第11讲 解方程及其应用——2022-2023学年四年级数学下册期末专项复习（北师大版）（含答案）

这是一份第11讲 解方程及其应用——2022-2023学年四年级数学下册期末专项复习（北师大版）（含答案），共22页。试卷主要包含了方程的含义，列方程，等式的性质等内容，欢迎下载使用。
 第11讲 解方程及其应用（讲义） （知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练） 1、方程的含义。像10=x+2，4y=2000，…这样含有未知数的等式叫方程。方程是特殊的等式，所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。2、列方程。用方程表示等量关系。3、等式的性质（一）。等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。4、利用等式的性质（一）解形如“ｘ±a＝ｂ”这样的方程，步骤如下：      x+a＝ｂ                           x-a＝ｂ
解: x+a-a＝ｂ-a                    解: x-a+a＝ｂ+a                           
       x＝ｂ-a                           x＝ｂ+a5、等式的性质（二）。等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。6、利用等式的性质（二）解形如 “ax＝b”或“x÷a＝b（a≠0）这样的方程，步骤如下：       ax＝ｂ                          x÷a＝ｂ
  解:ax÷a＝ｂ÷a                   解: x÷a×a＝ｂ×a        x＝ｂ÷a                           x＝ｂ×a7、解形如“ax±b=c（a≠0）”这样的方程要根据等式的性质，具体步骤如下：        ax+b=c                           ax-b=c解: ax= c-ｂ                      解: ax= c+ｂx= (c-ｂ)÷a                      x= (c+ｂ)÷a1、一个式子是否是方程的两个必备条件为①是等式；②含有未知数。2、不是所有的等式都是方程，但所有的方程都是等式。3、根据文字叙述列方程时，要根据等量关系考虑等式中是否要加小括号。4、列方程时，未知数要参与运算，不要把未知数单独放在等号的一边，那样就失去了方程的意义。5、运用等式的性质（一）解方程时，等式两边应同时加上或减去相同的数，而不是加上或减去方程两边各自的数。6、解形如“ax＝ｂ”这样的方程时，方程的两边必须同时除以同一个不为0的数，等式才成立。7、解方程时应该用等号把相等的量连接起来，并且等号上下要对齐。8、解形如“ax±b＝c”的方程时，可以把ax看成一个整体，先求出这个整体是多少，再求x的值。  【易错一】心里想一个数乘3，再减去20，等于80，根据等量关系列方程是（       ）。A．3x－20＝80 B．x－20＝8 C．x÷3－20＝80 D．3x－80＝20【分析】根据题意可设心里想的这个数为X，然后再用这个数乘3后再减去20，结果等于80，依此选择即可。【详解】根据分析可知，心里想一个数乘3，再减去20，等于80，根据等量关系列方程是3x－20＝80；故答案为：A【点睛】此题考查的是根据已知条件列简易方程，应熟练掌握。【易错二】根据下图所列的方程中，错误的是（       ）。A．20＋35－x＝48 B．48－35＝20－x C．20＋x＋35＝48 D．48＋x＝35＋20【分析】由图可知，20与35的和比48多x，则20＋35－x＝48，据此解答。【详解】A．分析可知，20＋35－x＝48，正确；B．20＋35－x＝48，方程两边同时减35，20－x＝48－35，则48－35＝20－x，正确；C．正确方程为：20－x ＋35＝48，则20＋x＋35＝48，错误；D．20＋35－x＝48，方程两边同时加上x，20＋35＝48＋x，则48＋x＝35＋20，正确。故答案为：C【点睛】利用等式的性质1将正确的方程转化为选项中的形式是解答题目的关键。【易错三】李老师买一部手机花了512元，比原价便宜了35元，这部手机的原价多少元？以下线段图能正确表达题意的是（       ）。A． B．C． D．【分析】分析题意可知，手机现价为512元，现价比原价便宜了35元，则手机的原价－35元＝手机的现价，据此解答。【详解】解：设手机的原价为x元。x－35＝512x－35＋35＝512＋35x＝547所以，手机的现价为512元，原价为547元。故答案为：C【点睛】手机的现价为512元，手机的现价比原价便宜了35元，则手机的原价大于手机的现价。【易错四】四年级（3）班有36个同学参加植树劳动，男生平均每人植树4棵，女生平均每人植树3棵。已知男生比女生多植树46棵，这个班男生比女生多(        )人。【分析】由题意可得，设男生有x人，女生有（36－x）人，根据等量关系式：男生植树棵树－女生植树棵树＝46，列出方程并解答即可。【详解】设男生有x人，女生有（36－x）人4x－3（36－x）＝464x－3×36＋3x＝464x＋3x－108＝467x－108＝467x＝108＋467x＝154x＝154÷7x＝2236－22＝14（人）22－14＝8（人）【点睛】此题考查了方程的应用，关键是明确等量关系式即可。【易错五】爷爷今年的年龄比淘气年龄的6倍还大3岁，爷爷今年57岁，淘气今年多少岁？（列方程解答）【分析】根据题意可知：淘气今年年龄的6倍＋3岁＝爷爷今年的年龄；据此列方程解答即可。【详解】解：设淘气今年x岁。6x＋3＝576x＋3－3＝57－36x＝546x÷6＝54÷6x＝9答：淘气今年9岁。【点睛】根据题意列出等量关系式是解题的关键。【易错六】深圳“湾区之光”摩天轮共有28个轿厢，某校有713名学生乘坐摩天轮，所有轿厢坐满后，还剩下13名学生，每个轿厢可容纳多少人？（用方程解决）【分析】依据等量关系式：每个轿厢可容纳的人数×摩天轮的总轿厢数量＋13＝某校乘坐摩天轮的总人数，列出方程解答即可。【详解】根据分析：解：设每个轿厢可容纳x人。28x＋13＝71328x＋13－13＝713－1328x＝70028x÷28＝700÷28x＝25答：每个轿厢可容纳25人。【点睛】本题考查的是列方程解决问题，关键是找到等量关系。 一、选择题1．下列各式中，是方程的是（    ）。A．5x－3 B．0.4＋3＝3.4 C．x－1＝02．凌云小学组织学生观看“神舟十三号”返回地球的直播。五、六年级一共去了282人，六年级去的人数是五年级的2倍。五年级去了多少人？解：设五年级去了x人。列出的方程正确的是（    ）。A．2x＝282 B．2x＋x＝282 C．x＋2＝282 D．x＝2×2823．根据下图列方程，正确的有（    ）个。①96＝5x＋28；②96－5x＝28；③4x＋28＝96；④5x＝96－28A．4 B．3 C．2 D．14．小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形，正好用完，后来又改围成一个正方形，也正好用完。如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币，则小红所有五分硬币的总价值是（    ）。A．1元 B．2元 C．3元 D．4元5．方程4x－4＝24的解是（    ）。A．x＝5 B．x＝6 C．x＝76．“有一个数，把它乘8，再加上5，得到53，这个数是多少”，若设这个数为x，那么可以列出方程（    ）。A．8＋5x＝53 B．8x＋5＝53 C．8x＝5＋537．港珠澳大桥是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长55千米，是世界上最长的跨海大桥，比连接德国费马恩岛和丹麦洛兰岛的费马恩大桥全长的3倍还多1千米，费马恩大桥全长（    ）千米。A．21 B．25 C．18 D．308．下面各题中的数量关系可以用方程4x＋60＝380表示的是（    ）。A．服装厂要加工380套服装，每天加工x套，已经加工了4天，还剩下60套B．共有380个网球，每4个装一筒，装了60筒后，还剩下x个C．一把椅子x元，一张桌子380元，一张桌子比一把椅子售价的4倍少60元二、填空题9．根据下图，可以列出方程：____________________。10．公园有5行杨树，每行有x棵，还有28棵柳树，杨树和柳树共有53棵。可列方程为(        )，x＝(        )。11．比m的3倍少7的数，用含有字母的式子表示是(        )。当m＝(        )时，这个式子的值是29。12．公园里有3只小猫，恰好一只比一只大一岁，它们的年龄之和是60，最小的猫(        )岁。13．四年级（3）班有36个同学参加植树劳动，男生平均每人植树4棵，女生平均每人植树3棵。已知男生比女生多植树46棵，这个班男生比女生多(        )人。14．商店一共卖出苹果和梨180筐，其中苹果的筐数是梨的5倍，苹果有(        )筐，梨有(        )筐。15．故事书有48本，比科技书的3倍少15本，48＋15＝3x中的x表示(        )。16．分一分。①a＋12＝22    ②6.7－2.1＝4.6    ③2b＝c     ④x＋100⑤m－n＝30    ⑥60.9－x    ⑦17＋x＞62    ⑧2.2＋1＝x三、判断题17．方程两边同时加上或减去同一个数，方程仍然成立。(        )18．小小看一本210页的科普书，前5天平均每天看18页，剩下的平均每天看15页，还要多少天可以看完？解：设还要x天可以看完。根据题意列出方程是5×18＋15x＝210。(        )19．方程的解是。(        )20．解方程7x＝399时，要给方程两边同时除以7。(        )四、计算题21．看图列方程并求解。  22．看图列式计算。  23．解方程。              六、解答题24．某工程队修一条长为782米的公路，计划一周（7天）修完。前3天平均每天修86米，后4天平均每天修多少米？（列方程解答）   25．养猪专业户王大伯说：“如果卖掉130头猪，那么饲料可维持20天；如果买进110头猪，那么饲料只能维持15天。”问：王大伯一共养了多少头猪？   26．笑笑买了一个铅笔盒和4听饮料一共用了11元。一个铅笔盒3元，一听饮料多少元？（列方程解答）   27．学校买了1张桌子和6把椅子一共用去360元，每张桌子售价是90元，每把椅子的售价是多少元？（列方程解答）   28．一堆煤有36吨，运了3天，还剩12吨，平均每天运多少吨煤？（用方程解答）   29．中国最南端的城市——三沙市，与北京的直线距离约2600千米，比距深圳的直线距离的4倍少40千米，三沙市到深圳市的直线距离是多少千米？（用方程解答）   30．快过年了，妈妈在商场里给明明买了一套新衣服，上衣的价格是260元，比裤子价格的3倍还多20元，买的裤子多少钱？（方程解）   31．四位家长带着一群小朋友去参观博物馆，成人票每张80元，儿童票每张45元。他们一共花了815元，他们一共买了多少张儿童票？（用方程解）   32．孙老师买了2盒乒乓球和1盒羽毛球共65元，乒乓球每盒25元，羽毛球每盒多少元？（列方程解答）                       参考答案1．C【分析】方程是含有未知数的等式，等式是含有等号的式子。方程必须具备两个条件：必须是等式，必须含有未知数，据此判断即可。【详解】由分析可得：A．5x－3，含有未知数，但是不是等式，所以不是方程；B．0.4＋3＝3.4是等式，但是没有未知数，不是方程；C．x－1＝0既有未知数，又是等式，所以是方程。故答案为：C【点睛】本题考查了认识方程，明确方程必须具备的条件，要求学生能够熟练判断出什么是方程。2．B【分析】根据题意，设五年级去了x人，六年级去的人数是五年级的2倍，则六年级有2x人，可列等量关系：五年级人数＋六年级人数＝总人数，列方程解答即可。【详解】由分析可得：解：设五年级去了x人，则六年级有2x人，2x＋x＝2823x＝2823x÷3＝282÷3x＝94则五年级有94人，六年级有188人。故答案为：B【点睛】本题考查了简单的列方程解应用题，关键是找准等量关系，牢记五年级人数＋六年级人数＝总人数。3．B【分析】观察图可得，先列出方程：x＋4x＋28＝96，进行化简：5x＋28＝96；再利用等式的性质即可。【详解】①x＋4x＋28＝965x＋28＝9696＝5x＋28此方程正确；②5x＋28＝965x－5x＋28＝96－5x28＝96－5x此方程正确；③x＋4x＋28＝965x＋28＝96此方程错误；④5x＋28＝965x＋28－28＝96－285x＝96－28此方程正确故答案为：B【点睛】此题考查了方程的应用，关键是明确等式的性质：等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。4．C【分析】设三角形每边有x枚硬币，则正方形的每边就是（x﹣5）枚，等量关系为：三角形每边的硬币数量×3－3＝正方形每边的硬币数量×4－4，据此列方程解答求出x的值，进而求出五分硬币的总价值。【详解】解：设三角形每边有x枚硬币，4（x﹣5）﹣4＝3x﹣34x﹣20﹣4＝3x﹣34x﹣24﹣3x＋24＝3x﹣3﹣3x＋24x＝21小红共有5分硬币：3×21﹣3＝63－3＝60（枚）价值：60×5＝300（分）300分＝3元答：小红所有五分硬币的总价值是3元。故答案为：C。【点睛】列方程是解答应用题的一种有效的方法，解题的关键是弄清题意，找出应用题中的等量关系。5．C【分析】在解方程时，先根据等式的性质两边同加上4，再同除以4即可求出未知数的值。【详解】解：4x－4＝244x－4＋4＝24＋44x＝284x÷4＝28÷4x＝7故答案为：C【点睛】此题考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同加上、同减去、同乘上或同除以一个不为0的数，等式仍相等。6．B【分析】根据题意可知，这个数是x，这个数乘8就是8x，再加上5即为8x＋5。最终得到53，则可列方程为8x＋5＝53。【详解】根据分析可知，列方程为8x＋5＝53。故答案为：B。【点睛】解决本题时根据题意找出等量关系式，再列出方程即可。7．C【分析】根据题意，设费马恩大桥全长x千米，那么它的3倍，就是3x千米，再加上1千米，就是港珠澳大桥的长度，即费马恩大桥的长度×3＋1千米＝港珠澳大桥的长度。【详解】解：设大贝尔特桥全长x千米3x＋1＝553x＋1－1＝55－13x＝543x÷3＝54÷3x＝18故答案为：C【点睛】解决本题关键是理解题意，根据倍数关系，找出等量关系列出方程求解。8．A【分析】（1）用每天加工服装套数乘加工天数，求出已经加工服装套数，再加上还剩下服装套数，即可求出需要加工服装总套数。据此列方程为4x＋60＝38；（2）用每桶装网球个数乘筒数，再加上还剩下网球个数，求出网球总个数。据此列方程为4×60＋x＝380；（3）用一把椅子的售价乘4，求出一把椅子售价的4倍。再减去60元，求出一张桌子的价钱。据此列方程为4x－60＝380。【详解】A．可以用方程4x＋60＝380表示；B．可以用方程4×60＋x＝380表示；C．可以用方程4x－60＝380表示。故答案为：A【点睛】本题关键是根据题意找出等量关系式，再列出方程。9．3x＋65＝110【分析】一个文具盒x元，3个文具盒就是3x元，加上书包65元，等于110元，据此列出方程即可解答。【详解】根据分析列出方程为：3x＋65＝110【点睛】分析清楚等量关系，再作进一步解答。10．     5x＋28＝53     5【分析】5行杨树，每行有x棵，5与x的积即为杨树的棵数，杨树的棵数加28等于53，据此列出方程，再根据等式的性质解方程即可解答。【详解】5x＋28＝53解：5x＋28－28＝53－285x＝255x÷5＝25÷5x＝5【点睛】找准等量关系是解答此题的关键，杨树棵数＋柳树棵数＝53。11．     3m－7     12【分析】比m的3倍少7的数，即m的3倍用m乘3，少7再减7即可，则这个数：3m－7；由于当m取多少的时候，这个式子等于29，即3m－7＝29，根据等式的性质1，两边同时加7，再根据等式的性质2，两边同时除以3即可求解。【详解】由分析可知：这个式子：3m－73m－7＝29解：3m＝29＋73m＝36m＝36÷3m＝12即用含有字母的式子表示是：3m－7；当m＝12时，这个式子的值是29。【点睛】本题主要考查用字母表示数以及应用等式的性质解方程，熟练掌握等式的性质1和等式的性质2是解题的关键。12．19【分析】根据题意可知，3只小猫的年龄是3个连续的自然数，设中间猫的年龄是x岁，则最小的猫的年龄是x－1岁，最大是x＋1岁，它们的年龄之和是60 ，列方程：（x－1）＋x＋（x＋1）=60，解方程，求出x的值，即可求出最小猫的年龄。【详解】解：设中间猫的年龄为x岁（x－1）＋x＋（x＋1）＝60x－1＋x＋x＋1＝603x＝60x＝60÷3x＝2020－1＝19（岁）【点睛】本题考查方程的实际应用，根据题意，找出先关的量，列方程，解方程。13．8【分析】由题意可得，设男生有x人，女生有（36－x）人，根据等量关系式：男生植树棵树－女生植树棵树＝46，列出方程并解答即可。【详解】解：设男生有x人，女生有（36－x）人。4x－3（36－x）＝464x－3×36＋3x＝464x＋3x－108＝467x－108＝467x＝108＋467x＝154x＝154÷7x＝2236－22＝14（人）22－14＝8（人）【点睛】此题考查了方程的应用，关键是明确等量关系式即可。14．     90     18【分析】根据题意，设梨有x筐，苹果的筐数是梨的5倍，苹果有5x筐，苹果和梨一共108筐，列方程：x＋5x＝108，解方程，即可解答。【详解】解：设梨有x筐，则苹果有5x筐。x＋5x＝1086x＝108x＝108÷6x＝18苹果：18×5＝90（筐）商店一共卖出苹果和梨180筐，其中苹果的筐数是梨的5倍，苹果有90筐，梨有18筐。【点睛】根据方程的实际应用，利用梨的筐数和苹果筐数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。15．科技书的本数【分析】由题意可知，“科技书的本数×3－15＝故事书的本数”由此解答即可。【详解】解：设科技书的本数为x本。3x－15＝4848＋15＝3x所以，x表示科技书的本数。【点睛】明确科技书与故事书本数之间的关系是解答本题的关键。16．见详解【分析】等式是指用“＝”号连接的式子；而方程是指含有未知数的等式。【详解】【点睛】此题考查等式与方程的意义的理解，必须是含有未知数的等式才是方程。17．√【分析】含有未知数的等式叫方程；等式的基本性质的第一条，给等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立，据此进行判断。【详解】由分析得：方程两边同时加上或减去同一个数，方程仍然成立，题干阐述正确。故答案为：√【点睛】在阐述等式的基本性质的时候，注意两个“同”，一是保证同时，二是保证同一个数。18．√【分析】根据题意可知，剩下平均每天看的页数×看的天数＋前5天每天看的页数×5＝总共的页数；由于还要看的天数是x天，根据等量关系列方程，据此即可判断。【详解】由分析可知：5×18＋15x＝210解：90＋15x＝21015x＋90－90＝210－9015x＝12015x÷15＝120÷15x＝8所以根据题意列出方程是5×18＋15x＝210。原题说法正确。故答案为：√【点睛】本题主要考查列简易方程，找准等量关系是解题的关键。19．√【解析】略20．√【分析】等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍然相等。据此解方程即可。【详解】7x＝399解：7x÷7＝399÷7x＝57则解方程7x＝399时，要给方程两边同时除以7。说法正确。故答案为：√【点睛】本题考查利用等式性质解方程，需熟练掌握。21．3x＝69；x＝23 【分析】根据图意，x＋x＋x＝69，即3x＝69，等式两边同时除以3，即可解答。【详解】3x＝69解：3x÷3＝69÷3x＝2322．15g【分析】根据图意，天平左右两边相等，即x＋10＝25，由此解出方程即可。【详解】x＋10＝25解：x＋10－10＝25－10x＝15【点睛】本题主要考查了方程的应用，关键是要正确分析出题目中的等量关系，然后根据题意和等量关系列出方程进行解答。23．x＝1；x＝1.25【分析】根据等式的基本性质，先给方程的两边同时减去3.6，再同时除以2，据此求解第一个方程；先把方程的左边化简为2.6x，再给方程两边同时除以2.6，据此完成第二个方程。【详解】2x＋3.6＝5.6解：2x＝2x＝2÷2x＝13.6x－x＝3.25解：2.6x＝3.25x＝3.25÷2.6x＝1.2524．131米【分析】设后4天平均每天修x米，根据数量关系：前3天平均每天修的长度×3＋后4天平均修的长度×4＝路的总长度，据此数量关系可列方程进行解答。【详解】解：设后4天平均每天修x米86×3＋4x＝782258＋4x＝7824x＝524x＝131答：后4天平均每天修131米。【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，关键是找等量关系。25．850头【分析】假设王大伯一共养了x头猪，利用“饲料总量相等”建立等式，根据等式列方程：。【详解】解：设王大伯一共养了x头猪。答：王大伯一共养了850头猪。【点睛】此题考查用方程解决问题，解题关键是要仔细审题，找出等量关系，根据等式列方程解决问题。26．2元【分析】根据题意可知，一个铅笔盒的价格＋4听饮料的价格＝11元，设一听饮料x元，据此列方程解答。【详解】解：设一听饮料x元3＋4x＝113＋4x－3＝11－34x＝84x÷4＝8÷4x＝2答：一听饮料2元。【点睛】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列方程解答。27．45元【分析】假设每把椅子的售价是x元，买6把椅子花费6x元。买1张桌子和6把椅子一共用去90＋6x元。而实际用去360元，据此可列方程为90＋6x＝360。【详解】解：设每把椅子的售价是x元。90＋6x＝36090＋6x－90＝360－906x＝2706x÷6＝270÷6x＝45答：每把椅子的售价是45元。【点睛】根据题意找出等量关系式，据此列出方程，再根据等式性质1和等式性质2解方程即可。28．8吨【分析】等量关系式：平均每天运煤吨数×运的天数＋剩下吨数＝煤的总吨数，设平均每天运煤x吨，根据等量关系式列方程并解答即可。【详解】解：设平均每天运煤x吨。3x＋12＝363x＋12－12＝36－123x＝243x÷3＝24÷3x＝8答：平均每天运8吨煤。【点睛】本题主要考查学生对列方程和解方程知识的掌握。29．660千米【分析】设三沙市到深圳市的直线距离是x千米，等量关系为：三沙市距深圳的直线距离×4－40千米＝三沙市与北京的直线距离，据此列方程解答。【详解】解：设三沙市到深圳市的直线距离是x千米，4x－40＝26004x＝2640x＝660答：三沙市到深圳市的直线距离是660千米。【点睛】列方程是解答应用题的一种有效的方法，解题的关键是弄清题意，找出应用题中的等量关系。30．80元【分析】根据题意，设裤子的价格为x元，已知上衣比裤子价格的3倍还多20元，可方程3x＋20＝260，解答即可。【详解】解：设裤子的价格为x元3x＋20＝2603x＝260－203x＝240x＝240÷3x＝80答：裤子的价格为80元。【点睛】本题考查了一个数是另一个数几倍还多几，求这个数，用列方程的方法解答。31．11张【分析】由题意可知，成人票总价＋儿童票总价＝815元。又因为成人票总价＝4×80，儿童票总价＝45×儿童人数，可以得到等量关系式：4×80＋45×儿童人数＝815元。只有一个未知数，所以直接设儿童人数为x，可以得到方程。【详解】解：设共买了x张儿童票。4×80＋45x＝815320＋45x＝81545x＝815－32045x＝495x＝11答：他们一共买了11张儿童票。【点睛】解方程的关键是找出题中的等量关系式，有等量关系式再设未知数列方程解方程，注意检验。32．15元【分析】设羽毛球每盒x元，每盒乒乓球价钱×乒乓球盒数＋1盒羽毛球的价钱＝65元，依据此等量关系式列方程即可。【详解】解：设羽毛球每盒x元。x＋25×2＝65x＋50＝65x－50＝65－50x＝15答：羽毛球每盒15元。【点睛】列方程解决问题的关键是分析题意找出等量关系式。