2022-2023学年广西南宁市武鸣区高三下学期5月三模数学试题含答案
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数学
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48.0分）
- 已知集合，，则
A. B. C. D.
- 复数为虚数单位的虚部为
A. B.2 C.5 D.1
- 已知点是角终边上的一点，则
A. B. C. D.
- 若，，，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
- 已知各项均不相等的等比数列，若，，成等差数列，设为数列的前n项和，则等于
A. B. C.3 D.1
- 已知l，m，n是三条不同的直线，，是不同的平面，则下列条件中能推出的是
A.，，且
B.，，，且，
C.，，，且
D.，，且
- 袋中有形状、大小都相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，其中1个白球，2个红球，2个黄球．从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为
A. B. C. D.
- 已知p：，q：，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是
A. B.
C. D.
- 一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是
A. B. C. D.
- 如图，，是分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与三边所在的直线都相切，切点为A，B，C，若，则双曲线的离心率为
A.
B.2
C.
D.3
- 已知函数，且对于任意的，有，设的最小值为，记，则下列区间为函数的一个递减区间的是
A. B. C. D.
- 函数的极小值点为
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
- 已知向量，则 ______ ．
- 已知数列的前n项和，则 ______ ．
- 已知点抛物线C：的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则： ______ ．
- 如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成若M为线段的中点，则在翻折过程中，下列命题正确的是______ 写出所有正确的命题的编号
线段BM的长是定值；
点M在某个球面上运动；
存在某个位置，使；
存在某个位置，使平面．
三、解答题（本大题共7小题，每小题6-15分，共82.0分）
- (6分)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且．
Ⅰ求角B的大小；
Ⅱ求面积的最大值．
- (8分)某商店经营一批进价为每件40元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间的关系如下表所示：
x元 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 |
y件 | 10 | 8 | 9 | 6 | 1 |
求回归直线方程；
假设今后销售依然服从中的关系，预测销售单价为多少元时，日利润最大？利润销售收入成本．
参考公式及数据：，，，．
- (12分)如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四形，，，，且底面ABCD．
Ⅰ证明：平面PBD；
Ⅱ若Q为PC的中点，求三棱锥的体积．
- (12分)已知函数．
若曲线在处的切线与直线垂直，求实数a的值．
，使得成立，求实数a的取值范围．
- (14分)若曲线上的点到点的距离与它到的距离之比为．
求出P点的轨迹方程
过作直线l与曲线交于A，B两点，曲线与x轴正半轴交于Q点，若的面积为，求直线l的方程．
- (15分)在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为的直线l的参数方程为其中t为参数在以O为极点、x轴的非负半轴为极轴的极坐标系两种坐标系的单位长度相同中，曲线C：的焦点F的极坐标为．
Ⅰ求常数的值；
Ⅱ设l与C交于A、B两点，且，求的大小．
- (15分)已知函数，记不等式的解集为M．
求M；
设，证明：．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
2.答案：D
3.答案：A
4.答案：D
5.答案：A
6.答案：D
7.答案：D
8.答案：A
9.答案：B
10.答案：B
11.答案：A
12.答案：D
13.答案：4
14.答案：387
15.答案：1：
16.答案：．
17.答案：本小题满分12分
解：Ⅰ，
可得：，
，
，由，可得：．
Ⅱ，，
由余弦定理可得，
由基本不等式可得，可得：，当且仅当时，“”成立，
从而．
故面积的最大值为．
解析：Ⅰ由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得，结合，可求cosB的值，进而可求B的值．
Ⅱ由余弦定理，基本不等式可得：，进而利用三角形面积公式即可得解面积的最大值．
本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．
18.答案：解： ，
，
，
所求回归直线方程
设日利润为z元，销售单价为x元时，
当时，z取最大值 ，
所以销售单价为72元时，日利润最大．
解析：本题考查回归直线方程的求法和应用，考查最大利润的求法，属于中档题．
求出回归系数，即可得y关于x的回归直线方程；
销售价为x时的利润为，即可得出结论．
19.答案：Ⅰ证明：在中，由余弦定理得：
，
，，
，．
又底面ABCD，平面ABCD，
．
，平面PBD；
Ⅱ解：为PC的中点，三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，
而．
三棱锥的体积．
解析：Ⅰ在中，由余弦定理得求得BD，可得，则，再由已知得到由线面垂直的判定可得平面PBD；
Ⅱ由Q为PC的中点，得三棱锥的体积与三棱锥的体积相等，然后利用等积法求解．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
20.答案：解：函数的导数为，
即有曲线在处的切线斜率为，
由切线与直线垂直，可得，
解得；
，使得成立，
即有，使得成立，
由，则，
即有，的最小值，
由的导数为，
由于，则导数大于0，
即有函数y在递增，
则函数的最小值为2，
即有，解得．
则实数a的取值范围是．
解析：求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为，即可得到所求a的值；
由题意可得，使得成立，运用参数分离和构造函数运用导数，判断单调性即可得到最小值，进而得到a的范围．
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数的单调性的运用，注意存在性问题的解法，属于中档题．
21.答案：解：由题意知：，即，
整理得：．
点的轨迹方程为；
设直线的方程为，，，
联立，化简得：．
，，
．
，
，
解得：．
直线的方程为或；
解析：由已知得等式，整理后即可得到P点的轨迹方程；
设出过的直线的方程为，A，B的坐标，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点的纵坐标的和与积，代入三角形的面积公式求得t的值，则直线方程可求．
本题考查了椭圆的第二定义，考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．
22.答案：解：Ⅰ曲线C：，
转换为：，
即：，
由于：曲线C的焦点F的极坐标为．
即：，
所以：，
故：．
Ⅱ把倾斜角为的直线l的参数方程为其中t为参数代入．
得到：．
所以：，，
且，
故：，，
整理得，
解得：，
由于：，
故：．
解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换一元二次方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
Ⅰ直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
Ⅱ利用一元二次方程关系式的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
23.答案：解：，
可得时，即，解得；
当时，即，解得；
当时，即，解得；
则；
证明：要证，即证，
由a，，即，，
可得，，即，，
可得，
故成立．
解析：本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的证明，注意运用分类讨论思想和分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，再求并集可得M；
运用分析法，结合因式分解和不等式的性质，即可得证．
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