2023届河南省新未来高三5月联考数学（文）试题含解析

2023届河南省新未来高三5月联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得中函数的定义域，再利用交集运算即可求解．

【详解】由，则，所以．

故选：B．

2．已知复数z满足，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】先对已知的化简，然后利用的周期性即可求解.

【详解】依题意，，∴．

故选：C.

3．在中，角所对的边分别为 ，，且的面积为，若，则（    ）

A． B．5 C． D．

【答案】A

【分析】根据三角形面积可推出，利用余弦定理即可求得答案.

【详解】由于,，故有，解得，

又，则,

故选：A．

4．如图为近一年我国商品零售总额和餐饮收入总额同比增速情况折线图，根据该图，下列结论正确的是（    ）

A．2023年1—2月份，商品零售总额同比增长9.2%

B．2022年3—12月份，餐饮收入总额同比增速都降低

C．2022年6—10月份，商品零售总额同比增速都增加

D．2022年12月，餐饮收入总额环比增速为-14.1%

【答案】C

【分析】根据折线图数据，结合同比与环比概念与数据波动情况的关系进行辨析即可.

【详解】对于A，2023年1—2月份，商品零售总额同比增长2.9%，故A错误；

对于B，2022年8月份，餐饮收入总额同比增速增加，故B错误；

对于C，2022年6—10月份，商品零售总额同比增速都增加，故C正确；

对于D，2022年12月，餐饮收入总额环比增速并未告知，故D错误．

故选C．

5．已知向量，满足，，，则（    ）

A． B． C．12 D．24

【答案】C

【分析】根据数量积的运算律即可求解．

【详解】由，

所以．

故选：C．

6．一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的面积，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则表面积（包括底面）之比（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由球的性质可求出截面圆的半径，从而求出表面积，可解此题.

【详解】∵，，∴，，

∴．

故选：B

7．设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（    ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】先根据题意和抛物线的性质可得到为等边三角形，进而即可求得的值．

【详解】依题意有，则为等边三角形，

又轴，所以．

故选：A．

8．执行如图所示的程序框图，则输出a的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定的程序框图，依次各次循环的值，确定退出循环时值表达式，再利用二倍角的正弦公式计算作答.

【详解】第一次循环：，；第二次循环：，；

第三次循环：，，…，

第6次循环：，，

所以

.

故选：A

9．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据对数的运算性质，化简得到，，，即可求解.

【详解】由对数函数的运算性质，可得，

，，所以．

故选：D．

10．已知正项数列的前n项和为，满足，则（    ）

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025

【答案】B

【分析】由递推式得出，两式相减根据，可得是首项为1，公差为1的等差数列，进而利用通项公式求解即可.

【详解】由题意，，，

两式相减，得，

．

，．

当时，，，

是首项为1，公差为1的等差数列．

．

故选：B

11．已知函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则的最小值为（    ）

A．0 B． C．1 D．

【答案】B

【分析】由，则，再根据题意得到，从而求得的范围，进而得到的范围，再利用正弦函数的性质即可求解．

【详解】由，

又，则，

因为函数的图象在内有且仅有一条对称轴，

所以，解得，则，

所以，故则的最小值为．

故选：B．

12．已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出直线l的方程为，联立双曲线，得到两根之和，两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积，列出方程，求出离心率.

【详解】设，，直线l的方程为，其中，

联立得．

∴，，

由，得，即，

∴，即，

∴，整理得，

∴离心率．

故选：C．

二、填空题

13．已知实数x，y满足约束条件则的最大值为 ______．

【答案】3

【分析】作出可行域，通过平移直线即可求解.

【详解】如图，由约束条件可得可行域为阴影部分，

由得，作出直线，

由得交点坐标为，

平移直线知，当直线过点时，z取得最大值，∴．

故答案为：3.

14．如图，矩形长为，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为10.2，则______．

【答案】5

【分析】欲估计出的值，可利用概率模拟，只要利用落在椭圆内的概率和平面图形的面积比即可求出.

【详解】因为矩形的面积为3a，

则，解得．

故答案为：

15．定义在上的函数满足，则______．

【答案】1012

【分析】先根据题意可得到，从而可得到函数的周期性，再通过赋值和得到和，进而即可求解．

【详解】由，

则，

所以，即，

所以是以4为周期的周期函数．

令，得，所以，

令，则，所以，

所以．

故答案为：1012．

16．已知正方体的棱长为，动点P在内，满足，则点P的轨迹长度为______．

【答案】/

【分析】确定正方体对角线与的交点E，求出确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.

【详解】在正方体中，如图，

平面，平面，则，而，

平面，于是平面，又平面，

则，同理，而平面，因此平面，

令交平面于点E，由，得，

即，解得，而，于是，

因为点P在内，满足，则，

因此点P的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆在内的圆弧，

而为正三角形，则三棱锥必为正三棱锥，为正的中心，

于是正的内切圆半径，

则，即，，

所以圆在内的圆弧为圆周长的，即点P的轨迹长度为．

故答案为：

【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.

三、解答题

17．清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：

(1)根据统计完成以上列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；

(2)能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？

参考公式：，其中．

参考数据：

【答案】(1)列联表见解析；所求概率为

(2)有99.9%的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关

【分析】（1）根据已知数据补全列联表后，由古典概型概率公式计算概率；

（2）计算出后可得结论．

【详解】（1）补全表格如下：

该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；

（2）∵，

∴有99.9%的把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．

18．已知数列满足，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用递推式得出是以1为首项，3为公比的等比数列，求出，进而求解即可.

（2）利用错位相减法求解数列前项和即可.

【详解】（1）由，得，

又，是以1为首项，3为公比的等比数列，

，，

即数列的通项公式为.

（2）由（1）知，，

则，①

得，②

①－②得

，

故．

19．如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，且为边长为4的等边三角形，，，D为PA的中点．

(1)求证：；

(2)求点D到平面PBC的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取AC中点E，连接DE，BE，由侧面底面，证得平面，得到，再由，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得；

（2）由（1）求得，过点P作，求得，进而得到，结合，求得点到平面的距离，即可求得点到平面的距离．

【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接DE，BE，

因为为等边三角形，所以，

又由侧面底面，底面，侧面底面，

所以平面，因为平面，所以，

又因为D，E分别为PA，AC中点，可得，

因为，所以，又因为，且DE，平面，

所以平面，因为平面，所以；

（2）解：由（1）可知，，且，

在中，由余弦定理得，

即，解得，

过点P作，垂足为H，可得，，

则，，

所以，

因为由侧面底面，且侧面底面，

所以底面，所以点P到平面的距离为，

又因为，所以，

设点到平面的距离为，

由，可得，解得，

因为为的中点，所以点到平面的距离为．

20．已知函数．

(1)当时，求的最小值；

(2)若在上恰有一个零点，求实数a的取值范围．

【答案】(1)2

(2)或

【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而求出极值和最小值；

（2）变形得到的零点问题，求导得到其单调性，求出极小值，结合，，，分，，和分类讨论，得到零点情况，求出答案.

【详解】（1）当时，，，

易知函数在上单调递减，在上单调递增，

∴在处取得极小值，同时也是最小值，

∴函数的最小值为；

（2）令，得，令，

则函数在上的零点即为函数在上的零点，，

∵当时，；当时，，

∴在上单调递减，在上单调递增，

∴当时，取极小值，

①当时，，故在上无零点；

②当时，，故在上有一个零点；

③当时，∵，，，∴在上有两个零点；

④当时，，，

时，，

∴在上有一个零点，

综上，当或时，在上有一个零点．

【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方

21．已知椭圆过点，且离心率为．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，试问：的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)的内心在定直线上

【分析】（1）根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程；

（2）设，，联立直线和椭圆C的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论．

【详解】（1）依题意有，解得，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）设，，

联立，消整理得，

则，，所以，

所以，

所以，

又，

所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴，

所以的内心在定直线上．

【点睛】关键点点睛：在解答小问（2）时，关键在于利用韦达定理得到，进而得到的内心在定直线上．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．

(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)设直线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点），求线段AB的长度．

【答案】(1)曲线；曲线

(2)

【分析】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，进而化为极坐标方程即可；

（2）直线过原点，所以化为极坐标方程后与曲线，的极坐标方程联立，利用的几何意义求解即可.

【详解】（1）曲线（为参数），消去参数得，

将代入，得曲线的极坐标方程为，

由得，∴，

∴曲线的直角坐标方程为；

（2）易知直线l的极坐标方程为，代入曲线，的极坐标方程

得，，

∴．

23．已知，函数的最小值为2，证明：

(1)；

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，得到的最小值为，进而化简得到，结合二次函数的性质，即可求解；

（2）由（1）得到，化简，结合基本不等式，即可求解.

【详解】（1）证明：由于，则，

当且仅当取等号，故的最小值为，

所以，

当且仅当，时取等号.

（2）解：由（1）知，所以，

所以，当且仅当，即时取等号．