2023届四川省南充市高三三模数学（文）试题含解析

这是一份2023届四川省南充市高三三模数学（文）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省南充市高三三模数学（文）试题 一、单选题1．在复平面内，若复数对应的点为，则（    ）A． B． C． D．5【答案】D【分析】根据复数的几何意义和复数的乘法运算即可求解.【详解】因为复数对应的点为，则，所以，故选：D.2．“”是“”的（    ）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】先化简条件“”为“”，再利用包含关系判断必要不充分条件即可.【详解】解：因为，所以，设，，则所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题考查求解一元二次不等式、判断两个集合之间的包含关系、利用集合的包含关系判断必要不充分条件，是基础题.3．已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】因为集合的代表元素都是，所以分别解关于的不等式可得集合，进而求出.【详解】由得，由得，即，所以，所以.故选：C.4．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】设直线的斜率为，直线的斜率为，由条件得出，求出的值，再根据诱导公式即可得出答案．【详解】设直线的斜率为，直线的斜率为，由直线得出斜率，因为直线与直线垂直，所以，即，解得，即，所以，故选：B．5．在中，角的对边分别是，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由得，所以，由于,故选：A6．若数列对任意的均有恒成立，则称数列为“数列”，下列数列是“数列”的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据各选项的通项公式，直接验证是否恒成立即得．【详解】若，则，即，不满足条件，不是“数列”；若，则，即，不满足条件，不是“数列”；若，则，即，满足条件，是“数列”；若，则，当时，，不满足条件，不是“数列”．故选：C．7．已知点是函数的一个对称中心，则为了得到函数的图像，可以将图像（    ）A．向右平移个单位，再向上移动1个单位B．向左平移个单位，再向上移动1个单位C．向右平移个单位，再向下移动1个单位D．向右平移个单位，再向下移动1个单位【答案】A【分析】利用点是函数的一个对称中心，求出，在分析图像平移即可.【详解】因为点是函数的一个对称中心，所以，所以，又，所以，所以所以要得到函数的图像则只需将图像：向右平移个单位，再向上移动1个单位，故选：A.8．早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆和，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角和（和的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点B作太阳光的平行线，与 的延长线交于点C，可求出，利用弧长公式即可求得地球的半径.【详解】如图所示，过点B作太阳光的平行线，与 的延长线交于点C，则 ， ，所以,设地球半径为R,则根据弧长公式得 ，所以 ,故选：A.9．已知奇函数是上的增函数，，若，，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性和奇偶性求出函数的单调性和奇偶性，进而判断即可求解.【详解】因为奇函数是上的增函数，所以，且.又因为，所以当时，，当时，，因为，所以是上偶函数，当时，因为，所以函数在上单调递增，根据函数的奇偶性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以，则，所以，故选：D.10．我们知道：反比例函数的图象是双曲线，它关于直线对称，以轴，轴为渐进线.实际上，将的图象绕原点顺时针或逆时针旋转一个适当的角，就可以得到双曲线或.则关于曲线，下列说法不正确的是（    ）A．该曲线的离心率为B．曲线的顶点为和C．曲线上的任意点到两点的距离之差为D．该曲线可由绕原点逆时针旋转后得到【答案】C【分析】根据旋转后得到的双曲线方程为，即可判断D，由两个曲线的形状和性质类似，离心率不变，即可结合选项判断ABC.【详解】如图①：曲线与相交于 且，不妨将曲线的图象绕着原点顺时针旋转后，如图图②，使得旋转到轴，成为的左右顶点，且为渐近线，所以，故的方程为，故D正确，对于A，的离心率为，所以的离心率与曲线相同，故A正确，对于B，曲线的顶点为，故B正确，对于C，曲线的焦点为，曲线上任意一点到的距离之差的绝对值为 ，所以在中，焦点在直线上，且，所以的焦点为，曲线上的任意点到两点的距离之差的绝对值为，故C错误，故选：C             图①                                  图②11．已知函数使（为常数）成立，则常数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数的单调性不妨设，即可得到，令，，则问题转化为函数在上存在单调递增区间，即在上有解，参变分离，在构造函数求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围.【详解】因为，在定义域上单调递增，又使（为常数）成立，显然，所以不妨设，则，即，令，，则，即函数在上存在单调递增区间，又，则在上有解，则在上有解，令，，则，所以在上单调递增，所以，所以，即常数的取值范围为.故选：C12．已知中，为斜边上一动点，沿将三角形折起形成三棱锥使平面平面，记，当最短时，（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据面面垂直得线面垂直，进而得线线垂直，由锐角三角函数以及余弦定理分别表示的长度，进而由勾股定理，结合三角函数的形状即可求解最值.【详解】如图2，过点作于点，连接由于平面平面，且两平面的交线为,平面,所以平面,平面，故,所以,由于在直角三角形中，,所以，在中，由余弦定理得，所以，故当时，最小，此时（由于），故，故选：B【点睛】本题考查了空间中垂直关系的转化：面面垂直-线面垂直-线线垂直.灵活利用垂直关系得新的垂直关系是解题的关键.在平面图形翻折形成立体几何体的过程中，要明确改变的量和不发生变化的量，注意把平面图形与立体图形结合起来找到解题的突破口.线段的长度的求解，多需要借助于直角三角形的勾股定理，必要时也可利用向量的模长求解. 二、填空题13．在平面直角坐标系中，若点在直线的左上方，则的取值范围是___________.【答案】【分析】根据点与直线的位置关系，可得出关于的不等式，即可求解.【详解】点在直线的左上方，所以.故答案为: .14．一个高中研究性学习小组对本地区2020年至2022年菜鸟驿站发展情况进行了调查，制成了该地区菜鸟驿站站点个数情况的条形图和菜鸟驿站各站点年快递收发数量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递___________万件.【答案】1400【分析】由两个条形图计算三年收发快递的总数，再计算平均数.【详解】由图可知，三年共收发快递万件，所以这三年中该地区菜鸟驿站每年平均收发快递万件.故答案为：1400.15．设抛物线的焦点为，若圆与抛物线有4个不同的交点，记轴上方的两个交点为.则的值是___________.【答案】【分析】联立圆的方程和抛物线方程，得，进而根据向量的模长公式即可代入求解.【详解】由题意可知，联立或，不妨,所以 故答案为：16．已知函数，有以下说法：①的值域为；②是周期函数；③在上单调递减；④对任意的，方程在区间上有无穷多个解.其中所有正确的序号为___________.【答案】①③④【分析】设，则，于是问题转化成的函数的性质的研究问题，①③④可以借助正弦函数的性质说明，②可以通过反证法说明其错误.【详解】对于①，设，由正弦函数的性质可知，的值域为，故①正确；对于②，假设的周期为，于是，显然处有定义，故，但在处无定义，于是没有周期，故②错误；对于③，设，由于，故，根据正弦函数的单调性和复合函数的单调性，，关于在上递增，，关于在，故关于在上递减，故③正确；对于④，设，由得，则，由①，，根据正弦函数的性质，，在有无数多个解，也就是无数多个满足该方程，而，也就是有无数多个可以使得成立，故④正确.故答案为：①③④ 三、解答题17．已知数列的前项和为.(1)求的通项公式；(2)设数列满足：，记的前项和为，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用数列前项和与通项的关系及等比数列通项公式求解；（2）求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用分组求和法求解.【详解】（1）①当时，②①－②得：即，数列是以3为首项，3为公比的等比数列.（2）.所以的前项和.18．近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术．某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额x（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额y（单位：百亿元），对研发投资额和收入附加额进行整理，得到相关数据，并发现投资额x和收入附加额y成线性相关．投资额（百亿元）234568911收入附加额（百亿元）3.64.14.85.46.27.57.99.1(1)求收入的附加额y与研发投资额x的线性回归方程（保留三位小数）；(2)现从这8家企业且投资额不少于5百亿元的企业中，任意抽取3家企业，求抽取的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的概率．参考数据：．附：在线性回归方程，．【答案】(1)(2) 【分析】（1）直接根据线性回归方程的公式计算即可；（2）根据题意列出基本事件，再得出抽中的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的事件数，根据古典概型计算公式计算即可．【详解】（1）由，得：，由得，所以年收入的附加额与投资额的线性回归方程为．（2）已知这8家企业中投资额不少于5百亿元的企业有5家，其中收入附加额大于投资额的企业有2家，编号为，；余下3家编号为，，，现从中5家中任选3家，基本事件总数为10，情况如下：，，，其中抽取的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的情况共有6种，情况如下：，故抽取的3家企业中恰有1家企业的收入附加额大于投资额的概率．19．如图所示，已知是圆锥底面的两条直径，为劣弧的中点．(1)证明：；(2)若，为线段上的一点，且，求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【分析】（1）连接并延长交于，由为劣弧的中点及为等腰三角形得出，由平面，得出，证明出平面，结合平面，即可证明；（2）设交于，显然平分，且，由得出为的中点，同理，结合得出平面，由平面，即可证明平面平面．【详解】（1）连接并延长交于，如图所示，为劣弧的中点，是的角平分线，平分，，，又在圆锥中，平面，平面，，，平面，且，平面，又平面，．（2）设交于，显然平分，且，又，，在中，，为的中点，同理，，又，，，平面，且平面，平面，又在平面中，，，又平面，且平面，平面，又，平面，且，平面平面．20．在平面直角坐标系中，动点到的距离之和为4.(1)求动点的轨迹的方程；(2)已知点，若点是曲线上异于顶点的两个不同的点，且，记的面积为，问是否定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值为1 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，求解的坐标，进而由弦长公式或者利用向量夹角求解面积，代入化简即可.【详解】（1）由题意易知，动点的轨迹是以为焦点的椭圆，且动点的轨迹的方程为：.（2）显然直线的斜率存在，设的方程为：联立得：，设，则得：，，由可设的方程为,，联立得：，，，，法1：,故为定值1，法2：的方程为：，即，到的距离为，，后同解法1.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的范围或最值或者定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由韦达定理得到的等量化简求解，解题中注意弦长公式以及点到线的距离，点到点的距离公式求解.21．已知函数，其中为自然对数的底数.(1)当时，求函数的极值；(2)用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数.【答案】(1)，,(2)答案见解析 【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，再依据单调性判断出极值点，最后求出极值点对应的函数值即为极值；（2）对和的范围进行分类讨论，分别判断出和的零点，从而得出的零点个数.【详解】（1）当时，，，由得：或；由得：列表：01+0 0+极大值极小值∴；；（2）由知：（i）当时，，故在上无零点.（ii）当时，，知：当时，，，是的零点；当时，，，不是的零点；（iii）当时，，故在的零点就是在的零点.由得：，设，则，在上单调递增，又∵，，∴当时，即在上无零点；当时，即在上有1个零点；当时，即在上无零点；综上所述：时，有2个零点；或时，有1个零点；时，无零点.【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．22．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴所在直线为轴，取同样的单位长度建立平面直角坐标系xoy，已知曲线的普通方程为.(1)写出曲线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；(2)设点，且曲线与曲线交于点两点，求的值.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）利用直角坐标与极坐标的互化即可求解；（2）设出曲线的参数方程，与曲线的直角坐标方程联立，利用参数的几何意义即可求解.【详解】（1）因为曲线的极坐标方程为可化为，即，将代入可得，的直角坐标方程为.又因为曲线的普通方程为可化为，将代入可得，的极坐标方程，所以曲线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程.（2）直线的参数方程为（为参数），将（为参数）代入得：.显然，设点在直线上对应的参数分别为，则，与的夹角为，.23．设函数，若关于的方程仅有两个不同的正实数根，.(1)求的取值范围；(2)求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）作出的图象，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题即可求解；（2）利用柯西不等式求解即可.【详解】（1）由得函数图像如图所示，∵，∴，（2）由图像可知：其图像关于对称，故∴，∴，当且仅当，即时等号成立.∴的最大值为.