2023届云南省昆明市高三“三诊一模”高考模拟考试数学试题含解析

这是一份2023届云南省昆明市高三“三诊一模”高考模拟考试数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届云南省昆明市高三“三诊一模”高考模拟考试数学试题

一、单选题
1．已知全集，集合，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据补集的定义，即可求解.
【详解】全集，集合，则.
故选：A
2．复数在复平面内对应点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】计算出，得到其对应点所在象限.
【详解】，故对应的点坐标为，位于第二象限.
故选：B
3．仓廪实，天下安．粮食安全是国家安全的重要基础．某实验农场为研究甲、乙两品种土豆苗的生长状态，从种植的甲、乙两品种土豆苗中各随机抽取10株，分别测量它们的株高（单位：cm）数据如下表所示，则下列结论中表述不正确的是（    ）
样本号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲品种
82
83
81
82
76
91
83
88
89
93
乙品种
68
80
88
72
89
88
95
74
90
71

A．甲品种土豆苗样本株高的极差小于乙品种土豆苗样本株高的极差
B．甲品种土豆苗样本株高的方差大于乙品种土豆苗样本株高的方差
C．甲品种土豆苗样本株高的中位数小于乙品种土豆苗样本株高的中位数
D．甲品种土豆苗样本株高的平均值大于乙品种土豆苗样本株高的平均值
【答案】B
【分析】将甲乙两组样本数据从小到大排序，分别计算极差、中位数、平均数、方差，比较结果即可得答案.
【详解】甲品种土豆样本从小到大排序为76，81，82，82，83，83，88，89，91，93，
所以极差为，中位数为，平均值为，
方差为乙品种土豆样本从小到大排序为68，71，72，74，80，88，88，89，90，95，
所以极差为，中位数为，平均值为，
方差为，
甲品种土豆苗样本株高的极差小于乙品种土豆苗样本株高的极差，故A正确；
甲品种土豆苗样本株高的方差小于乙品种土豆苗样本株高的方差，故B不正确；
甲品种土豆苗样本株高的中位数小于乙品种土豆苗样本株高的中位数，故C正确；
甲品种土豆苗样本株高的平均值大于乙品种土豆苗样本株高的平均值，故D正确.
故选：B
4．在平行四边形ABCD中，点T为CD的中点，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量加法的几何意义计算即可.
【详解】
如图所示，，，即A正确.
故选：A
5．已知函数的部分图象如图所示，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图象过代入解析式即可求得结果.
【详解】观察图象得过点，代入得，而，故.
故选：D
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，平面满足，若直线AC到平面的距离与BC1到平面的距离相等，平面与此正方体的面相交，则交线围成的图形为（    ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】D
【分析】设分别为的中点，证明6点共面，为六边形，再证明此平面满足条件即可得解.
【详解】如图，

设分别为的中点，
连接，
，
，，
同理可得，，，
共面，
平面，平面，
平面，
同理可得平面，
为的中点，
到平面的距离与到平面的距离相等，
即平面为所求的平面，故与正方体交线为正六边形.
故选：D
7．已知，，，则（    ）
A．a 【答案】B
【分析】根据余弦函数、指数函数、对数函数的单调性，利用“桥梁”比较大小.
【详解】在上单调递减，且，
，
，，
，
故选：B
8．随机化回答技术是为调查敏感性问题特别设计的问卷调查技术，其基本特征是被调查者对所调查的问题采取随机回答的方式，避免在没有任何保护的情况下直接回答敏感性问题，从而既对被调查者的隐私和秘密加以保护，又能获得所需要的真实信息．某公司为提升员工的工作效率，规范管理，决定出台新的员工考勤管理方案，方案起草后，为了解员工对新方案是否满意，决定采取如下随机化回答技术进行问卷调查：所有员工每人抛掷一枚质地均匀的硬币两次，约定“若结果为一次正面朝上一次反面朝上，则按①回答问卷，否则按②回答问卷”．
①：若第一次抛掷硬币出现正面朝上，则在问卷中画“√”，否则画“×”；
②：若你对新考勤管理方案满意，则在问卷中画“√”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画√，画×的比例为3∶2，用频率估计概率，则该公司员工对考勤管理方案的满意率为（    ）
A．50% B．60% C．70% D．80%
【答案】C
【分析】计算出回答①对于画√号的贡献率，进而得到回答②对于画√号的贡献率，由贝叶斯概率公式进行求解.
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币两次，共出现以下情况，（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），共4种情况，
其中结果为一次正面朝上一次反面朝上为事件，则共有2种情况满足要求，
则，，
设回答①且画√号为事件，则，则，
设回答②且画√号为事件，
则，
所以该公司员工对考勤管理方案的满意率为.
故选：C

二、多选题
9．已知a，b，c为非零实数，则下列说法一定正确的是（    ）
A．若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列
B．若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列
C．若a2，b2，c2成等比数列，则a，b，c成等比数列
D．若a，b，c成等差数列，则，，成等比数列
【答案】AD
【分析】根据等差数列和等比数列的中项公式，即可判断.
【详解】A.若a，b，c成等比数列，则，则，所以，，成等比数列，故A正确；
B.数列1，2，3是等差数列，但数列，，不是等差数列，故B错误；
C.若a2，b2，c2成等比数列，则，或，若，则a，b，c不成等比数列，故C错误；
D.若a，b，c成等差数列，则，则成立，所以，，成等比数列，故D正确.
故选：AD
10．已知椭圆的左、右焦点分别为，直线y＝m与C交于A，B两点（A在y轴右侧），O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）
A．
B．当时，四边形ABF1F2为矩形
C．若，则
D．存在实数m使得四边形ABF1O为平行四边形
【答案】ABD
【分析】由椭圆的定义与对称性可判断A；求出，的坐标，即可判断B；设，若，则，又，求得，即可判断C；若四边形为平行四边形，则，即的横坐标为即可，代入椭圆方程可得，即可判断D.
【详解】
由椭圆与关于轴对称，可得，故A正确；

当时，可得，又，
则，则四边形为矩形，故B正确；
设，则，
若，则，又，
联立消元得，解得，故C错误；

若四边形为平行四边形，则，即的横坐标为即可，
代入椭圆方程可得，故当时，四边形为平行四边形，故D正确．
故选：ABD．
11．已知球O的半径为R，正四棱台ABCD－A1B1C1D1的两底面边长分别为2和4，高为h，则（    ）
A．对任意h>0，都存在R>0，使点O到该棱台所有面的距离都等于R
B．对任意h>0，都存在R>0，使该棱台的所有顶点都在球O的球面上
C．若点O到该棱台所有面的距离都等于R，则
D．若该棱台所有顶点都在球O的球面上，且，则
【答案】BCD
【分析】根据题意，画出正四棱台的俯视图与剖面图，结合图形即可得到结果.
【详解】
由题意，正四棱台的俯视图如图所示，
若点到棱台所有顶点距离都相同，则点必位于正方形对角线交线的垂线上，
由于可取直线上的任意一点，故B正确；
当时，，则，解得，故D正确；
对选项A，若成立，则取过的剖面图如图所示，
由全等关系可得，，
所以，此时，所以，
故A错误，C正确.
故选:BCD
12．如图是电灯挂在圆形桌面正中央上方的示意图，电灯在点O处，桌面直径为2m，点M是桌面边缘上一点，电灯与M之间的光线与桌面所成角为，电灯与M之间的距离为l．根据光学原理，M点处的照度I满足关系式：（为常数，）．则下列说法正确的是（    ）

A．记时的照度为，时的照度为，则
B．I随l的增大而减小
C．I先随的增大而增大，后随的增大而减小
D．当时，I取得最大值
【答案】ACD
【分析】在平面内的投影为圆心，连接，则为光线与桌面所成角，确定，构造，求导得到函数的单调区间，举反例得到B错误，计算得到ACD正确，得到答案.
【详解】如图所示：在平面内的投影为圆心，连接，则为光线与桌面所成角，

则，故，
，设，设，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
对选项A：，，则，正确；
对选项B：取，则，，此时，取，则，则，，此时，，，错误；
对选项C：在上单调递增，故I先随的增大而增大，后随的增大而减小，正确；
对选项D：当时，函数有最大值，此时，，正确；
故选：ACD
【点睛】关键点睛：本题考查了函数的性质，利用求导求函数的最值，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，构造函数判断单调区间可以简化运算，是解题的关键.

三、填空题
13．的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）
【答案】10.
【详解】解：因为由二项式定理的通项公式可知

14．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为e，点P在C上，且，则满足条件的一个e的值为__________．
【答案】2（写出中的任意一个实数即可）
【分析】利用双曲线的定义及性质计算即可.
【详解】先证双曲线上一点到焦点的距离最小为.
设右支上一点，，
则，
由得.
由题意及双曲线的定义得，
故写出中的任意一个实数即可.
故答案为：2（写出中的任意一个实数即可）.
15．Farey序列是指把在0到1之间的所有分母不超过的最简分数及0（视为）和1（视为：）按从小到大的顺序排列起来所形成的数列，记作F－n，例如F－4就是．则F－7的项数为__________．
【答案】19
【分析】根据Farey序列构成的数列的性质，利用列举法，即可求解.
【详解】根据题意Farey序列构成的数列，
可得的各项为：，
共有项，所以的项数为.
故答案为：.
16．已知函数的定义域为R，对于任意实数均满足，若，，则__________．
【答案】145
【分析】令即可求出，令即可求出，观察猜想，再用数学归纳法证明即可.
【详解】令即可求出，
令即可求出，
，
结合，，，，可猜想.
下面用数学归纳法证明：
当时，由上述知成立.
假设当时有，
则当时，不妨设，
.
所以成立，所以.
故答案为：.

四、解答题
17．如图1，在梯形ABCD中，，，，E为CD中点，将沿AE翻折，使点D与点P重合，如图2．

(1)证明：PB⊥AE；
(2)当二面角等于时，求PA与平面PEC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）根据题意，取AE中点为O，连接PO，BO，BE，由线面垂直的判定定理可得平面POB，从而证明PB⊥AE；
（2）根据题意，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果.
【详解】（1）证明：取AE中点为O，连接PO，BO，BE，
由题可知，，又，所以，
所以，，
又平面POB，
所以平面POB，
又因为平面POB，所以．
（2）
因为二面角等于，所以平面PAE⊥平面ABCE，
平面平面ABCE＝AE，因为PO⊥AE，所以PO⊥平面ABCE，
所以OA，OB，OP两两垂直．
以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，
不妨设AB＝2，由已知得，所以，，
则，，，，，，，，
设平面PEC的法向量，则，
取平面PEC的一个法向量，
设PA与平面PEC所成角为，则，
即PA与平面PEC所成角的正弦值为．
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为．
(1)若，求；
(2)求的最大值．
【答案】(1)
(2)4

【分析】（1）利用正弦定理及三角形面积公式计算即可；
（2）利用三角形面积公式结合余弦定理化问题式为，结合三角函数的性质计算最值即可.
【详解】（1）由于，所以，
由正弦定理可得．
（2）由于，所以；
由余弦定理可得，
所以，
则当时，取得最大值4．
19．已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人．
(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报，求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率．
(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了多轮测试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．已知在某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为，乙同学每个动作达到“优秀”的概率均为，且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试结果互不影响．记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）根据抽取的3人中的人数分配情况，结合古典概型，即可求解；
（2）由题意可知，甲和乙都分别服从二项分布，并分别计算甲和乙优秀的概率，再根据随机变量的取值，并计算概率，即可求分布列和数学期望.
【详解】（1）设事件A为“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”，则有
（2）设甲同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Y，则有；
设乙同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Z，则有；
所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率
，
乙同学在一轮测试结果为优秀的概率
．
由题意，得X可取0，1，2；
则有；；
．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
P



因此X的数学期望．
20．雪花是一种美丽的结晶体，放大任意一片雪花的局部，会发现雪花的局部和整体的形状竟是相似的，如图是瑞典科学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，其作法如下：

将图①中正三角形的每条边三等分，并以中间的那一条线段为一边向形外作正三角形，再去掉底边，得到图②；
将图②的每条边三等分，重复上述的作图方法，得到图③；
……
按上述方法，所得到的曲线称为科赫雪花曲线（Koch snowflake）．

现将图①、图②、图③、…中的图形依次记为、、…、、…．小明为了研究图形的面积，把图形的面积记为，假设a1＝1，并作了如下探究：

P1
P2
P3
P4
…
P
边数
3
12
48
192
…

从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数

3
12
48
…

从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积




…

根据小明的假设与思路，解答下列问题．
(1)填写表格最后一列，并写出与的关系式；
(2)根据（1）得到的递推公式，求的通项公式；
(3)从第几个图形开始，雪花曲线所围成的面积大于．
参考数据（，）
【答案】(1)填表见解析；
(2)
(3)第7个

【分析】（1）根据题中数据的规律及等比数列的通项公式填写表格最后一列，进而得出与的关系式；
（2）利用累加法求解；
（3）由题意，利用指数函数的性质及对数的运算性质求解．
【详解】（1）图形、、…、、…的边数是以3为首项，4为公比的等比数列，则图形的边数为；
从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数是以3为首项，4为公比的等比数列，则比前一个图形多出的三角形的个数为；
从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积是以为首项，为公比的等比数列，则比前一个图形多出的每一个三角形的面积是．

P1
P2
P3
P4
…
Pn
边数
3
12
48
192
…

从P2起，每一个比前一个图形多出的三角形的个数

3
12
48
…

从P2起，每一个比前一个图形多出的每一个三角形的面积




…

所以，即．
（2）当时，

，
又因为，符合上式，
所以．
（3）由，得，则，
所以，故，
由，，故，又因为，所以，
所以从第7个图形开始雪花曲线所围成的面积大于．
21．已知动点T为平面内一点，O为坐标原点，T到点的距离比点T到y轴的距离大1．设点T的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设直线l：，过F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与y轴垂直的直线依次交直线OA，OB，l于点N，P，Q，直线OB与l交于点E．记的面积为，△的面积为，判断，的大小关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)，证明见解析

【分析】（1）利用两点距离公式及点线距离求轨迹方程；
（2）设直线，，，联立轨迹C，应用韦达定理依次求出坐标，进而确定，再求出坐标，即可证结论.
【详解】（1）设，由题意得，化简得y2＝4x，
故所求动点T的轨迹方程C：．
（2），的大小相同，证明如下：
设直线，，，
由得：，，则，．
线段AB的中点为M，则，，
又直线，令，则，故，
同理，则，，所以．
又直线，令，则，即，
综上，．

【点睛】关键点点睛：由共线，求出它们的点坐标证明，再证、纵坐标相等.
22．已知函数．
(1)若直线与曲线相切，求b的值；
(2)若关于x的方程有两个实数根，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）求得，得到在上递增，结合和，得到切点坐标，代入直线方程，即可求解；
（2）由（1）中切线为，设，求得，求得在上单调递增，进而得到单调递增，转化为，设，进而得到；得出在处的切线为，设，求得，出单调递增，得到，再设，结合，得到，进而得证.
【详解】（1）解：由函数的定义域为，
可得，
令，可得，所以在上递增，
当，，
又由，所以直线与曲线的切点为，
将切点代入直线方程，可得．
（2）解：由（1）可知，在处的切线为，
设，可得，
设，可得，
所以在上单调递增，且，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，则，所以，
设，则，
因为，在上单调递减，所以；
又因为，所以在处的切线为，
设，
可得，在上单调递增，且，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，则，所以，
设，则，
因为，在上单调递增，所以，
故，当且仅当时等号成立．
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.