2023届安徽省皖北县中联盟高三5月联考数学试题含解析

2023届安徽省皖北县中联盟高三5月联考数学试题

一、单选题

1．复数满足，则它的共轭复数的虚部为（    ）

A．-1 B．1 C． D．i

【答案】A

【分析】通过复数的乘、除法则计算出复数，进而得出的虚部.

【详解】，，则，所以的虚部为.

故选：A.

2．已知集合，，则集合（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，将集合化简，然后结合交集的运算即可得到结果.

【详解】由题知，且，

又，则或.

故选：B.

3．老师排练节目需要个男生和个女生，将这六名学生随机排成一排，个女生不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出名学生排成一列的排法，再利用插空法求出个女生不相邻的排法，最后根据古典概型的概率公式计算可得.

【详解】个男生和个女生随机排成一行，则名学生共有种排法，

若个女生不相邻，先排个男生有种排法，个男生产生个空，

将个女生插入个空中有种排法，故有种排法，

所以个女生不相邻的概率.

故选：A.

4．已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果.

【详解】∵，向量在向量上的投影向量是，

∴，

则，即，且，

则，

故选：C.

5．已知圆，从点出发的光线要想不被圆挡住直接到达点，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据条件，将问题转化成点落在过点且与圆相切的两直线“外”，再通过求出切线方程即可求出结果.

【详解】由题意知，从点出发的光线与圆相离时，光线不被挡住，

设过点与圆相切的直线方程为，即，

又圆，所以圆心到的距离，解得，故，令，，

所以或.

故选：B.

6．在正方体中，为正方形内（含边界）一动点，且满足，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先结合题目条件，找出线面角的平面角为，根据几何关系，求出，进而得出的正弦值的取值范围.

【详解】

因为，所以，M，B三点共线，连接，，，

因为平面，所以直线与平面所成角为，

其正弦值为，，

当时，，所以，

则，

所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是.

故答案为：D.

7．已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，求出新函数导数，根据题意可知新函数为单调递减函数，由此可知，即可判断出A、B选项；构造和可判断出C、D选项.

【详解】由题意：，

设，则，

由得，

因为，所以，

又、是定义域为的恒大于0的可导函数，

故，B错误，，A错误；

，

因为，不知道正负，所以C不一定成立；

，

即，D正确.

故选：D.

【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

8．已知实数m，n，t满足，，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】构造函数应用单调性可以判断A,B选项，特殊值法可以判断C,D选项.

【详解】令，，在上单调递减，时，，

∴，即，∴，∴，即，∴，排除AB.

时，，，，，

显然，，所以，选C，时可得相同结论，时取“”.

故选：C.

二、多选题

9．已知为上的奇函数，且在上单调递增，，则下列命题中一定正确的是（    ）

A． B．有3个零点

C． D．

【答案】AB

【分析】根据奇函数，结合单调性可以判断A,C,D选项，根据零点存在定理判断零点个数即可判断B选项.

【详解】由已知函数在上单调递增，在上也单调递增，，

由，得.

对于A，因为在上单调递增，所以，A正确；

对于B，在上单调递增，且，，故在上有且只有一个，使，

同理在上单调递增，且，，故在上有且只有一个，

使，又，所以有3个零点，B正确；

对于C，因为在上单调递增，，C错误；

对于D，，，易知与无法比较大小，D不一定正确.

故选：AB.

10．在中，，，，则下列结论错误的是（    ）

A．边上的中线长为2 B．为锐角三角形

C． D．的周长为12

【答案】BCD

【分析】先设边长，再根据余弦定理解三角形，结合勾股定理可以判断各个选项.

【详解】如图，在边AB上取一点D，使.

设，则，∴.

，解得，∴.

在中，，

∴，解得，∴，∴为直角三角形，B错误.

CD为斜边AB上的中线，所以A正确；，C错误；的周长为，D错误.

故选:BCD.

11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，直线与椭圆交于，两点，的角平分线与轴相交于点，与轴相交于点，则（    ）

A．四边形的周长为16 B．直线，的斜率之积为

C．的最小值为 D．当时，点的纵坐标为

【答案】ABD

【分析】由椭圆定义即可判断A，分别表示出，结合点在椭圆上，满足椭圆方程，即可判断B，由基本不等式即可判断C，由条件结合椭圆的第二定义即可判断D.

【详解】对于A，由椭圆的定义知，四边形的周长为，A正确；

对于B，设，则，又，所以.

因为点在椭圆上，所以，即，

所以，B正确；

对于C，，当且仅当，时等号成立，故C错误；

对于D，设，则，，

所以，，

在椭圆中，由其第二定义（指的是椭圆上的点到相应的准线的距离）得，

∴，所以，故，，，

因为三点共线，所以，故D正确.

故选：ABD.

12．勒洛三角形也被称为定宽曲线，勒洛三角形的立体版就是如图所示的立体图形，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，它是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分组成的，因此它能像球一样来回滚动.这种立体图形称为勒洛四面体，若图中勒洛四面体的四个顶点分别为P、A、B、C，任意两个顶点之间的距离为1，则下列说法正确的是（    ）

A．图中所示勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为1

B．图中所示勒洛四面体的内切球的表面积为

C．平面截此勒洛四面体所得截面的面积为

D．图中所示的勒洛四面体的体积是

【答案】AB

【分析】根据表面上任意两点间距离的最大值即为其内接四面体的棱长1，可判定A正确；根据点E为该球与勒洛四面体的一个切点，由A，O，E三点共线，求得，求得内切球的表面积，可判定B正确；由截面形状为三个半径为1，圆心角为60°的扇形面积减去两个边长为1的正三角形的面积可判定C错误；求得正四面体的体积，其外接球的体积，可判定D错误.

【详解】对于A中，勒洛四面体能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，

所以其表面上任意两点间距离的最大值，即为其内接四面体的棱长1，所以A正确；

对于B中，勒洛四面体的内切球与勒洛四面体的弧面相切，如图所示，

其中点E为该球与勒洛四面体的一个切点，O为该球的球心，

则该球的球心O为正四面体的中心，半径为OE，连接AE，

由A，O，E三点共线，且，，

因此，内切球的表面积为，故B正确；

对于C中，如图所示，截面形状为三个半径为1，圆心角为60°的扇形面积减去两个边长为1的正三角形的面积，则，所以C错误；

对于D中，勒洛四面体的体积介于正四面体的体积和正四面体的外接球的体积之间，正四面体的体积，其外接球的体积，所以D错误.

故选：AB.

三、填空题

13．小明统计了最近一段时间某超市冷饮的销售量，根据统计发现近似服从正态分布，且，已知该超市冷饮的销售量在区间内的有80天，则可以估计小明一共统计了______天.

【答案】100

【分析】根据正态曲线的对称性求相应的概率，进而可得结果.

【详解】因为近似服从正态分布，

故，

所以，

又因为该超市冷饮的销售量在区间内的有80天，

所以估计小明一共统计的天数为（天）.

故答案为：100.

14．已知平面直角坐标系中，曲线上的点到定直线的距离与到定点的距离相等，为曲线上一点，过点作，垂足为.若，则______.

【答案】

【分析】根据抛物线定义求出曲线方程，根据题中几何关系得到是等边三角形，再根据几何关系求出边长，继而得到点P的坐标，最后得出答案.

【详解】由题意曲线为抛物线，不妨设点在第二象限，

由抛物线定义可得，又，所以是等边三角形.

所以，则，则，，

则.

故答案为：.

15．数学课上，老师出了一道智力游戏题.如图所示，平面直角坐标系中有一个3乘3方格图（小正方形边长为1），一共有十六个红色的格点，游戏规则是每一步可以改变其中一个点的颜色（只能由红变绿或绿变红），如将其中任何一个点由红色改成绿色，则这个点周围与之相邻的点也要从原来的颜色变成另外一种颜色，比如选择变成绿色，则与之相邻的，，，四个点也要变成绿色，那么最少需要______步，才能使得位于直线上的四个点变成绿色，而其他点都是红色.

【答案】4

【分析】先确定点的颜色，再根据题意分步求解即得结果.

【详解】由题意可知，需要使，，，变成绿色，其他点都是红色，

第一步：变成绿色，则，也变成绿色；

第二步：变成绿色，则，变成红色，，变成绿色；

第三步：变成绿色，则，变成红色，，变成绿色；

第四步：变成绿色，则，变成红色.

故答案为：4.

16．已知数列满足，令，数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为______.

【答案】

【分析】求出数列的通项公式，进而得出数列的通项公式和前项和，通过恒成立即可得出实数的取值范围.

【详解】由题意，，

在数列中，，

∴时，，

两式相减可得：，

化为.

时，，满足上式，

故，，故

，

∵对任意的恒成立，

∴，即，解得，

即，

故答案为：.

四、解答题

17．已知函数为奇函数，且其图象相邻两对称轴间的距离为.

(1)求和；

(2)当时，记方程的根为，，，求的范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换得，再利用相邻对称轴的距离求出，根据其为奇函数，利用即可求出；

（2）由（1）得，利用整体换元法和三角函数图象知，再根据三角函数的对称性和周期性得，，最后即可得其范围.

【详解】（1）

，

因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得.

又因为函数为奇函数，

所以，则，，解得.

由得.

此时，易知其为奇函数.

（2）由（1）知，，即.

因为，可得，

结合正弦函数图象知，，即.

且，，

则，，

故.

18．已知数列中，，且.

(1)求证：数列是等差数列；

(2)记数列，求数列的前项和.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；

（2）根据（1）的结论及等差数列的通项公式，利用裂项相消法即可求数列的前项和.

【详解】（1）∵，

∴，即，

∴，.

∴是首项为2，公差为1的等差数列.

（2）由（1）知，是首项为2，公差为1的等差数列，

所以，

所以，，

所以，

.

19．如图所示的圆锥中，为顶点，在底面圆周上取A、B、C三点，使得，，在母线上取一点，过作一个平行于底面的平面，分别交、于点、，且，.

(1)求证：平面平面；

(2)已知三棱锥的体积为2，求平面与平面夹角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据面面垂直判定定理证明即得；

（2）根据体积求得边长，再应用空间向量法求面面角余弦，根据同角三角函数关系最后求正切即可.

【详解】（1）由题意可知为一个三棱锥，且，

因为，，所以D、E、F分别为PA、PB、PC的中点，且.

取AB的中点M，连接PM、CM，则.

因为，，，

所以，所以.

∴，则，故，

即.

因为，，，平面，

所以平面.

又平面，故平面平面.

（2）因为，所以.

而，

所以，解得.

以C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为x轴，y轴，过点C且垂直于平面的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.

设为平面的一个法向量，

因为，所以，

不妨设，则平面的一个法向量.

同理设为平面的一个法向量，

因为，所以，

不妨设，可求得平面的一个法向量.

所以，

所以平面与平面夹角的正切值为.

20．某公司对新生产出来的300辆新能源汽车进行质量检测，每辆汽车要由甲、乙、丙三名质检员各进行一次质量检测，三名质检员中有两名或两名以上检测不合格的将被列为不合格汽车，有且只有一名质检员检测不合格的汽车需要重新由甲、乙两人各进行一次质量检测，重新检测后，如果甲、乙两名质检员中还有一人或两人检测不合格，也会被列为不合格汽车.假设甲、乙、丙三名质检员的检测相互独立，每一次检测不合格的概率为.

(1)求每辆汽车被列为不合格汽车的概率；

(2)公司对本次质量检测的预算支出是4万元，每辆汽车不需要重新检测的费用为60元，需要重新检测的前后两轮检测的总费用为100元，所有汽车除检测费用外，其他费用估算为1万元，若300辆汽车全部参与质量检测，实际费用是否会超出预算?

【答案】(1)

(2)不会

【分析】（1）汽车被检测出不合格有两种情况，第一种为第一轮被检测出不合格，第二种为第一轮被一人检测出不合格，第二轮再被其他两人中一个或多个检测出不合格，分别写出两种情况的概率相加即可；

（2）先计算出检测费用的数学期望值，数学期望值与概率构成函根据函数单调性得出得出期望值的最大值，即可判断出结果.

【详解】（1）由题意知，每辆汽车第一轮质量检测被列为不合格汽车的概率为，

每辆汽车重新检测被列为不合格汽车的概率为，

综上可知，每辆汽车被列为不合格汽车的概率为

.

（2）设每辆汽车质量检测的费用为元，则的可能取值为60，100，

由题意知，，

所以随机变量的数学期望为

（元），，

令，，

则，

所以当时，；当时，；

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，即（元）.

所以此方案的最高费用为（万元），

综上可知，实际费用估计不会超过预算.

21．已知函数，.

(1)若的图象在处的切线与直线垂直，求的值及切线方程；

(2)若，函数在其定义域上存在零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）由切线与直线垂直可得到切线的斜率为3，再由切线的几何意义即可求的值及切线方程.

（2）观察的表达式可令求得函数只有唯一零点为，问题可转化为方程在上有解，分参即可求解.

【详解】（1）解：（1），，

∵的图象在处的切线与直线垂直，

∴，解得，

∴，∴，

故所求切线方程为，即.

（2）（2）由，，可知其定义域为，令，则.

又，所以.

令，即可转化为有解.

设，则由可得，可得

则在上单调递减，在上单调递增.

又，所以有唯一的零点.

若在区间上存在零点，

则在上有解，整理得.

设，

由得，由得

所以在上单调递减，在上单调递增，

又当时，，则，

所以，得，

故实数的取值范围是.

22．双曲线的左、右焦点分别为、，焦距为4，虚轴长为2.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)直线与双曲线C的右支交于M、N两点，M位于第一象限，M关于原点O的对称点为Q.设的角平分线为，且，垂足为，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，由条件可得，从而可得其标准方程；

（2）根据题意，设，由为的角平分线可得之间的关系，设直线的方程为，从而表示出的坐标，再结合弦长公式即可得到结果.

从而表示出

【详解】（1）因为虚轴长为2，即，所以.

焦距为4，所以，，

所以双曲线的标准方程为.

（2）

如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设，则.

易知直线的斜率存在，设直线的斜率为k，

记，又为的平分线，则.

因为，，

所以，

同理，

又，

代入，得，

化简得.

又，，所以，

将代入，，得，，

所以，，.

设直线的方程为，

将代入得，

所以直线的方程为，，

由点到直线的距离公式得

，

又直线MN的斜率为，设直线MN的方程为，

将代入得，

所以直线的方程为，

将其与联立得.

设，则，.

由得，

.

故，

当且仅当，即时，等号成立，

所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为.

【点睛】解答本题的关键在于表示出点的坐标，再结合点到直线的距离公式与弦长公式表示出，即可得到结果.