2023年高考数学考前信息必刷卷（五）（福建卷）含答案

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2023年高考数学考前信息必刷卷05

新高考地区专用

1．已知，则z的虚部为（    ）

A． B． C．2 D．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：

高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），

高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）

若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（    ）

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

5．如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

6．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

7．已知数列满足：当时，，其中为正整数，则使得不等式成立的的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．已知，，.其中为自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

9． “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据（单位：秒）服从正态分布，且．现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为，则下列正确的有（    ）

A． B．

C． D．

10．如图，在直角梯形ABCD中，，，，是的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

11．在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（    ）

A．  B． 

C．的最小值为 D．的最大值为

12．设，当时，规定，如，．则（    ）

A．

B．

C．设函数的值域为M，则M的子集个数为32

D．

13．为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为________________kg．

14．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．则动圆圆心的轨迹的方程为___________.

15．随着疫情解除，经济形势逐渐好转，很多公司的股票价格开始逐步上升．经调查，A公司的股价在去年年初（时）的股价是每股5元人民币，到了年末（时）涨到了每股6元人民币．经过建立模型分析发现，在第t个月的时候，A公司的股价可以用函数来表示，其中k为常数．假设A公司的股价继续按照上述的模型持续增长，则当A公司的股价涨到10元时，t的值约为______（结果精确到个位数，参考数据：，，．）

16．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(1)求角C的大小；

(2)若，求c的取值范围．

18．（12分）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．

(1)求；

(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.

19．（12分） “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；

(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．

20．（12分）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点.当直线过原点时，.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若存在直线，使得，求的取值范围.

22．（12分）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．

注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．

(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；

(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．

绝密★启用前

2023年高考数学考前信息必刷卷05

新高考地区专用

1．

【答案】C

2．

【答案】D

3．

【答案】A

4．

【答案】C

5．

【答案】A

6．

【答案】D

7．

【答案】C

8．

【答案】B

9．

【答案】BC

10．

【答案】ABC

11．

【答案】ABD

12．

【答案】BCD

13．为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为________________kg．

【答案】54.5

【详解】，，

故，解得：，

故回归直线方程为，则当时，(kg).

故答案为：54.5

14．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．则动圆圆心的轨迹的方程为___________.

【答案】

【详解】因为圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

设动圆的半径为，

因为动圆与圆内切，与圆外切，

所以，，

于是，

所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，

从而，所以.

所以动圆圆心的轨迹的方程为．

故答案为：.

15．随着疫情解除，经济形势逐渐好转，很多公司的股票价格开始逐步上升．经调查，A公司的股价在去年年初（时）的股价是每股5元人民币，到了年末（时）涨到了每股6元人民币．经过建立模型分析发现，在第t个月的时候，A公司的股价可以用函数来表示，其中k为常数．假设A公司的股价继续按照上述的模型持续增长，则当A公司的股价涨到10元时，t的值约为______（结果精确到个位数，参考数据：，，．）

【答案】42

【详解】解：因为A公司的股价在时是每股5元人民币，所以，所以．

经过12个月后，得到，所以．

根据题意，要股价涨到10元，则，所以，

所以．

故答案为：42.

16．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.

【答案】         

【详解】解：设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，设第一个阴影三角形面积为,后续阴影三角形面积为

由题意知，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以，

所以；

所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故图中阴影部分面积为，

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(1)求角C的大小；

(2)若，求c的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由已知及正弦定理，得，

即，

∴．

又∵，

∴；

（2）由（1）及正弦定理得，

∵，

∴，

∴．

∵，∴，，

∴，

∴．

18．（12分）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．

(1)求；

(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.

【答案】(1)，

(2)186

【详解】（1）因为，当时，

，                        

因为，所以，故．

当时，适合上式，

所以，.

（2）（方法1）因为，，

所以当时，．

所以

所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，

设，则，

因为，所以.                       

所以的前100项是由14个1与86个2组成．

所以.                             

（方法2）设，则，

因为，所以.                             

根据数列的定义，知

.

19．（12分） “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；

(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；数学期望

(3)

【详解】（1），.

（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，

人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；

则所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望.

（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；

则，

若最大，则最大，当时，取得最大值.

20．（12分）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【详解】（1）过点作的平行线，由题意可知以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，，．

设平面的法向量为，，，，，令，则，

∵，

∴，平面.

（2）根据图形易知平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，

则.

所以平面与平面夹角的余弦值.

（3），入射角为，

，因为，

所以，.

故这束光在玻璃窗上的入射角的正切值为.

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点.当直线过原点时，.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若存在直线，使得，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为直线过原点时，，设，

由可得：，即设不妨点在第一象限，

所以，

代入椭圆的方程，可得，

又由题意可知，，且，解得，，

所以椭圆的标准方程为；

（2）易知直线的斜率存在，设：，

与椭圆的方程联立，

消去，整理得，

由题意可知，，

整理得，解得，

设，，则，，①

由题意，，

将①代入上式，整理得，有，

由，则，故，即.

22．（12分）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．

注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．

(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；

(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，证明见解析.

(2)

【详解】（1）解：由函数，可得，

则且，

所以的方程为，即

因为函数的零点的近似值，即，所以，

可得

又因为，所以的直线方程为

令

其中，则，令，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，

所以在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方.

（2）解：由曲线且，

令，

要使得两条运货总干线、分别在各自的区域内，则满足恒成立，

又由，令，可得，即，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

当时，函数取得最小值，

最小值为，

令，即，

即，

即，

因为，可得，

又因为函数的零点的近似值，即，所以，

则，

又由，所以，

所以实数的取值范围是.