2023届云南师范大学附属中学高三第九次高考适应性月考数学试题含解析

2023届云南师范大学附属中学高三第九次高考适应性月考数学试题

一、单选题

1．已知，若，则k=（    ）

A．3 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平面向量共线的坐标表示，列方程求解，即得答案.

【详解】因为，所以，

故选：C．

2．已知，，则集合A与集合B之间的关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由集合间的基本关系判断即可.

【详解】，，

因为，所以为奇数，所以⫋.

故选：B．

3．在复平面中，点O为坐标原点，记，，表示的复数分别为，记z为所表示的复数，则（    ）

A．25 B．8 C．5 D．

【答案】A

【分析】由复数的几何意义可得，求出，再由共轭复数的定义和复数的乘法运算化简即可得出答案.

【详解】因为，，表示的复数分别为

所以，

，

则，

那么，所以.

故选：A．

4．的展开式中二项式系数最大的项是（    ）

A．160 B．240 C． D．

【答案】C

【分析】根据二项式系数的性质求解即可.

【详解】因为，所以的展开式中二项式系数最大为，

即展开式的第4项，即.

故选：C．

5．已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】D

【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式可得，根据前n项和的性质确定取最值情况即可.

【详解】设等差数列{}的公差为，因为，即，所以，

因为，解得，所以，则，

这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值.

故选：D．

6．近年来，天然气表观消费量从2006年的不到m3激增到2021年的m3. 从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，，.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第k年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为m3，2018年的天然气消费量为m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（    ）

（参考数据：，

A．m3 B．m3

C．m3 D．m3

【答案】B

【分析】由题意，，，由已知数据解出，再由，代入参考数据计算即可.

【详解】据题意，，两式相除可得，

又因为，

故选：B．

7．一名具有30多年医药研究和教学经验的医生面对这样一个问题：妇女患上乳腺癌的概率为0.8%. 如果一名妇女患上了乳腺癌，其X光片有90%的可能呈阳性；如果没有，则X光片呈阳性的概率为7%. 现知道一名妇女的X光片呈阳性，请帮助该医生计算这位妇女真正患上乳腺癌的概率约为（    ）

A．9% B．33% C．70% D．90%

【答案】A

【分析】运用条件概率公式可求得，全概率公式可求得，再运用条件概率可求得.

【详解】设“一名妇女患乳腺癌”，“一名妇女的X光片呈阳性”．

由题知，，，

所以，

根据全概率公式可得，

所以，

故选：A.

8．已知F为双曲线C：的左焦点，过F的一条直线l与双曲线C交于A，B两点，与双曲线C的渐近线交于D，E两点，若，则直线l的斜率为（    ）

A． B．

C． D．±2

【答案】A

【分析】设出直线l的方程，分别由线段的长度公式计算和，结合即可算出直线l的斜率.

【详解】据题意，设直线，两条渐近线满足方程，

由得，

整理得，

，

由得：，

整理得，

，

，，

，，

故选：A．

二、多选题

9．已知和都是定义在上的函数，是偶函数，关于对称；是奇函数，关于对称，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的周期为2 B．

C．函数关于点对称 D．

【答案】CD

【分析】根据函数的性质是偶函数，关于对称可得函数的周期，可判断A，B；由函数的性质是奇函数，关于对称，可得其对称中心有，即可判断C，D.

【详解】由是偶函数知关于对称，所以，又关于对称，

所以，则，即，所以的周期为，故A错误；

无法求出的值，故B错误；

由是奇函数知关于对称，故C正确；

关于的对称点为，所以，故D正确.

故选：CD．

10．单摆是一种简谐运动，摆球的运动情况可以用三角函数表达为，，，其中x表示时间（s），y表示位移（cm），A表示振幅，表示频率，φ表示初相位.如图甲某个小球做单摆运动，规定摆球向右偏移的位移为正，竖直方向为平衡位置.图乙表示该小球在秒运动时的位移随时间变化情况.根据秒表记录有：当时，小球第一次到平衡位置；当时，小球的位移第一次到反向最大值.根据以上图文信息，下列选项中正确的是（    ）

A．频率为

B．初相位或

C．振幅

D．当时，小球第三次回到平衡位置

【答案】ACD

【分析】A选项，根据图象性质得到函数的最小正周期，进而求出频率；B选项，根据，求出；C选项，结合图象，代入求出；D选项，根据题意及最小正周期得到时，第三次回到平衡位置.

【详解】A选项，设最小正周期为，据题意，频率为，故A正确；

B选项，当时，小球第一次到平衡位置，即是正弦函数减区间上的零点，且，所以，故B错误；

C选项，根据图中的信息知在图象上，所以，故C正确；

D选项，当时，小球第一次到达平衡位置，当时，小球第三次到达平衡位置，故D正确.

故选：ACD．

11．关于方程C：，下列说法正确的有（    ）

A．当时，方程C表示的曲线是椭圆

B．当时，方程C所表示的曲线上一点到直线l：距离的最大值为

C．当时，方程C表示的曲线是双曲线

D．若方程C表示的曲线是椭圆，则椭圆的离心率为

【答案】BC

【分析】由方程表示椭圆和双曲线的条件，结合椭圆和双曲线的性质，判断选项是否正确.

【详解】若方程表示的曲线是椭圆，则解得，故A错误；

当时，方程是，曲线是椭圆，设曲线上一点，

则点到直线距离为：

，故B正确；

若方程表示的是双曲线，则，则有，故C正确；

若方程表示的是椭圆，但受到的影响，椭圆的焦点可能在轴上，也可能在轴上，所以离心率的表达式有两个，时椭圆的离心率为，时椭圆的离心率为，故D错误.

故选：BC．

12．三棱锥P-ABC满足PA⊥平面ABC，，D是线段PB的中点，E是底面ABC（包括边界）的一个动点，球O是三棱锥的外接球，下列说法正确的有（    ）

A．当E在线段AB上时，

B．若F是球O表面一个动点，则EF的最大值为4

C．DE的取值范围是[1,]

D．经过DE的平面截球O的截面面积最小值为2π

【答案】ACD

【分析】根据线面垂直的判定与性质可得结论，从而判断A；根据三棱锥的几何性质可将三棱锥放入正方体中，利用正方体求外接球的半径，从而得三棱锥半径，即可得EF的最值，可判断B，由球的截面性质可判断D；由线面垂直的性质结合勾股定理可求得DE的取值范围，即可判断C.

【详解】如图，

因为平面，平面，所以，

又，由勾股定理得，所以，

因为平面，所以平面，

当在线段上时，平面，所以，故A正确；

如图，

因为平面，，则可以将三棱锥放入正方体中，

正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，故三棱锥外接球的半径为，

点是球表面或内部一点，点是球表面任意一点，所以的最大值为球的直径，即，故B错误；

因为平面，则点在底面的投影为AB的中点，则，由图知，

当点与点重合时，取到最大值，，

当点与点重合时，取到最小值，所以，故C正确；

记经过的平面为，当时，平面与球的截面面积最小，此时截面圆的半径为，所以截面面积为，故D正确.

故选：ACD．

三、填空题

13．在某次射击比赛中，甲选手每次射击击中靶心的概率为0.7，他在同样的条件下连续射击10次，若击中靶心得2分，未击中靶心得分，记得分为，则=___________.

【答案】11

【分析】根据题意可得中靶心的次数为Y服从的二项分布，由二项分布的数学期望的性质求解即可.

【详解】据题意，记击中靶心的次数为Y，则Y服从的二项分布，

所以，．

故答案为：.

14．甲、乙等五人去、、三个城市交流学习，每个人只能去一个城市，每个城市至少去一人. 甲说“如果我有搭档，那么搭档中必须有乙”，则他们五人去交流学习的不同方式有_________种.

【答案】

【分析】对甲是否由搭档进行分类讨论，计算出每种情况下不同的方法种数，利用分类加法计数原理可得结果.

【详解】如果甲没有搭档，自己一个人去某个市，

那么这五个人去交流学习的不同方法数为；

如果甲有搭档，可能个人同行，则必须是甲和乙，也可能三个人同行，

那么这五个人去交流学习的不同方法数为．

所以总的方法数为．

故答案为：.

15．水以2dm3/分速率流入一个圆锥形容器.该容器的形状是一个正圆锥，底面水平，顶点向下，底面半径为2dm，圆锥的高为3dm.当水深为1dm时，水面上升的速率为___________dm/分.

【答案】．

【分析】由导数的实际意义，水面上升的速率为水深关于时间的导数即可求解.

【详解】记水流速度为，底面半径为，圆锥的高为，水深为，时间为．

记经过时间后，水的体积为，

有水部分的圆锥体积为，解得，当时，，

根据导数的实际意义知，水面上升的速率即为关于的导数，即，

所以当水深为时，水面上升的速率为，

所以水面上升的速率为．

故答案为：.

16．在△ABC中，，且，则三角形ABC的面积为___________.

【答案】

【分析】设，则，代入已知式化简可得，可视为关于的二次方程有解，由可求得，即，可判断是一个等边三角形，即可求出三角形ABC的面积.

【详解】设，则，

且，于是，

所以，整理得，

可视为关于的二次方程有解，

那么，由于，所以，则，

因为，于是，

满足，

所以，故是一个等边三角形，

所以．

故答案为：.

四、解答题

17．小强发现汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素 是驾驶员的反应时间和汽车的行驶速度.小强根据美国公路局公布的实验数据，制作了汽车行驶速度x（km/h）和停车距离y（m）的表格.

(1)通过样本相关系数的值说明x和y的相关程度；

(2)小强选择用一元线性回归分析这组数据，请帮他求出回归方程（保留两位小数）.

参考数据：，

参考公式：相关系数；（若认为相关性很强；|r|认为相关性一般，认为相关性较弱）

回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.

【答案】(1)和有很强的线性相关关系

(2)

【分析】（1）根据线性相关系数的求解公式得结果，即可判断相关性；

（2）根据最小二乘法求得线性回归方程的斜率与截距，即可得回归直线方程.

【详解】（1），

所以可以认为和有很强的线性相关关系．

（2）据题意，，又，

所以，

所以回归方程为．

18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，记△ABC的外接圆为圆O，半径.

(1)求的值；

(2)∠ACB的角平分线与直线AB交于点D，若，求CD的长.

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）利用正弦定理求得，由数量积的性质求的值；

（2）已知条件由正弦定理得或，利用三角函数和面积公式求CD的长.

【详解】（1）为的三个内角，所以，

因为，所以，

记的外接圆半径为，根据正弦定理有，所以，

根据圆的性质知，圆心在直线的投影为弦的中点E，

所以，故．

（2），根据正弦定理得，，即，

若，则是一个等腰三角形，是角平分线，且，

由二倍角公式得，因为，所以，，

则，于是，所以；

若，则，由余弦定理得，解得，

由等面积法得，

即，解得．

所以或

19．数列满足，数列的前n项和为，数列满足，数列的前n项和为.

(1)求数列的前n项和；

(2)求证：

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由递推公式，可得为等比数列，求出通项后得，利用分组求和求数列的前n项和；

（2）利用放缩得，裂项相消求和证得.

【详解】（1）由，得，

故是以为首项，为公比的等比数列，

所以，得．

，

所以数列的前项和为．

（2）证明：，

所以，

，，故．

20．如图，平行六面体ABCD-的所有棱长都相等，，，E为棱BC的中点，F在棱上运动，.

(1)证明：当时，平面；

(2)是否存在点F，使得直线BF与平面所成角的正弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，．

【分析】（1）运用线面平行的判定定理证明即可.

（2）建立空间直角坐标系，运用线面角坐标公式计算即可.

【详解】（1）证明：当时，为棱中点，

取中点为，连接，如图所示，

则，,

又因为，，

所以，

所以为平行四边形，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）存在当时，直线与平面所成角的正弦值为，理由如下：

不妨设棱长，则，

在中，，

所以，

同理可得，，

所以，

所以，

所以，

又因为在等边中，，

所以，

所以，

又因为，

所以以为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，

则，，，，，，

则，，

所以，，

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，解得，

设直线与平面所成角为，

则，

解得（舍）或．

所以存在，直线与平面所成角的正弦值为.

21．平面中有两个定圆，圆，圆.动圆P以点P为圆心，且与圆外切，与圆内切.

(1)求动圆圆心P的轨迹方程C；

(2)已知动点T在直线上，过T的两条直线分别与曲线C交于A，B两点和D，E两点，且，求直线AB的斜率与直线DE的斜率之和.

【答案】(1)

(2)0

【分析】（1）根据圆与圆的位置关系，设动圆的半径为，结合椭圆定义即可得动圆圆心P的轨迹方程C；

（2）设，直线的斜率为，直线的斜率为，联立直线与椭圆方程，得交点坐标关系，结合两点距离公式即可得结论.

【详解】（1）设动圆的半径为，圆，圆的圆心，半径分别为，

据题意，所以，，根据椭圆的定义知，点的轨迹是椭圆，

其中，所以,故轨迹方程为．

（2）设，直线的斜率为，直线的斜率为，

则，

联立直线与曲线的方程有：，

设，根据韦达定理知：

，

所以，

则

，

同理得，

因为，有，所以，

即，直线与直线不重合，则，

故直线的斜率与直线的斜率之和为0．

22．已知函数

(1)当时，求的极值；

(2)若，不等式恒成立，求的取值集合.

【答案】(1)极小值为，无极大值

(2)

【分析】（1）根据函数极值的概念，先求导数，确定函数单调性即可得极值；

（2）原不等式等价于：，恒成立，令，求导，确定函数单调性及最值情况即可得的取值.

【详解】（1）当时，，，

令，则，

令，解得，

当，单调递减，又，则恒成立；

当，单调递增，且，

则当，，，．

综上，当，，单调递减；

当，，单调递增，

故的极小值为，无极大值．

（2）原不等式等价于：，恒成立，令，

由得，，又，则；

①当时，，则，

令，则，在上单调递增，

又，，故存在唯一使得，

则，即，，

在上单调递减，在上单调递增，

，

则恒成立，符合题意；

②当时，令，

当，有，，故在上单调递减，

故，

由①得，，所以，不符合题意；

综上所述，的取值集合为．

【点睛】方法点睛：已知函数含参方程求参数取值范围的常用方法：

（1）直接法：构造函数，求导得函数的最值确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的最值问题加以解决.