2022-2023学年河南省南阳市内乡县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市内乡县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  分式与的最简公分母是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知点与关于轴成轴对称，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  成人每天维生素的摄入量约为克．数据“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在▱中，，于点，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  解分式方程，去分母得(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，▱的对角线与相交于点，，若，，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  在一个长分米、宽分米、高分米的长方体容器中，水面高分米．把一个实心铁块缓慢浸入这个容器的水中，能够表示铁块浸入水中的体积单位：分米与水面上升高度单位：分米之间关系的图象的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，如表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，错误的的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  若分式的值为零，则的值为______ ．

12.  若关于的分式方程有正整数解，则整数 ______ ．

13.  已知是的函数，且当时，随的增大而减小则这个函数的表达式可以是            写出一个符合题意的答案即可

14.  如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点与点在同一个反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，那么矩形的面积等于______．

15.  如图，正方形在第一象限内，点、坐标分别为，，若直线把正方形分成面积相等的两部分，则的值是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）

16.  已知：一次函数图象如图：
求一次函数的解析式；
若点为该一次函数图象上一动点，且点为该函数图象与轴的交点，若，求点的坐标．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
化简：

18.  本小题分
解下列方程：
；
．

19.  本小题分
年冬奥会吉祥物冰墩墩一夜之间火遍全球，各种冰墩墩的玩偶，挂件，灯饰等应运而生某学校决定购买，两种型号的冰墩墩饰品作为纪念品，已知种比种每件多元，预算资金为元；其中元购买种商品，其余资金购买种商品，且购买种的数量是种的倍求，两种饰品的单价；

20.  本小题分
如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点．
求证：；
若，求的度数．

21.  本小题分
如图所示，在，两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．图是客车、货车离站路程，千米与行驶时间小时之间的函数关系图象．

填空：，两地相距______米；
求两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式；
客、货两车何时相遇？

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与函数的图象交于，两点，且点的坐标为．
求和的值；
已知点，过点作平行于轴的直线，交直线于点，交函数的图象于点．
当时，求线段的长；
若，结合函数的图象，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
某文具商店销售功能相同的、两种品牌的计算器，购买个品牌和个品牌的计算器共需元；购买个品牌和个品牌的计算器共需元．
求这两种品牌计算器的单价；
学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：品牌计算器按原价的八折销售，品牌计算器个以上超出部分按原价的七折销售，设购买个品牌的计算器需要元，购买个品牌的计算器需要元，分别求出、关于的函数关系式；
小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在分式与中，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积即最简公分母为：，
故选：．
取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．当各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．
本题考查最简公分母，需要掌握最简公分母的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：点与关于轴成轴对称，
，，
．
故选：．
直接利用关于轴对称的点的坐标特点得出，的值，即可得出答案．
本题主要考查了关于轴对称的点的坐标特点，关于轴对称的点的坐标特点是：横坐标相同，纵坐标互为相反数，正确得出对应点横纵坐标的关系是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，表示形式为为正整数，关键是掌握等于原数第一个非零数字前所有零的个数，包括小数点前面的这个零．根据用科学记数法表示绝对值较小的数的方法进行解答即可．
【解答】
解：．
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质得出，由直角三角形的性质可求出答案．
此题主要考查了是平行四边形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了解分式方程的去分母步骤．
分式方程变形后，两边乘以最简公分母得到结果，即可作出判断．
【解答】
解：分式方程整理得：，
去分母得：，
故选A．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
【解答】
解：点、、在反比例函数的图象上，
，，，
又，

故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：▱的对角线与相交于点，
，，
，，，
，
，
，
故选：．
利用平行四边形的性质和勾股定理易求的长，进而可求出的长．
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，
即不等式的解集为．
故选：．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

9.【答案】 

【解析】解：把一个实心铁块缓慢浸入这个容器的水中，铁块浸入水中的体积随水面上升高度增大而增大，即是的正比例函数．
自变量的取值范围是．
故选：．
依题意，铁块浸入水中的体积随水面上升高度增大而增大，则两者之间是正比例函数．
本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析随的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
 

10.【答案】 

【解析】解：设过点和点的函数解析式为，
则，
解得，
即，
当时，，
当时，，
由上可得，点不在该函数图象上，与题目中有一个的值记录错误相符合，
故选：．
不妨设过点和点的函数解析式为，然后求出函数解析式，再将和代入求出相应的函数解析式，看是否符合题意，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
 

11.【答案】 

【解析】解：由意义得，且，
解得，
故答案为：．
分式的分子为零且分母不为零时分式的值为零，据此解答．
此题考查了分式值为零的条件：分子为零，且分母不为零，熟记值为零的特点是解题的关键．
 

12.【答案】或 

【解析】解：分式方程去分母得，
整理得，
解得，
分式方程有正整数解，且，
整数或．
故答案为：或．
解分式方程，可得出，结合分式方程有正整数解，且，可得出整数或．
本题考查了分式方程的解，牢记“求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于的未知数的值，这个值叫方程的解”是解题的关键．
 

13.【答案】，答案不唯一 

【解析】解：只要使反比例系数大于即可．如，答案不唯一．
故答案为：，答案不唯一．
反比例函数的图象在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小，则反比例函数的反比例系数；反之，只要，则反比例函数在每个象限内，函数值随自变量的增大而减小．
本题主要考查了反比例函数的性质：时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内随的增大而减小；时，函数图象在第二，四象限，在每个象限内随的增大而增大．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查反比例函数系数的几何意义，反比例函数的图象和性质，矩形的性质的有关知识，关键是根据点的坐标可得出的值．根据点的坐标可得出的值，进而得出矩形的面积．
【解答】
解：设点在反比例函数的图象上，可得：，
解得：，
因为第一象限内的点与点在同一个反比例函数的图象上，
所以矩形的面积等于，
故答案为．  

15.【答案】 

【解析】解：连接，交于点．

，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
当直线经过点时，
，
，
故答案为：．
连接，交于点求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值．
本题考查中心对称，一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是求出点的坐标，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：设一次函数解析式为，
把、分别代入得，解得，
所以一次函数解析式为；
当时，，解得，则，
设，
因为，
所以，解得或，
所以点坐标为或． 

【解析】利用待定系数法求一次函数解析式；
先计算出函数值为所对应的自变量的值得到点坐标，设，根据三角形面积公式得到，然后解绝对值方程求出即可得到点坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设；将自变量的值及与它对应的函数值的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先算立方根、零指数幂、负整数指数幂，再算加减；
先通分，把除化为乘，再分解因式约分．
本题考查实数运算和分式化简，解题的关键是掌握实数运算、分式运算的相关法则．
 

18.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

19.【答案】解：设种饰品的单价为元，则种饰品的单价为元，
根据题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，元，
答：种饰品的单价为元，种饰品的单价为元． 

【解析】解设种饰品的单价为元，则种饰品的单价为元，然后根据预算资金为元；其中元购买种商品，其余资金购买种商品，且购买种的数量是种的倍列出方程求解即可．
本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
；
解：平分，

，
，
，，
，
，
．
四边形是平行四边形，
，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，则，再由角平分线定义得，则，即可得出结论；
证，再由，，得，则，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．
 

21.【答案】解：千；
由图可知货车的速度为千米小时，
货车到达地一共需要小时，
设两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式，
，得，
即两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式；
设客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式是，
，得，
，
由，得
，
解得，
答：客、货两车经过小时相遇． 

【解析】

解：由图象可得，
，两地相距：千米，
故答案为：千；
见答案；
见答案．
【分析】
根据函数图象和题意可以直接得到、两地的距离；
根据题意和函数图象中的数据可以求得两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式；
根据函数图象可以求得客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式，然后令，即可解答本题．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，求出相应的函数解析式，利用函数的思想和数形结合的思想解答．  

22.【答案】解：在直线的图象上，
，
点的坐标为，
在函数的图象上，
；
将代入，得：，
点坐标为，
将代入，得：，
点坐标为，
；
如图，

直线与反比例函数的图象交于，两点，
点坐标为，点坐标为，
由图象可知，当或时，． 

【解析】先把点坐标代入一次函数解析式求出的值进而求出的坐标，再把的坐标代入反比例函数解析式求出的值即可；
将点坐标分别代入直线解析式和反比例函数解析式，可求出点，点的坐标，即可求出的长；根据图象法即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．
 

23.【答案】解：设、两种品牌的计算器的单价分别为元、元，
根据题意得，，解得：，
答：种品牌计算器元个，种品牌计算器元个；
品牌：；
品牌：当时，，
当时，，
综上所述：
，
；

当时，，解得，即购买个计算器时，两种品牌都一样；
当时，，解得，即购买超过个计算器时，品牌更合算；
当时，，解得，即购买不足个计算器时，品牌更合算． 

【解析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，读懂题目信息，理清题中等量关系是解题的关键，品牌计算器难点在于要分情况讨论，先求出购买计算器相同时的个数是解题的关键．
设、两种品牌的计算器的单价分别为元、元，然后根据元，元列出二元一次方程组，求解即可；
品牌，根据八折销售列出关系式即可，品牌分不超过个，按照原价销售和超过个两种情况列出关系式整理即可；
先求出购买两种品牌计算器相同的情况，然后讨论求解．