位相减法求解即可.

【详解】（1）∵，则，∴当时，，

以上两式相减，得，即（）.

又当时，，即，∴，∴，

∴（），∵，∴（），

∴数列是首项，公比的等比数列，

∴.

（2）由（1）知，，

①，

①,得②，

①②，得

，

∴.

19．(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）由题可得，根据面面垂直的性质定理可得平面ABCD，进而即得；

（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.

【详解】（1）在中，，E为AD的中点，

，又平面平面ABCD，平面平面，平面，

平面ABCD，又平面ABCD，

.

（2）如图，连接EC，由条件知，，

所以四边形BCDE为矩形，又平面ABCD，平面ABCD，

所以，又平面，

所以平面，平面，

所以，又BF与CD所成的角为，，

从而，在中，，

同理在中，，

，

为等边三角形，即，

在中，，，得，

以E为原点，分别以EA，EB，EP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则，，，

，.

设平面BEF的法向量为，

则，令，得，

易知平面ABE的一个法向量为，

则，

平面BEF和平面ABE夹角的余弦值为.

20．(1)

(2)

【分析】（1）将中的替换为，边化角求得，再由三角形面积求即可；

（2）在中由余弦定理求得，向量法求得中线，在中由余弦定理求得的余弦值，再利用平方关系求得的正弦值，最后用求解即可.

【详解】（1）∵在中，，，

∴，

∴由正弦定理得，，

∴，

又∵，∴，

又∵，∴，

又∵的面积，

∴解得.

（2）在中，由余弦定理得，

，

∴，又∵为中点，∴.

∵为的中点，故，

∴

，

∴，

在中，由余弦定理得，

∴，

∴

.

21．(1)

(2)证明见解析

(3)2

【分析】（1）解设出点的坐标，利用和的方程式相减即可得出答案.

（2）分别用表示出，，，，即可得出结论.

（3）利用坐标得出，，，，再表示出相应的斜率，即可得出答案.

【详解】（1）设，，，，

则，.

依题意，两式相减可得，

故，

则，即直线l的斜率为.

（2）由（1）知，，

同理，，.

因为，

，

所以.

（3）记，，.

联立，得，

故，，

所以，，

同理可得，，，

故，

即.

22．(1)答案见解析

(2).

【分析】（1）求出导函数，分类讨论的取值，判断导函数的符号，即得；

（2）先采用内点效应得出，再用恒成立问题的处理方法即可.

【详解】（1）依题意.

若，则，故当时，，当时，.

若，令，，令，解得或.

①若，则.

②若，则.

③若且，令，得，.

若，则，当时，，

当时，，当时，；

若，则，当时，，

当时，，当时，.

综上所述：若，则在R上单调递增；

若，则在和上单调递增，

在上单调递减；

若，则在上单调递减，在上单调递增；

若，则在和上单调递减，

在上单调递增；

若，则在R上单调递减；

（2）.

设，则，

因为恒成立，注意到，

故是的极小值点，

故，所以.

即对任意，恒成立.

①若，则当时，，不符合条件，舍去.

②若，则.

下证：，令，

则，

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

所以，即，

故.

综上所述，实数m的取值范围为.

【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：

若在区间D上有最值，则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.

若能分离常数，即将问题转化为：（或），则

（1）恒成立：；；

（2）能成立：；.