2023届四川省大数据精准教学联盟高三第二次统一监测数学（理）试题含解析

2023届四川省大数据精准教学联盟高三第二次统一监测数学（理）试题

一、单选题

1．复数的虚部是（    ）

A． B． C． D．5

【答案】B

【分析】利复数的除法法则及复数的概念即可求解.

【详解】，

所以复数的虚部是.

故选：B.

2．已知全集为实数集R，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先求出集合，然后直接运用集合的交、补运算即可得结果.

【详解】因为，，

所以，.

故选：C.

3．居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称CPI）是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况．下图为我国2022年1月~2023年3月CPI同比（与去年同月对比）涨跌幅统计图．

下列分析中，最为恰当的一项是（    ）

A．各月CPI同比涨跌幅的极差大于

B．各月CPI同比涨跌幅的中位数为

C．2022年上半年CPI同比涨跌幅的方差小于下半年CPI同比涨跌幅的方差

D．今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差

【答案】D

【分析】根据统计图，判断极差范围，可判断A；结合中位数概念可判断B；根据统计图判断涨跌幅的变化幅度的大小，可判断C，D.

【详解】由统计图可知各月CPI同比涨跌幅的最小值大于，最大值小于，

故极差不超过，A错误；

各月CPI同比涨跌幅的中位数为将这15个数据从小到大排列的第8个数。

由统计图可知第8个数为2022年4月或5月11月中的一个，接近于，B错误；

由统计图可知2022年上半年CPI同比涨跌幅的变化幅度较大，

下半年CPI同比涨跌幅的变化幅度较小，

故2022年上半年CPI同比涨跌幅的方差应大于下半年CPI同比涨跌幅的方差，C错误；

由统计图可知今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的变化幅度明显大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的变化幅度，

故今年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI同比涨跌幅的方差，D正确；

故选：D

4．如图所示的网格中小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（    ）

A．9 B．18 C．27 D．54

【答案】C

【分析】首先由三视图还原几何体，再求表面积.

【详解】由三视图可知，平面，且，，，,

因为平面平面，平面平面，，

所以平面，平面，所以，

,

所以该几何体的表面积

.

故选：C

5．函数在上的图象大致为（    ）

A．   B．  

C．   D．  

【答案】A

【分析】首先判断函数的奇偶性，即可排除C、D，再由特殊值排除B，即可判断.

【详解】因为，，

则，

所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除C、D；

又，由于，所以，故排除B；

故选：A

6．如图，在中，，，若点D是斜边AB的中点，点P是中线CD上一点，且，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算及向量的共线定理即可求解.

【详解】依题意，点P在线段CD上，如图所示

则，即，于是有，

因为点D是斜边AB的中点，

所以.

所以

所以，解得.

故选：D.

7．若为锐角，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，然后找出已知角与要求角之间的关系，从而直接利用两角和的余弦公式即可求解.

【详解】因为为锐角，所以，所以，

又因为，所以，

所以

.

故选：D.

8．在数列中，，，则的通项公式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由数列递推式可得和相减可得，分n为奇数和偶数两种情况，求得数列通项公式，即得答案.

【详解】由，可得，且，

两式相减得，当时, ，

此时是以为首项，公差为2的等差数列，

则，即（n为奇数）；

当时, ，

此时是以为首项，公差为2的等差数列，

则，即（n为偶数），

综合上述可得数列的通项公式为，

故选：B

9．已知三棱锥各顶点均在以为直径的球面上，，是正三角形，则该三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．8

【答案】B

【分析】设，为的外心，求出外接圆的半径及面积，再求出，根据锥体的体积公式得到，令，则，则，设，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，即可得解.

【详解】如图，设，为的外心，

则，，，

所以，

令，则，

所以，设，，

则，

所以时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时取得极大值即最大值，

所以当，即时，

即当时三棱锥的体积取得最大值，最大值为.

故选：B

10．抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，一条光线从点沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另一点N．若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设出直线的方程，联立抛物线方程，用韦达定理和得出的值和、的坐标，然后由三角形的面积公式即可求解.

【详解】依题意，由抛物线性质知直线过焦点，

设，，直线的方程为，

由，得：，

所以，，

则，又，所以，

而，故，

所以.

故选：A.

11．“勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且，则这127个正方形的周长之和为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】确定不同边长的正方形的个数，构成等比数列，求出不同正方形的种数，结合正方形的边长构成以8为首项，为公比的等比数列，即可求得答案.

【详解】依题意可知，不同边长的正方形的个数，构成以1为首项，2为公比的等比数列，

故令，即，

即有7种边长不同的正方形，

又因为正方形的边长构成以8为首项，为公比的等比数列，

故边长为8的正方形有1个，边长为的正方形有2个，

边长为4的正方形有4个，边长为的正方形有8个，

边长为2的正方形有16个，边长为的正方形有32个，

边长为1的正方形有64个，

这127个正方形的周长之和为

，

故选：A

12．若，则a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用指数对数同构及换元法，构造函数，再利用导数法求函数的最值及函数单调性的应用即可求解.

【详解】不等式化为，即，

所以.

设，则，

令则，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以.

令，则.

当时，，单调递增；

所以，解得，故满足条件；

当时，当时，，

当时，，

在上单调递减；在上单调递增；

所以，

设，则，

所以在上单调递减，

又，

所以，

所以，

综上所述，a的取值范围为.

故选：A.

【点睛】关键点睛：将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用指数对数同构及换元法，构造函数，再利用导数法求函数的最值问题即可.

二、填空题

13．若x，y满足约束条件，则的最大值为________．

【答案】

【分析】首先画出可行域，再根据目标函数的几何意义，找到最优解，代入即可求解.

【详解】如图，画出可行域，表示斜率为的一组平行线，当时，

首先画出初始目标函数，当平移至点时，取得最大值，

联立，得，，即，即.

故答案为：

14．已知点、分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线的一条渐近线上一点，且．若的面积为，则双曲线的离心率为________．

【答案】

【分析】不妨设点为第一象限内一点，设点，其中，由已知可得出，求出点的坐标，利用三角形面积公式可出、的等量关系式，即可求得双曲线的离心率的值.

【详解】不妨设点为第一象限内一点，双曲线的渐近线方程为，

设点，其中，易知、，

，，

因为，则，

因为，解得，即点，

所以，，所以，，

所以，，

因此，双曲线的离心率为.

故答案为：.

15．为迎接大运盛会，全力争创全国文明典范城市，全面提升城市文明程度和市民文明素养现从“小区（院落）、市政基础设施、背街小巷、农贸（集贸、批发）市场、交通秩序、市民文明素养”等6项提升行动中任选3项深度调研，则选出的3项中有“市民文明素养”且没有“背街小巷”的概率是________．

【答案】/

【分析】首先求出基本事件总数，再求出选出的项中有“市民文明素养”且没有“背街小巷”的事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】从提升行动中任选项有种选法，

选出的项中有“市民文明素养”且没有“背街小巷”有种选法，

故选出的3项中有“市民文明素养”且没有“背街小巷”的概率.

故答案为：

16．已知函数及其导函数的定义域均为R，若，都为偶函数，则________．

【答案】2525

【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于点对称，即可依次求得的值，根据等差数列的求和公式，即可求得答案.

【详解】因为为偶函数，则，即，

则，即，

故的图象关于点对称，且；

又为偶函数，则，

则，即，

故的图象关于点对称，且，

又将代入得，则；

令，由可得，则；

同理可得，则；，则，

由此可得组成了以0为首项，为公差的等差数列，

故，

故答案为：2525

【点睛】关键点睛：解答此类关于抽象函数的性质类问题，要能综合利用函数的性质进行求解，比如函数的奇偶性和对称性以及周期性等，解答本题的关键就在于要根据函数的奇偶性推出函数的对称性，从而采用赋值法求值，发现规律，进而求解.

三、解答题

17．在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．

注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

已知中，角的对边分别为，点D为边的中点，，且________．

(1)求a的值；

(2)若的平分线交于点E，求的周长．

【答案】(1)2

(2)

【分析】（1）选①，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简可得B，再利用余弦定理即可求得答案；

选②，设，则，分别在中和在中，由余弦定理列出等式即可求得答案；

（2）结合（1）的结论，利用三角形面积求出，利用余弦定理求得的长，即可得答案.

【详解】（1）若选①：由可得,

又,

故,

而，故，

又，所以；

设，则，

在中，由余弦定理得,

即，

在中，由余弦定理得,

即，和联立解得，

则；

若选②：，设，则，

在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

因为，所以，

即，解得，

故.

（2）由（1）可知，选①可得；选②可得，则，

故由，

可得，

解得，

故在中，，

即,

故的周长为.

18．如图所示，直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，，，，异面直线DE与AC所成角为，点F，G分别为CE，BC的中点，点H是线段靠近点G的三等分点．

(1)求证：四点共面；

(2)求二面角的余弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取中点O，连接，证明平面，由此建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，进而推出，即可证明结论；

（2）求出平面以及平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可得答案.

【详解】（1）取中点O，连接，因为,故为锐角，

又，故即为异面直线DE与AC所成角，则，

则，即,

因为直角梯形和三角形所在平面互相垂直，，

平面平面，平面，故平面，

又,即四边形为平行四边形，故,

所以平面，

故以O为坐标原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，

则，，

由于,可得，

则，

则，故四点共面；

（2）由于平面，平面，且,

平面，故平面，

所以可作为平面的一个法向量，

设平面的法向量为，

，

则，即有，

令，则，

故,

根据原图可知二面角为锐角，

故二面角余弦值为.

19．中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息，某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表：

(1)通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？

(2)中国茶叶种类繁多，按照茶的色泽与加工方法，通常可分为红茶、绿茶、青茶、黄茶、黑茶、白茶六大茶类，每个茶类包括较多品种，现分别在绿茶与青茶中各选取了2个品种茶，甲在仅知道其所属茶类的情况下，品茶并识别茶叶具体品种，已知甲准确说出绿茶各品种的概率为，准确说出青茶各品种的概率为，品鉴每个品种的结果互不影响．记“甲准确说出茶叶品种数”为随机变量X，求X的分布列和数学期望．

附表及公式：

其中，．

【答案】(1)有99%的把握认为使用效果评价为“良好”的客户与性别有关系

(2)分布列见解析，期望

【分析】（1）首先根据参考公式，再和参考数据比较大小后，即可判断；

（2）首先确定随机变量的取值，再根据独立事件同时发生的概率公式求解概率，并列出分布列和数学期望.

【详解】（1）由题，得，

因此有99%的把握认为使用效果评价为“良好”的客户与性别有关系；

（2）由题可知，的可能值为0，1，2，3，4，

，

,

,

,

,

的分布列为：

则的数学期望.

20．已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，，分别为椭圆的左、右焦点，点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点，直线AM交椭圆C于另一点N．点N关于x轴的对称点为点Q．当点N为椭圆C的短轴端点时，原点O到直线的距离为1．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据离心率及点到直线距离列出方程组，结合求出，得到椭圆方程；

（2）设直线的方程为，表达出直线的方程，联立求出点坐标，再由表达出点坐标，表达出，利用基本不等式求出最小值.

【详解】（1）由题意得，当点N为椭圆C的短轴端点时，

不妨设，故直线的方程为，

故原点O到直线的距离为，

又，解得，

故椭圆C的标准方程为，

（2）点M是以AB为直径的圆上除去A，B的任意一点，故直线与直线的斜率均存在，

设直线的方程为，则直线的方程为，

由得，则，

由得，

设，则，故，，

即，故，

则

，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.

【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．

21．已知函数．

(1)若单调递增，求a的值；

(2)判断（且）与的大小，并说明理由．

【答案】(1)

(2)，证明过程见详解.

【分析】（1）根据题意得到恒成立，然后设，求出函数的单调性，进而求解即可；

（2）利用（1）中函数的单调性可知时，，然后利用裂项相消法求得，进而得证

【详解】（1）由可得，，

由于函数单调递增，则恒成立，

设，则，

当时，，可知时，，不满足题意；

当时，，函数单调递增，

又因为，即，不满足题意；

当时，令，解得，

当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，

所以当时，函数取得最小值，

由可得，，令，则，

可知时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

则，由于恒成立，

所以，当且仅当时取等号，

故函数单调递增时，实数的值为.

（2），理由如下：

由（1）可知，当时，，即有，

当时，，

故当且时，

，

因为，

所以

，

即，

所以.

【点睛】用特征分析放缩法证明不等式，就是将一些复杂函数通过等价变形或合理分析，得到一些熟悉的基本初等函数，然后利用这些基本初等函数的性质和图象等，进行合理的放缩，这样可以大大减少运算量，降低思维难度，进而使问题更易理解.

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求的直角坐标方程；

(2)已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据将极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）将曲线的参数方程代入的直角坐标方程，根据的几何意义可设，，列出韦达定理，由求出，即可求出的普通方程与极坐标方程.

【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为，即，

因为，所以，

所以的直角坐标方程为.

（2）将曲线的参数方程为（为参数）代入的直角坐标方程，

整理得，

由的几何意义可设，，

因为点在内，所以方程必有两个实数根，

所以，，

因为，

所以，

因为，所以，即，所以的普通方程为，

则的极坐标方程为.

23．已知a，b，c为正数，且．

(1)是否存在a，b，c，使得？若存在，求a，b，c的值；若不存在，说明理由．

(2)证明：．

【答案】(1)不存在，理由见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）使用柯西不等式可直接求解；

（2）先利用基本不等式并结合把化成，再利用基本不等式“1”的代换即可证明.

【详解】（1）不存在，理由如下：

由柯西不等式得，

所以（当且仅当，即时取等号），

所以不存在a，b，c，使得.

（2）因为a，b，c为正数，所以由基本不等式得（当且仅当时都取等号），

所以

，（当且仅当时取等号）

又，

所以

（当且仅当时取等号），

所以.