2023届广东省华南师范大学附属中学高三下学期5月保温考数学试题含答案

华附南海实高2023届高三下学期5月保温考

数   学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则（    ）

A．  B． C． D．与的关系不确定

2．已知i为虚数单位，复数对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C．  D．无解

3．四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（    ）

A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数

B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数

C．样本中男生人数少于女生人数          

D．样本中选择物理学科的人数较多

4．如图，在中，点为边的中点，为线段的中点，

连接并延长交于点，设，，则（    ）

A．       B．      C．      D．

5．有一个沙漏如图所示，由圆柱与圆锥组合而成，上下对称，沙漏中沙子完全流下刚好填满下半部分的圆柱部分，此圆柱部分高度为，已知沙漏总高度为，，则初始状态的沙子高度为（    ）

A． B． C． D．

6．设函数，方程恰有5个实数解，则正实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．根据圆维曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知，分别是双曲线的左、右焦点，若从点发出的光线经双曲线右支上的点反射后，反射光线为射线AM，则的角平分线所在的直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，球的表面积为，四面体内接于球，是边长

为的正三角形，平面平面，则该四面体体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列说法正确的有（    ）

A．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则

B．线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱

C．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高

D．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），没有充分证据推断零假设不成立，即可认为与独立

10．若，其中为实数，则（    ）

A． B． C． D．

11．已知正四棱锥的所有棱长均为，，分别是，的中点，

为棱上异于，的一动点，则以下结论正确的是（    ）

A．异面直线、所成角的大小为   B．直线与平面所成角的正弦值为

C．周长的最小值为      D．存在点使得平面

12．已知定义在上的函数，其导函数分别为，若，，则（    ）

A．是奇函数 B．是周期函数

C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设随机变量的分布列如下：

其中，，…，构成等差数列，则 ___________.

14. 已知函数为偶函数，则的值为___________.

15. 已知圆，过点的直线与圆交于两点，是的中点，则点的轨迹方程为__________.

16．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．受新冠病毒感染影响，部分感染的学生身体和体能发生了变化.为了了解学生的运动情况，某中学对高中三个年级的学生运动情况进行了分层抽样调查.调查的样本中高一年级有70%的学生每周运动总时间超过5小时，高二年级有65%的学生每周运动总时间超过5小时，高三年级有56%的学生每周运动总时间超过5小时，且三个年级的学生人数之比为9：6：5，用样本的频率估计总体的概率.

(1)从该校三个年级中随机抽取1名学生，估计该学生每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)假设该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且.现从这三个年级中随机抽取3名学生，设这3名学生中每周运动总时间为5至6小时的人数为Y，求随机变量Y的期望.

18．如图，在平面内四边形的对角线交点位于四边形内部，，，

设.

(1)若，求与；

(2)当变化时，求的最大值.

19．已知数列的前项和为

(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

20．如图，在几何体ABCDE中，面，，，．

(1)求证：平面平面DAE；

(2)，，几何体ABCDE的体积，

求直线与平面所成角的正弦值．

21．已知双曲线的渐近线与曲线相切.横坐标为的点在曲线上，过点作曲线的切线交双曲线于不同的两点.

(1)求双曲线的离心率；

(2)记的中垂线交轴于点.是否存在实数，使得? 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

22．已知函数.

(1)若函数为增函数，求的取值范围；

(2)已知.

（i）证明：；

（ii）若，证明：.

华附南海实高2023届高三下学期5月保温考

数学参考答案

1．A

2．A

3．D

4．C

5．C

6．B

7. B

8. B

9．ACD

10．BC

11．BC

12. BCD

13．

14. 【

15.

16．

17.【详解】（1）记随机抽取一名学生分别来自高一、高二和高三为事件A，B，C，随机一名学生每周运动总时间超过5小时为事件E.  则，，，

，，.

根据全概率公式，，

即该学生每周运动总时间超过5小时的概率为0.65.

（2）因为该校每名学生每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且，

所以，由（1）知，，

所以，所以，

即该校学生每周运动总时间为5至6小时的概率为0.3，

因此，所以，即：随机变量Y的期望为.

18.【详解】（1）在中，由余弦定理可得，

，则为等腰直角三角形，

，在中，由余弦定理，；

（2）在中，，即，，

在中，由余弦定理可得，

，当时，的最大值为.

19.【详解】（1）由得，又，

所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，

，即

当时，，

又不满足上式，

所以；

（2）由（1）知，

当时，；

当时，，即

所以的最大值为，依题意，即，解得或.

20．【详解】（1）如图，取的中点M、N，

连接、、，则知，且，又，且，

所以，且，则四边形为平行四边形，所以．

∵，M为的中点，∴，

∵平面，平面，∴．

又，平面,平面，∴平面

从而可得平面，由于平面，

所以平面平面，命题得证．

（2）由（1）知，平面DAE于，则为CE与平面DAE所成角.

且在中，，由且，得，

又已知平面，平面，∴，

∵平面ABCD，∴平面ABCD，

设，则，那么有，

则，解得，即有．

从而易得，在中，；

又在中，，则知；

∴，即CE与平面DAE所成角的正弦值为．

21．【详解】（1）由题意，与曲线相切，消得：有唯一解，

所以得：，离心率.

（2）由，故点作曲线的切线的斜率为，则，

所以方程为代入中，并整理得

，

设，在，易得的中点，

故中垂线，则点.

若，则，即得，

此时

当，即时，存在实数，使得；

当，即时，不存在实数，使得.

22．【详解】（1）∵，则，

若是增函数，则，且，可得，

故原题意等价于对恒成立，构建，则，

令，解得；令，解得；

则在上递增，在递减，故，∴的取值范围为.

（2）（i）由（1）可知：当时，单调递增，

∵，则，即，整理得，

构建，则，令，

解得；令，解得；则在上递减，在递增，

故，即，当且仅当时等号成立，

令，可得，故；

（ii）∵，则，

可知有两个不同实数根，由（1）知，

可得，同理可得，

构建，则，

当时，；当时，；当时，；

且，故对恒成立，故在上单调递减，

∵，则，即，

且，则，故，

可得；又∵，由（i）可得，即，

则，且，则，可得；

综上所述：.

可得，则

故.