2023届广东省高州市高三二模数学试题含解析

2023届广东省高州市高三二模数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先化简集合，然后利用交集的定义进行化简即可

【详解】因为，，

所以

故选：B

2．在复平面内，所对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

【分析】先利用除法运算化简复数，可得到对应点为，即可求得答案

【详解】由题意得,

故在复平面内所对应的点为,位于第三象限,

故选：C.

3．已知向量，，若与平行，则实数的值为（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】D

【分析】先求与的坐标，然后由向量平行的坐标表示可得.

【详解】因为，，

所以，

又与平行，

所以，解得.

故选：D

4．已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先利用直线与圆相交可得到，然后利用充分条件、必要条件的定义即可求解

【详解】由圆可得圆心，半径为1，

所以直线与圆相交圆心到直线的距离，解得，

所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件.

故选：A

5．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，根据棱柱和棱台的体积公式直接计算，然后求比可得.

【详解】设上面的六棱柱的底面面积为S，高为，由上到下的三个几何体体积分别记为，

则，

，

，

所以

故选：D  

6．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，则含项的系数为（    ）

A． B．28 C． D．35

【答案】C

【分析】设，然后代入，，可整理得奇数次幂项的系数之和，求得，即可求得答案

【详解】设,

则令,可得①，

令,可得②，

①②可整理得,解得,

所以,

所以含的项为,其系数为,

故选：.

7．已知函数，若，且在上恰有1个零点，则的最小值为（    ）

A．11 B．29 C．35 D．47

【答案】B

【分析】利用图象分析在区间内只有一个零点的条件，结合可解.

【详解】因为，且在上恰有1个零点，

所以，所以，

所以，

又，所以，即

所以，解得，

当时，有最小值29.

故选：B

8．若椭圆的离心率为，两个焦点分别为，，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】A

【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.

【详解】  

如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，

则

设△内切圆的半径为，则，

∴

不妨设，则，

∴，

因为椭圆的离心率为，

∴，

故选：A.

二、多选题

9．2023年2月28日，国家统计局发布中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报，如图是该公报中关于2018年~2022年国内生产总值及其增长速度的统计图，下列说法正确的是（    ）

A．近五年的国内生产总值逐年递增，近三年均已超过1000000亿元

B．2017年的国内生产总值低于800000亿元

C．近五年的国内生产总值增长速度的平均数为5.26%

D．近五年的国内生产总值的极差为290926亿元

【答案】ACD

【分析】根据统计图进行分析计算即可

【详解】由统计图可得2018年~2022年国内生产总值分别为919281,986515,1013567,1149237,1210207，增长速度为6.7%，6.0%，2.2%，8.4%，3.0%，

对于A，通过数据可得近五年的国内生产总值逐年递增，且近三年均已超过1000000亿元，故正确；

对于B，2017年的国内生产总值为亿元，故不正确；

对于C，近五年的国内生产总值增长速度的平均数为，故正确；

对于D，近五年的国内生产总值的极差为亿元，故正确；

故选：ACD

10．阿波罗尼奧斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（    ）

A．的方程为 B．的方程为

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】BD

【分析】由焦点易得抛物线的方程为，设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，通过抛物线的定义结合图象可得，即可求得答案.

【详解】由题可得，即的方程为，

设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，

将代入可得，

所以，

于是，

当与重合时，取得最小值.

故选：BD.

11．已知定义在上的函数满足，函数为奇函数，且对，当时，都有.函数与函数的图象交于点，，…，，给出以下结论，其中正确的是（    ）

A． B．函数为偶函数

C．函数在区间上单调递减 D．

【答案】BCD

【分析】根据已知条件可得函数的对称中心和对称轴，然后可得周期，进而可判断A；根据偶函数的定义，结合已知直接验证可判断B；由已知条件先判断在的单调性，然后利用对称性即可判断C；判断的对称性，结合的对称性即可求得所有交点横坐标之和，以及纵坐标之和，然后可判断D.

【详解】因为，所以，的图象关于对称，

因为函数为奇函数，所以的图象关于点对称，且

又，

所以

，即，

所以的周期为4，所以，故A错误；

由上可知，，

，故B正确；

因为，当时，都有，

即，所以在区间单调递增，

因为的图象关于点对称，所以在区间单调递增，

又的图象关于对称，所以在区间单调递减，C正确；

因为，所以的图象关于点对称，

所以与的交点关于点对称，不妨设

则，

所以，

所以，D正确.

故选：BCD

12．已知数列和满足：，，，，，则下列结论错误的是（    ）

A．数列是公比为的等比数列 B．仅有有限项使得

C．数列是递增数列 D．数列是递减数列

【答案】ABD

【分析】由题意，，将第二个式子乘以后与第一和式子相加可得，令，解得，取，利用等比数列的定义和通项公式对各选项依次判断即可.

【详解】由题意可知，

第二个式子乘以后与第一和式子相加可得，

令，解得，

取可得，

因为，，所以，

所以，

所以数列是公比为的等比数列，选项A说法错误；

因为，，所以，

所以当为正奇数时，，即，

当为正偶数时，，即，选项B说法错误；

由，，，，可知，，且数列和均为递增数列，

而，

所以数列是递增数列，选项C说法正确；

因为，所以数列是递增数列，选项D说法错误；

故选：ABD

三、填空题

13．已知曲线在处的切线与在处的切线平行，则的值为__________.

【答案】

【分析】求导，根据列方程可得.

【详解】，

由题意可知，，即，解得.

故答案为：

14．阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有20%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有30%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占60%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为__________.

【答案】

【分析】利用全概率公式可构造方程求得所求概率.

【详解】设写作能力被评为优秀等级为事件A，每天阅读时间超过小时为事件，

则，，；

，

，

即从每天阅读时间不超过小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为.

故答案为：

15．已知球与正四面体各棱相切，且与平面相切，若，则正四面体表面上的点到平面距离的最大值为__________.

【答案】

【分析】将正四面体补形成正方体，记正四面体表面上的点到球心O的距离为d，球的半径为r，则正四面体表面上的点到平面距离的最大值即为的最大值，结合图形可解.

【详解】将正四面体补形成正方体，

因为球与正四面体各棱相切，所以球即为正方体的内切球，

易知，球心O为正方体体对角线的中点，

记正四面体表面上的点到球心O的距离为d，球的半径为r，

则正四面体表面上的点到平面距离的最大值即为的最大值，

设正方体棱长为a，则，解得，所以，

易知，，

所以正四面体表面上的点到平面距离的最大值为

故答案为：

四、双空题

16．已知函数，若存在实数，使得方程有6个不同实根，，，，，，且，则的取值范围是__________；的值为__________.

【答案】         

【分析】对进行讨论，去掉双绝对值，然后大致画出的图象，即可求得答案

【详解】当时,当且仅当即时取等号，且根据对勾函数可得在上单调递减，在上单调递增，

当时,，，则，所以；

当时,，，则，所以；

当时,，，则，所以；

当时,，，则，所以，

所以的大致图象如图所示，

当时，存在实数,使得方程有6个不同实根,故的取值范围是,

由题意得是方程的两个根,即方程的两个根,所以

，所以解得

，解得

所以，

故答案为：；

【点睛】关键点睛：这道题的关键之处在于去掉中的两个绝对值，去掉之后，画出对应的图象即可迎刃而解

五、解答题

17．已知数列的前项和满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据，利用数列通项和前n项和的关系求解；

（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.

【详解】（1）解：当时，，

当时，由 ，

得，

两式相减得，

又适合上式，

所以；

（2）由（1）知：，

所以，

，

则，

两式相减得，

，

，

所以.

18．已知中，角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求角的大小；

(2)若，点、在边上，，求面积的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）    用余弦定理将用边表示后，再用余弦定理即可求得角；

（2），用面积公式将的面积表示为角的函数进行求解.

【详解】（1）因为，由余弦定理，得，

化简整理得：，

由余弦定理，得，

因为，所以，即角的大小为.

（2）如图：

设，

在中，由正弦定理，得，

由（1）和可知，，，

所以，在中，同理可得，

因为，所以

，

因为，所以，

所以当，即时面积取得最小值为.

19．如图，在三棱台中，平面，与是分别以和为斜边的等腰直角三角形，，，与交于点，点在棱上，且.

(1)求证：平面；

(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接,通过几何关系可得到，然后利用线面平行的判定定理即可证明；

（2）取中点,连接，然后建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，即可求出对应角的正弦值

【详解】（1）连接,

在梯形中,,所以，

因为,所以,所以.

因为平面平面,

所以平面；

（2）取中点,连接,易得，

因为平面，所以平面，

以为坐标原点,分别以为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,

则

由可得,

所以,

设平面的法向量为,则有,得,

取,得,

设直线与平面所成角为.

则

所以直线与平面所成角的正弦值

20．在一张纸上有一个圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为．

(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；

(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标．

【答案】(1)证明见解析，

(2)证明见解析，定点

【分析】（1）利用对称性可知为定值，结合双曲线定义可得点的轨迹的方程；

（2）直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，三点共线得，从而可得定点.

【详解】（1）解：由题意得，所以，

即的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，

又，，所以，

所以的方程为；

（2）解：由已知得：，：，

联立直线方程与双曲线方程，消去整理得，

由韦达定理得，所以，即，

所以，

联立直线方程与圆方程，消去整理得，

由韦达定理得，所以，即，

因为，即，所以，

若直线所过定点，则由对称性得定点在轴上，设定点，

由三点共线得，

即，

所以直线过定点．

21．春节过后，文化和旅游业逐渐复苏，有意跨省游、出境游的旅客逐渐增多.某旅游景区为吸引更多游客，计划在社交媒体平台和短视频平台同时投放宣传广告并进行线上售票，通过近些年的广告数据分析知，一轮广告后，在短视频平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为，在社交媒体平台宣传推广后，目标用户购买门票的概率为；二轮广告精准投放后，目标用户在短视频平台进行复购的概率为，在社交媒体平台复购的概率为.

(1)记在短视频平台购票的4人中，复购的人数为，若，试求的分布列和期望；

(2)记在社交媒体平台的3名目标用户中，恰有1名用户购票并复购的概率为，当取得最大值时，为何值？

(3)为优化成本，该景区决定综合渠道投放效果的优劣，进行广告投放战略的调整.已知景区门票100元/人，在短视频平台和社交媒体平台的目标用户分别在90万人和17万人左右，短视频平台和社交媒体平台上的广告投放费用分别为4元/100人和5元/100人，不计宣传成本的景区门票利润率分别是2%和5%，在第（2）问所得值的基础上，试分析第一次广告投放后，景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额.

【答案】(1)分布列见解析；当时，期望为1；当时，期望为3；

(2)

(3)805500元

【分析】（1）复购的人数满足，故通过可求得或，然后分两种情况进行求分布列和期望即可；

（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为，由题得,，故可计算得，通过导数研究其单调性即可求得最大值，求得此时的值；

（3）根据题意，分两个平台进行计算净利润，最后进行求和即可

【详解】（1）由题意得,在短视频平台购票的人中,复购概率为，复购的人数满足二项分布，即，

故,故或.

又知的所有可能取值为0，1，2，3，4，

①当时,

的分布列为

此时期望为，

②时,

，

所以的分布列为

此时期望为

（2）设在社交媒体平台的目标用户购票并复购的概率为，由题得,.

,

,

令,得或1，

所以时, ，函数单调递增,当时, ，函数单调递减.

故当取得最大值.

由可得，此时.

（3）短视频平台:(元),

社交媒体平台:(元),

净利润总额:(元).

故景区在两个平台上的目标用户身上可获得的净利润总额为805500元.

【点睛】方法点睛：这道题的信息量较多，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的

22．设定义在R上的函数．

(1)若存在，使得成立，求实数a的取值范围；

(2)定义：如果实数s，t，r满足，那么称s比t更接近r．对于（1）中的a及，问：和哪个更接近？并说明理由．

【答案】(1)

(2)比更接近，理由见解析

【分析】（1）根据已知条件转化为最值问题，讨论的单调性，从而求出a的取值范围；

（2）根据已知条件转化为比较两个函数的大小，利用函数的单调性，求出比更接近

【详解】（1）因为存在，使得成立，即

由题设知，，

①当时，恒成立，在R上单调递增；

即在单调递增，，不满足，

所以舍去.

②当时，令，得，

当时，单调递减，当时，单调递增；

当时，在单调递增，，不满足，所以，舍去.

当时，，在单调递减，在单调递增，               所以成立，故当时成立.

综上：实数a的取值范围.

（2）令，

，在单调递减．因为

故当时，；当时，；

令，

，令，，在单调递增，

故，所以，则在单调递增，

所以，由（1）知，;

①当时，，,

令，

所以，故在单调递减，

所以，由（1）知，所以，

即，故，

所以比更接近；

②当时，，，

令，，令，

，在上单调递减，

所以，，在单调递减，

所以，由（1）知，所以，

即，故，

所以比更接近；

综上：当及，比更接近．

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．