【期末复习】第三单元《圆柱和圆锥》——小学数学人教版六年级下册单元知识梳理+练习（原卷版+解析版）

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人教版六年级下册同步重难点讲义精讲精练第三单元 圆柱和圆锥  知识点一：面的旋转、圆柱和圆锥的特征1. 点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是由1个圆面和1个曲面围成的。3.圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。4. 圆柱和圆锥的切面：（1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径纵切，切面是大小相同的等腰三角形。知识点二：圆柱的表面积1.如果用S表表示圆柱的表面积，S侧 表示圆柱的侧面积，S底 表示圆柱的底面积，d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的计算公式可以表示为S表=S侧+2S底  或S表=πdh+2π（d÷2）2或S表=2πrh+2πr22. 在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。3. 用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底面积大。4. 横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。知识点三：圆柱的体积1. 圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh。2. 计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。（1）已知圆柱的底面积S和高h，求圆柱体积的计算方法：V=Sh。（2）已知圆柱的底面半径r和高h，求圆柱体积的计算方法：V=πr2h（3）已知圆柱的底面直径d和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（d÷2）2h（4）已知圆柱的底面周长C和高h，求圆柱体积的计算方法：V=π（C÷π÷2）2h3. 物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。知识点四：圆锥的体积1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。2.圆锥体积的计算方法：（1）已知底面半径r和高h，求圆锥体积的方法：V=πr2h；（2）已知底面直径d和高h，求圆锥体积的方法：V=π（d÷2）2h；（3）已知底面周长C和高h，求圆锥体积的方法：V=π（C÷x÷2）2h3. 圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。=考点1：圆柱的认识【典例分析01】下面的图形中，（　　）是圆柱。  A． B． C． D．【答案】A【完整解答】解： 是圆柱。
故答案为：A。【思路引导】圆柱是由以矩形的一条边所在直线为旋转轴，其余三边绕该旋转轴旋转一周而形成的几何体。它有2个大小相同、相互平行的圆形底面和1个曲面侧面。其侧面展开是矩形。本题据此解答。【典例分析02】如图所示长方形、半圆形、梯形、三角形快速旋转一周，能形成什么图形？请你连一连。【答案】第一个长方形旋转一周，得到的是圆柱； 第二个半圆形旋转一周，得到的是球体第三个梯形旋转一周，得到的是圆台；第四个三角形旋转一周，得到的是圆锥；【思路引导】圆锥的定义是：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转360°形成的面所围成的旋转体，即AG矩形的内一条边为轴，旋转360°所得的几何体就是圆柱。 
半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。 
直角梯形的上底短，下底长，所以绕对称轴旋转后上底形成的圆小于下底形成的圆，因此得到的立体图形是一个圆台。【变式训练1-1】下列图形中，为圆柱的是（　　）
 A．①③④ B．①③ C．①② D．①④【变式训练1-2】标出下面圆柱的底面、侧面和高。（1）（2）（3）考点2：圆柱的表面积【典例分析03】圆柱的侧面沿高展开后是　     　形或　     　形。一个圆柱的侧面沿高展开是正方形，正方形的边长是12.56cm，圆柱的底面积是　     　cm2。【答案】长方；正方；12.56【完整解答】解：圆柱的侧面沿高展开后是长方形或正方形；
12.56÷3.14÷2
=4÷2
=2（厘米）
3.14×22
=3.14×4
=12.56（平方厘米）。
故答案为：长方；正方；12.56。
【思路引导】圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，长方形的长相当于圆柱底面周长，宽相当于圆柱的高；当底面周长和高相等时，就得到一个正方形，正方形的边长相当于圆柱的底面周长和高；圆柱的底面积=π×半径2； 其中，半径=直径÷2=底面周长÷π÷2；其中，底面周长=正方形的边长。【典例分析04】一个圆柱的侧面积是25.12cm2，高是2cm，请在下面的方格纸上画出这个圆柱的两个底面。（每个小方格的面积表示1cm2）【答案】25.12÷2÷3.14 =12.56÷3.14=4（厘米）【思路引导】圆柱的底面直径=侧面积÷高÷π，这个圆柱的两个底面直径都是4厘米，即直径画4格。【变式训练2-1】求出圆柱的表面积。（单位：厘米）    【变式训练2-2】把一张长0.8m，宽0.52m的白纸，围成一个圆柱形纸筒，这个纸筒的侧面积是（　　）平方米。  A．0.4平方米 B．0.416平方米 C．4.16平方米考点3：圆柱的体积【典例分析05】用一块长30cm、宽20cm的长方形铁皮做圆柱形容器的侧面，再用另一块铁皮做底。怎样做才能使这个圆柱形容器的容积最大？【答案】解：用铁皮的长做容器的底面周长，宽做容器的高，这样做才能使这个圆柱形容器的容积最大。 【思路引导】圆柱的体积=底面积×高，要使这个圆柱形容器的容积最大，就要使底面积和高尽量大，所以要用长30厘米作容器的底面周长，宽作容器的高。【典例分析06】小明为了测量出一只鸡蛋的体积，按如下的步骤进行了一个实验：
①在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入一定量的水，量得水面的高度是5厘米②将鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6厘米如果玻璃的厚度忽略不计，这只鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？（得数保留整数）【答案】解：底面积 S=πr2=3.14×（8÷2）2=50.24（平方厘米） 水的体积V=sh=50.24×5=251.2（立方厘米）放入鸡蛋后水的体积 V=sh=50.24×6=301.44（立方厘米）鸡蛋的体积=放入鸡蛋后水的体积-水的体积=301.44-251.2=50.24（立方厘米）≈50（立方厘米）答：这只鸡蛋的体积大约是50立方厘米。【完整解答】解： 底面积 S=πr2
=3.14×（8÷2）2
=3.14×16
=50.24（平方厘米）水的体积V=sh=50.24×5=251.2（立方厘米）放入鸡蛋后水的体积 V=sh=50.24×6=301.44（立方厘米）鸡蛋的体积=放入鸡蛋后水的体积-水的体积=301.44-251.2=50.24（立方厘米）≈50（立方厘米）答：这只鸡蛋的体积大约是50立方厘米。【思路引导】圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，圆柱的底面积=π×圆柱的底面半径的平方，本题先计算出圆柱体玻璃杯的底面积，再根据圆柱的体积分别计算出水的体积以及放入鸡蛋后水的体积，最后用放入鸡蛋后水的体积减去水的体积，代入数值计算即可得出答案。【变式训练3-1】黄霏霏将20枚1元硬币摞放成一个圆柱（如图），1枚1元硬币的体积大约是多少？（结果保留两位小数） 【变式训练3-2】一个底面周长为25.12厘米的圆柱体，从中间斜着截去一半后，截成的形体如下图，截后的体积是多少？  考点4：圆锥的认识【典例分析07】以下面的长方形或三角形右面的一条边为轴，旋转一周，会形成什么立体图形？先想一想，再连一连。【答案】【思路引导】第一个图形，长方形旋转一周，形成一个圆柱体，圆柱体底面积比较大，不太高；
第二个图形，长方形旋转一周，形成一个圆柱体，圆柱体底面积比较小，比较高；
第三个图形，三角形旋转一周，形成一个圆锥体，圆柱体底面积比较大，不太高；
第四个图形，三角形旋转一周，形成一个圆锥体，圆柱体底面积比较小，比较高。【典例分析08】（2020·和平）儿童节，爸爸送给高兴一个圆锥形的玩具（如图）。如果要用一个长方体的盒子包装它，这个盒子的表面积至少多少平方厘米？【答案】解：6×6×2+6×10×4
=72+240
=312（平方厘米）
答：这个盒子的表面积至少312平方厘米。【思路引导】盒子的底面边长至少是6cm，高至少是10cm，根据长方体表面积公式计算盒子的表面积即可。【变式训练4-1】以下说法中正确的是（　　）  A．只要上下两个底面大小相同就是圆柱。B．将一个圆柱沿着底面直径切成两半，得到的截面可能是正方形。C．圆锥的侧面是平面。【变式训练4-2】从圆锥顶点到　         　的距离就是圆锥的高．考点5：圆锥的体积【典例分析09】一个圆柱和圆锥等底等体积，它们的高的比是（　　）  A．3：1 B．1：3 C．9：1 D．1：9【答案】B【完整解答】解：一个圆柱和圆锥等底等体积，它们的高的比是1：3。
故答案为：B。  【思路引导】圆柱和圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。【典例分析10】一个圆锥的体积是9.42立方分米，底面半径是3分米，它的高是　     　分米，和它等底等高的圆柱的体积是　     　立方分米。【答案】1；28.26【完整解答】解：3.14×32
=3.14×9
=28.26（平方分米）
9.42÷÷28.26
=28.26÷28.26
=1（分米）
9.42×3=28.26（立方分米）。
故答案为：1；28.26。
【思路引导】圆锥的高=体积÷÷底面积；其中，底面积=π×半径2；和圆锥等底等高的圆柱的体积=圆锥的体积×3。【变式训练5-1】如图（单位：厘米），酒瓶中装有一些酒，倒进一只酒杯中，酒杯的直径是酒瓶内直径的一半，共能倒满（　　）杯。A．10 B．15 C．20 D．30【变式训练5-2】一个圆锥形粮囤，底面直径是4米，高是2.7米，每立方米粮食重700千克，如果把这个粮囤装满，能储存多少千克的粮食？   基础练一．选择题1．（2022春•上思县月考）把圆柱的侧面沿高展开得到一个正方形，圆柱的底面半径是5厘米，高是（　　）A．15.7厘米 B．31.4厘米 C．62.8厘米2．（2022春•临清市月考）下面是三名同学测量圆锥高的方法，测量方法正确的是（　　）A． B． C．3．（2022春•鹿邑县月考）一个圆柱，如果把它的高截短4分米，表面积就减少50.24平方分米，它的体积减少了（　　）立方分米。A．50.24 B．100.48 C．200.96二．填空题4．（2022春•上蔡县月考）圆锥有 　   　个底面和 　   　侧面，从圆锥的 　   　到底面 　   　的距离是圆锥的高。5．（2022春•上蔡县月考）圆柱的，上、下两个面叫作 　   　，它们是完全相同的两个 　   　，圆柱有一个曲面叫作 　   　，圆柱两底之间的距离叫圆柱的高，有 　   　条高。6．（2022春•牡丹区校级月考）一个近似于圆锥的大米堆，测得底面周长是12.56m，高是1.5m。已知每立方米小麦重600kg，则这堆小麦重 　   　kg。三．判断题7．（2022春•新荣区月考）圆柱越高，它的侧面积就越大。 　   　（判断对错）8．（2022春•上思县月考）一个圆柱的底面周长与高相等，它的侧面沿高展开图是正方形。 　   　（判断对错）9．（2022春•浠水县校级月考）圆柱和圆锥的高相等，体积也相等，圆锥底面积是圆柱底面积的3倍。 　   　（判断对错）四．计算题10．（2021春•曹县期中）看图计算。求下面图形的表面积。（单位：cm） 11．（2021春•镇安县期末）计算如图所示图形的表面积。  五．应用题12．（2022春•新荣区月考）盾构机是一种使用盾构法的隧道挖掘机。如图所示，盾构机前端的盾构刀盘直径约为15米，相当于五层楼的高度。其基本工作原理是沿隧道轴线向前推进，通过旋转前端盾型结构，利用安装在前端的刀盘对土壤进行开挖切削，挖掘出来的土壤被输送到后方。该盾构机掘进10米，挖掘出来的土有多少立方米？  13．（2022春•牡丹区校级月考）张师傅用白铁皮做了一对圆柱形无盖水桶，底面直径是4dm，高是5dm。做这对水桶至少用去白铁皮多少平方分米？  14．（2022春•鹿邑县月考）一个圆柱形汽油罐，底面直径是2米，高是3米。如果每立方米汽油重0.7吨，这个汽油罐可装汽油多少吨？ 六．解答题15．（2022春•海珠区校级月考）如图的阴影部分是一个圆柱的展开图，求这个圆柱的体积。 16．（2022春•洪泽区月考）将一个高是5厘米的圆柱体的底面平均分成若干等份，切开后拼成一个近似的长方体的长是6.28厘米。这个圆柱体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？  提高练一．选择题1．（2022春•新荣区月考）下列各组图形中（　　）是圆柱的展开图。A．   B． C．2．（2022春•新荣区月考）一个高9厘米的圆锥形容器装满水，倒入一个高30厘米，与它等底的圆柱容器中，水深（　　）厘米。A．10 B．27 C．3 D．93．（2022春•新荣区月考）用12个铁圆锥可以熔铸成（　　）个与其等底等高的铁圆柱。A．36 B．6 C．3 D．4二．填空题4．（2022春•岷县月考）一个圆锥的底面直径是10cm，高是15cm，它的体积是 　   　cm3。5．（2022春•岷县月考）和左面圆锥的体积相等的是　   　。6．（2022春•上思县月考）李师傅将一个底面半径4厘米，高6厘米的圆柱形钢材熔铸成一个底面积不变的圆锥形零件，这个零件的高是 　   　厘米。三．判断题7．（2022春•上蔡县月考）圆柱的侧面展开图可以是长方形、平行四边形或梯形。 　   　（判断对错）8．（2022春•牡丹区校级月考）把一个底面积是4平方分米、高是4分米的大圆柱截成4个相等的小圆柱，其表面积增加了24平方分米。 　   　（判断对错）9．（2022春•牡丹区校级月考）底面半径是2cm的圆柱的表面积和体积相等。 　   　（判断对错）四．计算题10．（2022春•洪泽区月考）求圆柱表面积及圆锥体积。  11．（2021春•登封市期中）求图的体积。  五．应用题12．（2022春•新荣区月考）张爷爷要把一根长3分米、宽2分米、高2分米的长方体木棒削成一个体积最大的圆柱形木墩，这个木墩的体积是多少立方分米？  13．（2022春•岷县月考）一个圆锥形麦堆的底面周长是12.56米，高是3米，如果把这堆小麦装入一个圆柱形粮囤里，只占粮囤容积的。粮囤的底面积是7平方米，该粮囤的高是多少米？   14．（2022春•新荣区月考）一个高50厘米，底面半径4厘米的圆柱形容器，里面水深15厘米，把一个底面半径是2厘米的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形水中，水面上升了6厘米。这个圆锥形铁块的体积是多少？   六．解答题15．（2022春•上思县月考）一个无盖的圆柱形铁皮水桶，底面直径是4分米，高5分米，做一个这样的水桶至少需要铁皮多少平方分米？  16．（2022春•上思县月考）请制作一个无盖的圆柱形水桶，有以下几种型号的铁皮供搭配选择。（1）你选择的材料是 　   　和 　   　。（2）你制作的水桶能装得下50升水吗？（水桶的厚度忽略不计）   17．（2021春•德州期中）如图，把一个圆柱的侧面沿着它的一条高展开，可以得到一个边长12.56cm的正方形。（提示：π是一个无限不循环小数，我们通常计算时使用的是它保留两位小数的近似数3.14。）（1）这个圆柱的体积是多少立方厘米？（2）如图，把这个圆柱转化成一个近似的长方体。①长方体的长＝　   　，长方体的宽＝　   　，长方体的体积＝　   　。②长方体的表面积比圆柱的表面积增加了多少平方厘米？（列式解答）