重庆市广益中学2022-2023学年高二数学下学期4月月考（一）试题（Word版附解析）

这是一份重庆市广益中学2022-2023学年高二数学下学期4月月考（一）试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
重庆市广益中学2022—2023学年下期4月月考高二数学（一）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知下列四个命题，其中正确的个数有（    ）①，②，③（，且），④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．函数的单调递减区间是（    ）A． B． C． D．3．2021年5月，南岸区开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其中所有正确结论的序号是（　　）A．①② B．②③ C．①④ D．③④4．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（   ）种．A．40 B．24 C．20 D．125．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．6．已知函数在处有极小值10，则（    ）A．15 B． C．0或 D．07．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（    ）A． B． C． D．8．已知，则（    ）A． B．        C．       D． 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）      9. 设，则下列说法正确的是(    )                      A. 常数项                               B. C. 展开式中二项式系数最大的项是第项       D.  10. 已知函数的定义域为，其导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的有(    )A. 函数的单调递减区间是    B. 函数的单调递增区间是
C. 是函数的零点              D. 时函数取极小值11. 已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则(    )A. 的最小值为 B. 取最小值时的值为
C. 的最小值为 D. 取最小值时的值为12.  设函数，，给定下列命题，其中正确的是A. 若方程有两个不同的实数根，则B. 若方程恰好只有一个实数根，则
C. 若，总有恒成立，则
D. 若函数有两个极值点，则实数三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中的系数为________（结果用数字作答）. 14．2023年4月3日，中国国民党前主席马英九一行抵达重庆抗战遗址博物馆参观，重庆抗战遗址博物馆（又称黄山官邸）地处长江南岸的南山风景区内，是重庆乃至整个西部地区对外开放的抗战文物遗址中保护最完好、规模最宏大的一处，是重庆市第一批和国家第七批重点文物保护单位。现需要把甲、乙、丙、丁4名解说员被安排到A，B，C三个不同场馆参与解说服务，每个场馆至少安排1名解说员，且甲不能安排到A场馆，则不同的分配方案种数为        （结果用数字作答）. 15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则______（结果用数字作答）． 16．已知函数，若函数恰有5个零点，则的取值范围是              . 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 分已知函数．（1）求函数的极值；
（2）求函数在区间上的最值．   分从名运动员中选人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？写出计算过程，并用数字作答（1）甲、乙两人必须跑中间两棒；
（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；
（3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．   分已知某同学在研究的展开式时，他提出了以下两个问题，请你帮忙解决.
（1）求展开式中含的项的系数
（2）设的展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值．  20. 分已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程．（2）当时，证明：．    21. 分已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）对任意的，恒成立，请求出的取值范围．   22.分函数.（1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．   参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知下列四个命题，其中正确的个数有①，②，③（，且），④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【详解】①，所以①错误；②，所以②错误；③（，且），所以③错误；④，所以④错误.故选A2．函数的单调递减区间是（    ）A． B． C． D．【详解】，函数定义域为，，令，得，所以函数的单调递减区间是.故选：A.3．2021年5月，南山街道开始全面实施垃圾分类，家庭厨余垃圾的分出量不断增加．已知甲、乙两个小区在[0，t]这段时间内的家庭厨余垃圾的分出量Q与时间t的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲小区的平均分出量比乙小区的平均分出量大；②在[t2，t3]这段时间内，乙小区的平均分出量比甲小区的平均分出量大；③在t2时刻，甲小区的分出量比乙小区的分出量增长的慢；④甲小区在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t2，t3]的平均分出量最大．其中所有正确结论的序号是（　　）A．①② B．②③ C．①④ D．③④【详解】①在，这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以甲的平均分出量小于乙，说法错误．②在，这段时间内，甲的增长量小于乙的增长量，所以乙的平均分出量大于甲，说法正确．③在时刻，乙的图象比甲的图象陡，瞬时增长率大，说法正确．④甲的图象大致为一条直线，所以三个时间段的平均分出量相等，说法错误．故选：． 4．为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（   ）种．A．40 B．24 C．20 D．12【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有种，故选：． 5．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【分析】根据函数的单调性与导函数之间的关系，将单调性转化为导函数恒大于或等于0，即可求解.【详解】依题意在区间上恒成立，即在区间上恒成立.令，则，所以在上单调递增，则，所以.故选:B. 6．已知函数在处有极小值10，则（    ）A．15 B． C．0或 D．0【分析】根据数在处有极小值10，可得，求出参数的值，然后再验证，得到答案.【详解】由函数有.函数在处有极小值10，所以，即解得: 或当时，令得或，得所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.显然满足函数在处有极小值10.当时，所以函数在上单调递增,不满足函数在处有极小值10.所以故选：B 7．已知定义域为的函数的导函数为，且，若，则的解集为（    ）A． B． C． D．【分析】根据给定不等式构造函数，借助导数确定函数的单调性，再解不等式作答.【详解】令，，因为，则，因此函数在上单调递减，则，解得，所以的解集为.故选：C 8．已知，则（    ）A． B．        C．     D．【分析】利用，可判断，再利用，即可得到答案.【详解】，则，故函数在单调递减，单调递增，则     则，即    由，∴，故同理可证   又，∴，则故选：D. 二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每个给出的四个选项中，有多项是满足要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分）  9.  设，则下列说法正确的是(    )A.常数项      B.
C. 展开式中二项式系数最大的项是第项 D.  【答案】ABD 【解答】解：对于令得 ，故A正确
对于令得，
而由知：，因此，故B正确
对于因为的展开式中二项式系数最大的项是第项，故C不正确
对于因为的展开式中，两边求导数，，
因此,令，，故D正确．  10.  已知函数的定义域为，其导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的有(  )A. 函数的单调递减区间是 B. 函数的单调递增区间是
C. 是函数的零点 D. 时函数取极小值【答案】BD 【解答】解：当时，，故，函数单调递增
当时，，故， 函数单调递增
当时，，故
当时，，故，函数单调递减；
综上所述，函数在上单调递减，在上单调递增，
在处函数取极小值，
对比选项知选项B，D正确．
故选BD．11.已知有序数对满足，有序数对满足，定义，则(    )A. 的最小值为 B. 取最小值时的值为
C. 的最小值为 D. 取最小值时的值为【答案】BC 【分析】本题考查曲线上一点到直线距离最值的计算，考查导数几何意义的应用，考查转化与化归思想的应用，属于综合题．【解答】解：由 ，得： ，
的最小值可转化为函数 图象上的点到直线 上的点的距离的最小值的平方，
由 得： ，
与直线 平行的直线的斜率为 ，
则令 ，解得： ， 切点坐标为 ，
到直线 的距离 ．
即函数 上的点到直线 上的点的距离的最小值为 ．
的最小值为 ，
过 与 垂直的直线为 ，即 ．
由 ，解得： ，即当最小时， ．12.  设函数，，给定下列命题，其中正确的是A. 若方程有两个不同的实数根，则；
B. 若方程恰好只有一个实数根，则；
C. 若，总有恒成立，则；
D. 若函数有两个极值点，则实数．【答案】ACD 【解答】解：对于，的定义域为，，
令，得到，令，得到，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，且当时，，
又，从而要使得方程有两个不同的实根，即与有两个不同的交点，
所以，故A正确；对于，易知不是该方程的根，
当时，，方程有且只有一个实数根，等价于和只有一个交点，
，又且，令，有，令，有或，
所以函数在和单调递减，在上单调递增，
是一条渐近线，极小值为．

由大致图象可知当或时和只有一个交点，故B错；
对于， 当时，恒成立，
等价于恒成立，
即函数在上为增函数，
所以恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
令得，令得，
从而在上单调递增，在上单调递减，
则，于是，故C正确；
对于，函数有两个极值点，
即 有两个不同极值点，
等价于有两个不同的正根，
即方程有两个不同的正根，
由可知：的图象如图所示，

结合图象可知，即，则D正确．
故选ACD． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．的展开式中的系数为________（用数字作答）.【详解】 ，所以系数为 14．2023年4月3日，中国国民党前主席马英九一行抵达重庆抗战遗址博物馆参观，重庆抗战遗址博物馆（又称黄山官邸）地处长江南岸的南山风景区内，是重庆乃至整个西部地区对外开放的抗战文物遗址中保护最完好、规模最宏大的一处，是重庆市第一批和国家第七批重点文物保护单位。现需要把甲、乙、丙、丁4名解说员被安排到A，B，C三个不同场馆参与解说，每个场馆至少安排1名解说员，且甲不能安排到A场馆，则不同的分配方案种数为           【详解】因为4名解说员被安排到A，B，C三个场馆，每个场馆至少安排1名解说,所以必须有2人一组，分两类，第一类，甲在两人组，取1人与甲一组有种，分配到场馆，有种安排方法，其余2人分配到剩余2个场馆有种，由分步乘法计数原理可得种；第二类，甲在1人组，先分配到B，C其中一个场馆，有种安排方法，再把剩余的人分成两组有种，分配到剩余2个场馆，有种分配方法，由分步乘法计数原理可得种，根据分类加法计数原理可得， 15．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算术》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则______（结果用数字作答）．【分析】由二项式展开系数可知，第a行第b个数为，从而求解即可.【详解】由二项式展开系数可知，第a行第b个数为，故，故答案为：4950. 16．已知函数，若函数恰有5个零点，则的取值范围是               【详解】函数恰有5个零点等价于关于的方程有5个不同的实根．由，得或．因为，所以，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减．因为，，当时，，当时，，所以可画出的大致图象：由图可知有2个不同的实根，则有3个不同的实根，故    四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 本小题分已知函数．求函数的极值；
求函数在区间上的最值． 【答案】解：，令，得或，当变化时，，在区间上的变化状态如下：故极大值为，极小值为．
因为，，再结合的单调性可知，函数在区间上的最小值为，最大值为． 【解析】本题考查导数在研究函数的极值，最值方面的应用，属于基础题．
求导后，研究函数的单调性，即可得解；
将函数的极值与端点值进行比较即可求解．
 18. 本小题分从名运动员中选人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？写出计算过程，并用数字作答甲、乙两人必须跑中间两棒；
若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒；
若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒．【答案】解：甲、乙两人跑中间两棒，甲乙两人的排列有种，
剩余两棒从余下的个人中选两人的排列有种，
故有种           
若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒，
需要从甲乙两个人中选出一个参加，且从第一棒和第四棒中选一棒，有种，
另外个人选人跑剩余棒，有种，
故有 种                 
若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒，
甲乙两人相邻两人的排列有种，
其余人选两人和甲乙组合成三个元素的排列有种，
故有种 【解析】本题考查排列组合的综合应用，属于中档题．
甲、乙两人跑中间两棒，甲乙两人排列，再从余下的个人中选两人排列．
从甲乙两个人中选出一个参加，且从第一棒和第四棒中选一棒，另外个人选人跑剩余棒．
甲乙两人相邻两人排列，其余人选两人和甲乙组合成三个元素全排列．
 19.本小题分已知某同学在研究的展开式时，他提出了以下两个问题，请你帮忙解决.
求展开式中含的项的系数
设的展开式中前三项的二项式系数的和为，的展开式中各项系数的和为，若，求实数的值． 【答案】本题考查了二项式定理的应用、方程的解法，属于中档题． 【解析】解：的展开式的通项为．

令，则，展开式中含的项为，
展开式中含的项的系数为．
由题意可知，，
，，解得或．
 20.  本小题分已知函数．求曲线在点处的切线方程．当时，证明：．【答案】解：，则，
又，所以曲线在处的切线方程为，
即．
证明：要证明，所以只需证明，
即证明．设，则
所以在上单调递增，所以，故原不等式成立． 【解析】本题主要考查导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
先求出导数，然后求出斜率和切点纵坐标，然后求出切线方程即可；
先把这个不等式进行转化，然后利用导数研究函数的单调性求出最值即可．  21. 本小题分
已知函数．讨论函数的单调性；对任意的，恒成立，请求出的取值范围． 【答案】解：，
若，则，所以函数在上递增；
若，方程的判别式为，
所以方程有两根分别为，，
所以当时，；
当时，，
所以函数在上递减；在上递增．
不等式，对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
令，则，
令，则，
易知在上单调递增，
因为，，
且的图象在上不间断，
所以存在唯一的，使得，
即，则．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
则在处取得最小值，且最小值为
，
所以，即在上单调递增，
所以．
所以． 【解析】本题考查函数的单调性和导数的关系，以及恒成立问题，属于拔高题．
求导数可得，对进行分类讨论可得函数单调性；
问题可化为对任意的恒成立，令，求导数判断单调性得出函数的最值，由恒成立可得结论． 22. 本小题分函数，设是的极值点，求的值和函数的单调区间；当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】解：因为，的定义域为，
由，得，则在上单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
令，，
当时，恒成立等价于恒成立，
由于，，
所以当时，，
函数在上单调递增，
所以在区间上恒成立，符合题意，
当时，在单调递增，
，
当时，即时，，
函数在单调递增，
所以在区间上恒成立，符合题意，
当即时，
，
，
若，即时，，
则在单调递减，不符合题意，
若，即时，
存在使得，
所以当时，，则在上单调递减，
不符合题意，
综上所述，的取值范围是 【解析】本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于较难题．
求导得，由，得，分析的正负，的单调性，即可得出答案．
令，，等价于恒成立，分类讨论解出的取值范围．