2023届广东省深圳市教育集团高三下学期5月适应性测试数学试题含答案

  绝密启用前    考试类型：B

深圳市教育集团2023届高三下学期5月适应性测试

数  学

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡的相应位置上。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设随机变量，若，则的值为（    ）

A． B． C．3 D．5

3．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（    ）

A．3 B． C． D．

4．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

5．已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，则的最小值是（    ）

A．10 B．9 C．8 D．5

6．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（    ）

A．在区间内有一个零点 B．在上单调递减

C．在区间内有最大值 D．的图象在处的切线方程为

7．如图，已知正方体，点在直线上，为线段的中点，则下列命题中假命题为（    ）

A．存在点，使得

B．存在点．使得

C．直线始终与直线异面

D．直线始终与直线异面

8．设各项均为实数的等差数列和的前项和分别为和，对于方程

①，②，③．下列判断正确的是（    ）

A．若①有实珢，②有实根，则③有实根； B．若①有实根，②无实根，则③有实根；

C．若①无实根，②有实根，则③无实根； D．若①无实根，②无实根，则③无实根

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．下列命题中的真命题有（    ）

A．当时，的最小值是3

B．的最小值是2

C．当时，的最大值是5

D．若关于的不等式的解集为，则

10．对于函数，如果存在实数，使得，那么称函数有不动点，也称是函数的一个不动点．下列命题中的真命题有（    ）

A．有1个不动点 B．有2个不动点

C．有3个不动点 D．没有不动点

11．设直线系，下列命题中的真命题有（    ）

A．中所有直线均经过一个定点

B．存在定点不在中的任一条直线上

C．对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上

D．中的直线所能围成的正三角形面积都相等

12．如图，棱长为2的正四面体中，，分别为棱，的中点，为线段的中点，球的表面与线段相切于点，则下列结论中正确的是（    ）

A．平面

B．球的体积为

C．球被平面截得的截面面积为

D．球被正四面体表面截得的截面周长为

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第90百分位数是__________．

14．若展开式的各项系数之和为32，则展开式中的常数项为__________．（用数字作答）

15．扇面是中国书画作品的一种重要表现形式，一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27和12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为．若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为__________．

16．定义两个点集，之间的距离集为，其中表示两点，之间的距离．已知，，，，，则的一个可能值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）已知，，，且的图象关于点对称．

（1）求；

（2）设的角，，所对的边依次为、、，外接圆半径为，且，，．若点为边上靠近的三等分点，求的长度．

18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，，，．

（1）求，及的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，若对任意的恒成立，求的最小值．

19．（本小题满分12分）如图，且，，且，且．平面，．

（1）求平面与平面的夹角的正弦值；

（2）若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．

20．（本小题满分12分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗．该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立．

（1）若，求数学期望；

（2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关．团队提出函数模型为．团队提出函数模型为．现将白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，现将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示．

（ⅰ）试写出事件“，，…，”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）；

（ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计．根据这一原理和团队，提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计．

参考数据：．

21．（本小题满分12分）已知定点，关于原点对称的动点，到定直线的距离分别为，，且，记的轨迹为曲线．

（1）求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线？

（2）已知点，是直线与曲线的两个交点，，在轴上的射影分别为，（，不同于原点），且直线与直线相交于点，求与面积的比值．

22．（本小题满分12分）已知函数．

（1）若不等式恒成杢，求实数的取值范围；

（2）若函数有三个不同的极值点，，，且，求实数的取值范围．

深圳市教育集团2023届高三下学期5月适应性测试

   数学答案

选择题：CADB  BCCB  AC，AB，BC，ABD．

填空题：21；10；；（可填，中任何一个）．

解答题

17．【解析】（1）．．

因为的图象关于对称，所以，，．

又，所以．

（2）由（1）知．

因为，所以或，或，．

因为，所以，

在中，由正弦定理㣟，

因为点为边靠近的三等分点，所以．

由余弦定理得，即，解得，

所以，

在中，由余弦定理得，

所以．

说明：也可以由两边平方得结果．

18．【解析】（1），，，

因为，，所以数列为常数列，

所以，所以．

法二：时，，时上式也符合，即．

所以，当时，：当时，上式也符合．

所以，的通项公式为．

（2），时，

故，．

所以，，．

，．

所以的最大值为，．所以的最小值为．

19．【解析】（1）因为平面，，平面，所以，．

因为，所以，，两两垂直，以为原点，

分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系（如图），

则，，，，，，．

得，，．

设为平面的法向量，则，

令，则；设为平面的法向量，则，

令，则，所以．

所以平面与平面的夹角的正弦为．

（2）设线段的长为，则，．

因为，，，

所以平面，为平面的一个法向量，

所以，由题意，可得，解得．

所以线段的长为．

20．【解析】（1）由题知，随机变量服从二项分布，，

由，即．得，

所以．

（2）（ⅰ）“，，…，”，．．

（ⅱ）记，则，

当时，，单增；

当时，，单减；

当时，取得最大值，即取得最大值．

在团体提出的函数模型，中，记，，

则，当时，，单增；

当时，，单减．

所以当时，取得最大值，，则不可以估计．

在团体提出的函数模型中，记函数，单调递增，

令，解得，则是的最大似然估计．

21．【解析】（1）设，．

由有，，

两边平方得，化简得，

即曲线的方程为或．

曲线匙以点，为焦点，长轴长为的椭圆与轴组成的曲线．

（2）设直线与椭圆相交于，两点，则，．

将代入并整理得，，．

直线的方程为：．

设，则，

同理直线与直线相交于点，．

，其中．

从而，与重合．

因为，所以．

又，，则．

所以与面积的比值为1．

注：（1）问中，在得到后，若，则该等式恒成立，

若，则由等比性质有，后略．

22．【解析】（1）函数的定义域为，

不等式恒成立，即在上恒成立，记，则，

所以在上，单调递减，在上，单调递增，

则，即在区间上恒成立．

问题转化为在上恒成立，则，

．

由前面可知，当时，恒成立，即，

所以在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，

所以．所以实数的取值范围．

（2），设曲线图象上任意一点，，

所以曲线在点处的切线方程为．

将代入得，，

故切点为，过的切线方桯为，即．

所以直线和曲线相切，并且切点坐䏡为，

所以当且仅当时，方程有两个不相符的实根，，并且，

从而当时，有三个极值点，，，并且，，，

等式两边取对数得，，即，，

则．

令，则有在时恒成立，

则在上单调递增，且，

从而的解为，即．

综上可知，实数的取值范围是．