2023届湖南省岳阳市平江县高三下学期5月教学质量监测（三）数学试题含答案

这是一份2023届湖南省岳阳市平江县高三下学期5月教学质量监测（三）数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。
  平江县2023 届高三教学质量监测（三）数　　学（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答选择题时，选出答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，则（      ）A． B．  C．( D．2．设复数满足，则复数的虚部是（    ）A． B． C． D．3．已知平面向量的夹角为，且，则（       ）A． B． C． D．4．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（  ）A． B． C． D．5．平江县教育局为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在最后一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（       ）A．18 B．24 C．36 D．606.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走到达B处，在B处测得山顶P的仰角为 γ .想在山高的处的山腰建立一个亭子，则此山腰高为（     ） 7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，， 二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（      ）A． B． C． D．8．已知函数，若有两个极值点，记过点，的直线的斜率为，若，则实数的取值范围为（  ）A． B． C． D．二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分。9．2022年11月28日，平江-益阳高速公路通车运营，湖南省交通运输厅统计了平益高速2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量（单位：万车次），并与2022年12月22日至12月28日比较，得到同比增长率（）数据，绘制了如下统计图，则下列结论正确的是（       ）A．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的极差为25B．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量的中位数为18C．2023年1月22日至1月28日的高速公路车流量比2022年12月22日至12月28日高速公路车流量大的有4天D．2022年12月25日的高速公路车流量小于20万车次10．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有（      ）A．平面         B．与所成的角为30° C．平面         D．平面截正方体的截面面积为11．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于A，B两点（其中A在B的左侧），记面积为S，则（       ）A． B．时，C．S的最大值为 D．当时，12．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（       ）A． B．数列单调递减C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为7 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13．已知的展开式中含项的系数为1024，则______.14.写出与圆和都相切的一条直线方程            .15．已知函数的部分图象如图，，则            16.若对任意，恒成立，则实数a的取值集合为____________. 四、解答题：本题共 6 小题，第17题10分，其余每小题 12 分，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知等比数列的前n项和为，其公比，，且.(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和. 18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝sinC﹣sin（A﹣B）．（1）求A；（2）设a＝2，当b+c的值最大时，求△ABC的面积． 19．如图，在三棱柱中，D为AC的中点，AB=BC=2，.(1)证明：；(2)若，且满足：三棱柱的体积为，二面角的大小为60°，求二面角的正弦值.    20．某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖.（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望.（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 21.已知点在双曲线的渐近线上，点在上，直线交于B,C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0.（1）求直线的斜率；（2）若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P,Q，求△MPQ的面积。  22.已知函数.(1)若在定义域内单调递增，求a的取值范围；(2)当时，若存在唯一零点，极值点为，证明：.
平江县 2023 届高三教学质量监测（三）数学参考答案1、【答案】B2、【答案】D，3、【答案】D、4、【答案】B5、【答案】C6、【答案】C7、【答案】B8.【答案】A9、【答案】BC10.【答案】ABD11【答案】ABD12【答案】AC13、故答案为：214.【答案】或中任何一个答案均可15【答案】.16.答案：17、【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则 ，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：18.【详解】（1）由正弦定理可得，⇒＝sin（A+B）﹣sin（A﹣B）＝2cosAsinB，因为sinB≠0，所以，即sin2A＝1，∵0＜2A＜2π，∴，A＝．（2）由题意及（1）得，在中， ，故外接圆直径。故其中 且故，而，故 的最大值为1，些时，故故，且故此时 19.【详解】（1）在三棱柱中，由题意可得，，，∴，又∵AD=DC，∴，同时在△ABC中，∵AB=BC，AD=DC，∴，∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴（2）∵且，∴平面ABC，∵平面ABC，∴，又∵，∴为二面角的平面角，即，，取BC的中点O，则，∴，又∵三棱柱的体积为，∴如图所示，建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，且，，则，令，则，，故，设平面的一个法向量为，且，，则，令，则b=0，，故，，故二面角的正弦值为.20、解：（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即，所以的所有可能取值为，则,,所以的分布列为012所以的数学期望.（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为，则，，所以的分布列为012 所以的数学期望为（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，即，第（1）不中奖的概率比第问小，即，回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.21、【答案】（1）6   （2）4【详解】（1）双曲线的渐近线方程为，代入点的，又点在双曲线上，即，联立解得，故双曲线的方程为。设点，，已知直线AB、AC的斜率一定存在，所以设直线AB的方程为，即，代入双曲线的方程得，所以，则，所以由直线AB与AC斜率之和为0，可设AC的方程为：同理可得所以，所以直线l的斜率为6.（2）设M点坐标为，过M作渐近线的平行线分别为，由（1）知，双曲线E的渐近线方程为，故可设的方程分别为，。联立解得所以同理可得又由，得，所以，又点M在双曲线E上，则，所以，即故△MPQ的面积为4.22.答案：(1)(2)见解析解析：(1)由题，，因为在定义域内单调递增，因此恒成立.当时，，不满足题意.当时，，满足题意.当时，即，得，设，则，注意到函数单调递减，且时，， 因此在时，单调递增，在时，单调递减，得，从而，得.综上，a的取值范围为.(2)，当时，单调递增，而，因此存在，使得，且时，单调递减，当时，单调递增，且，故存在，使得.要证明，只需证明，即证.由，得，因此只需证明，即证.先证明：.即证，即证，设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，故，即.接下来证明：.即证，设，则，设，则故单调递减，，从而单调递减，故，即.因此，即不等式成立，故.