浙江省宁波市名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学(含答案)

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这是一份浙江省宁波市名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波市名校2022-2023学年高一下学期期中联考数学学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题1、已知向量，，若，则等于( )A.2 B.-3 C.3 D.-22、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则( )A.1 B. C.2 D.3、设，是两个非零向量，则“”是“”成立的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4、若直线l不平行于平面，则下列结论成立的是( )A.内的所有直线都与l异面 B.内不存在与l平行的直线C.内的所有直线都与l相交 D.直线l与平面有公共点5、如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若则等于( )A. B.1 C. D.6、在中，，，以AB所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成一个几何体，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.7、已知中，D是BC的中点，且，，则向量在上的投影向量为( )A. B. C. D.8、如图，已知长方体，，，E、F分别是棱、AD的中点，点P为底面四边形ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为( )A. B. C. D.二、多项选择题9、下列命题是真命题的是( )A.平行于同一直线的两条直线平行B.平行于同一平面的两条直线平行C.平行于同一直线的两个平面平行D.平行于同一平面的两个平面平行10、在平面直角坐标系中，已知点，，，则( )A.B.是直角三角形C.以OA，OB为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为D.与垂直的单位向量的坐标为或11、如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，G，H分别在线段DC，DA上，且满足，，，，则下列说法正确的是( )A.当时，四边形EFGH是矩形B.当时，四边形EFGH是梯形C.当时，四边形EFGH是空间四边形D.当时，直线EH，FG，BD相交于一点12、在中，，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有( )A. B.C.的最小值为 D.的取值范围为三、填空题13、《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了：已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.即有满足，，，且的面积__________.14、长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，则该球的表面积是__________.15、如图，一座垂直建于地面的信号发射塔CD的高度为，地面上一人在A点观察该信号塔顶部，仰角为，沿直线步行后在B点观察塔顶，仰角为，若，此人的身高忽略不计，则他的步行速度为__________.16、在锐角中，，，则的取值范围为________.四、解答题17、已知向量，，.（1）求的值；（2）求与的夹角的余弦值.18、已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且.（1）求角A；（2）若，，求的面积.19、如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.（1）求证：；（2）在线段CD上是否存在一点P，使得平面平面BCF，若存在，指出P的具体位置并证明；若不存在，说明理由.20、如图，直角梯形ABCD中，，，，，.且，.（1）若G是MN的中点，证明：A，G，C三点共线；（2）若P为CB边上的动点（包括端点），求的最小值.21、如图，在棱长为2的正方体中，P，Q分别是棱，AB的中点.（1）若M为棱上靠近C点的四等分点，求证：平面PQC；（2）若平面PQC与直线交于R点，求平面PRQC将正方体分割成的上、下两部分的体积之比.（不必说明画法与理由）.22、在①，②，③，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在锐角中，的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且选条件：________.（1）求角A的大小：（2）作（A，D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC满足，，求AC的最大值.
参考答案1、答案：C解析：向量，因为, 所以，解得. 故选 : C.2、答案：D解析：由正弦定理得,故选：D.3、答案：B解析：4、答案：D解析：根据题意, 直线l 不平行于平面, 则直线 l 与相交或直线l在平面内,则直线 l 与平面必然有公共点.故选: D.5、答案：A解析：由题意知，因为所以，，6、答案：B解析：过点C 作AB 的垂线交AB 于点D,由已知得该几何体为以CD 为底面半径, 以BD 为高的圆锥挖去一个以 CD为底面半径, 以 AD为高的圆锥,，所以,所以该几何体的体积为7、答案：A解析：,则两边同时平方可得, , 即,D是BC的中点,令则，, 即,向量在上的投影向量为故选: A.8、答案：C解析：9、答案：AD解析：根据题意, 依次分析选项：对于A, 由平行公理, 平行于同一直线的两条直线平行, A正确;对于B, 平行于同一平面的两条直线相交、平行或异面, B错误;对于C, 平行于同一直线的两个平面相交或平行, C错误;对于D, 平行于同一平面的两个平面平行, D正确.故选：AD.10、答案：ABD解析：11、答案：BC解析：根据题意, 连接AC, 依次分析选项：对于A, 当时, H、G 是AD 和CD 的中点, 则有且,又由E, F 分别是边AB,BC 的中点, 则且,则有且, 四边形EFGH 是平行四边形, 但不一定是矩形, A错误;对于B, 当时, 由平行线等分线段定理可得且,又由且, 则有但,则四边形EFGH是梯形, B正确;对于C, 当时, 易得GH与AC不平行, 进而有GH 与EF不平行,则四点E、F、G、H不共面, 故四边形EFGH是空间四边形, C正确; 对于D, 由C的结论, 当时, 四点E、F、 G、H不共面, EH和FG不相交, D错误. 故选: BC.12、答案：AC解析：对于选项A, 由正弦定理及 , 知,所以, 即,所以或, 即或 (舍),所以, 即选项A正确;对于选项B, 由, 得,由余弦定理得,., 整理得, 即选项B 错误;对于选项C, , 当且仅当 , 即时, 等号成立,所以的最小值为, 即选项C正确;对于选项D, 因为, 所以,又, 所以, 解得,所以，即选项D错误.故选: AC.13、答案：解析：14、答案：解析：长方体所有顶点都在一个球面上, 长、宽、高分别是3，2， 1,长方体的外接球的直径为:, 外接球的半径为,这个球面的表面积为：.故答案为:.15、答案：解析：依题意, 在中, ，, 则,在中, ，, 则,在中, , 由余弦定理得:,即, 解得,即有, 所以他的步行速度为.故答案为:.16、答案：解析：因为是锐角三角形, 且,所以，,又, 所以, 由正弦定理有所以，，所以因为, 所以, 所以.故答案为:.17、答案： (1)(2)解析: (1)(2)令与的夹角为, 即 18、答案： (1)(2)解析: (1)因为, 所以即: 因为, 所以, 即: 又因为, 所以 ,(2)由余弦定理可得: 代入可得关于c 的方程:, 解得: 或 (舍) 由三角形面积公式 19、答案： (1)见解析(2)见解析解析: (1)证明: 连接BD, 由四边形ABCD 为平行四边形可知, 连接BD 必与AC 相交于中点G, 所以G 是DB 中点又因为H 是线段DF 的中点, 故.(2) 当P 为线段CD 中点时, 有平面平面BCF,证明: 平面 BCF,平面 ABC,平面 ABC又因为点P,G 分别为CD,BD 中点可得: 平面 BCF,平面BCF, 平面BCF,且, 故平面平面BCF.20、答案： (1) A,G,C 三点共线(2) 解析：(1) 以 A为原点, AB 为x 轴建立直角坐标系可得:，，，,，，所以, ，因为, 所以由于，有公共点A, 所以A,G,C 三点共线.(2)设，，因为所以即当时, 的最小值是.21、答案： (1)见解析(2)解析：(1)证明: 取PC 的中点N,DC 的中点G, 连接NG,NM,NQ. 易知, 且, 所以四边形MNGC 为平行四边形, 即, 且, 又因为, 且, 所以, 且, 所以四边形MNQB 为平行四边形, 所以, 又因为平面 PQC,平面PQC, 所以平面PQC.(2) 如图所示, 延长 CQ和DA, 使其交于 E点, 连接PE, 交于R. 因为 Q为 AB的中点, , 所以A 为 ED的中点, 又,所以, 所以 ,所以 22、答案： (1)(2)解析：(1) 选①由题意得: 即所以, 又因为, 所以, 因为, 所以选②由题意得: 即所以因为, 所以选③由题意得: 所以, 即, 因为, 所以(2)如图, 设, 则，, 在中, 由正弦定理得, 可得. 在中, 由正弦定理得, 可得因为是锐角三角形,所以得到因为是锐角三角形, 所以得到, 所以可得,当时, 即时, 可得: AC的最大值是.