江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二下学期教学质量调研(二)数学试题及答案

江苏省南通市如皋市2022-2023学年高二下学期教学质量调研(二)

数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合，，若，则实数的值可能为（    ）

A.- B. C.0 D.2

2.已知幂函数，下列能成为“是上奇函数”充分条件的是（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

3.函数的零点个数为（    ）

A.1 B.3 C.5 D.7

4.云计算是一种全新的网络应用概念，其核心概念是以互联网为中心，在网站上提供快速且安全的云计算服务与数据存储.近年来，我国云计算市场规模持续增长.某科技公司云计算市场规模与年份代码的关系可以用模型拟合，设，2018年至2022年数据统计表如下：

若根据上表得到回归方程，则该科技公司2025年云计算市场规模约为（    ）

A. B. C. D.

5.若，，，则下列关系正确的是（    ）

A. B. C. D.

6.已知函数，存在最小值，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

7.已知当时，.根据以上信息，若对任意，有，则（    ）

A. B. C. D.

8.已知函数，，（其中为自然对数的底数）.若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.

9.若函数的单调递增区间为，则可能是（    ）

A. B.

C.  D.

10.某同学在高二年级所有检测中语文和数学成绩均服从正态分布，记语文成绩为，数学成绩为，且，，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C. D.

11.若展开式中二项式系数和为64，下列结论正确的是（    ）

A.  B.展开式中第3项为

C.展开式中常数项为60 D.展开式中各项系数之和为729

12.在长方体中，，，为棱上任意一点，则下列结论正确的是（    ）

A.长方体表面积的最大值为6

B.长方体外接球表面积的最小值为

C.到平面的距离的最大值为

D.三棱锥体积的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13.已知，则的值为______.

14.如图，直三棱柱所有棱长均为2，M为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.

15.某同学连续两天在学校信息图文中心2楼和3楼进行拓展阅读，第一天等可能地从信息图文中心2楼和3楼中选择一层楼进行阅读.如果第一天去2楼的条件下第二天还在2楼阅读的概率为0.7；第一天去3楼的条件下第二天去2楼阅读的概率为0.8，该同学第二天去3楼阅读的概率为______.

16.已知定义在上的函数满足，且为偶函数，则______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题10分）

已知函数（，且）.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若，当时，求的值域.

18.（本小题12分）

如图，三棱锥中，平面，线段的中点为，，且.

（1）证明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值.

19.（本小题12分）

一盒子中放有8个大小相同的小球，其中4个红球，4个白球.现从中抽取两次，一次抽取两个球，若第一次抽出后不放回.

（1）求第一次抽到两个红球的条件下，第二次抽到两个白球的概率；

（2）若一次抽出的两个球同色即中奖，求中奖次数的概率分布和数学期望.

20.（本小题12分）

已知函数，其中.

（1）当时，求函数的极小值；

（2）若在处的切线与图像也相切，求实数的值.

21.（本小题12分）

直播带货业务是当前行业电商的主要业务构成之一.某公司通过抖音，快手，淘宝等直播平台与网红，明星等进行带货合作，甲公司和乙公司所售商品存在竞争关系，两公司在某购物平台上同时开启直播带货促销活动.

（1）现对某时段21-40岁年龄段100名用户观看直播后选择甲公司和乙公司所售商品选购情况进行调查，统计数据如下表：

请完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户年㱓有关?

（2）五一期间，甲公司购物平台直播间进行“抢购”活动，假设直播间每人下单的概率均为，直播间每人下单成功与否互不影响.若从直播间随机抽取5人，记5人中恰有3人下单成功的概率为，求的最大值，并求出取得最大值时的值.

参考公式：，其中.

临界值表：

22.（本小题12分）

已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性，并说明理由；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

1.C  2.D  3.B  4.B  5.A  6.A  7.B  8.C  9.BD  10.ACD  11.AD  12.AD

13.  14.  15.  16.0

17.解：(1)为奇函数．

因为，

所以，

所以的定义域为． ………………………………………………………………2分

因为，

所以为奇函数． …………………………………………………………………………4分

(2)因为，

所以，

所以，

所以． ……………………6分

法一：因为，

所以，所以，  ………………………………………………8分

法二：因为在上单调递减，所以， …………………8分

所以，

所以的值域为．  ………………………………………………………………10分

18.法一：(1)证明：在中，，线段的中点为，

所以． ………………………………………………………………………………1分

因为平面，平面，

所以．…………………………………………………………………………………3分

因为平面，平面，，

所以平面． ………………………………………………………………………5分

(2)在中，过点作，垂足为，连接，则

因为平面，平面，

所以．

因为，平面，平面，，

所以平面．

因为平面，

所以．

因为，平面，平面，，

所以平面，所以，

所以为二面角的平面角．…………………………………………………8分

在中，，，

所以，．…9分

同理，在中，，…………………………………………………………10分

所以．

所以二面角的余弦值． ………………………………………………………12分

法二：如图，以为基底建立空间直角坐标系．

因为，，线段的中点为，

所以，…………………………………1分

所以．…………2分

设平面的一个法向量为，则

解得．

令，则，所以． …………………4分

同理，平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为．

(1)因为，

所以，

所以平面． ………………………………………………………………………8分

(2)设二面角的平面角为，则为锐角．

，

所以二面角的余弦值． ………………………………………………………12分

19.解：(1)记“取到两个红球”为事件A，“取到两个白球”为事件B，则

，

所以第一次抽到两个红球的条件下，第二次抽到两个白球的概率为．…………………5分

（用缩小样本空间求解不扣分）

（2）的可能值为0，1，2．

．

．

．

所以的概率分布为

………………………………………………………………………………10分

所以． ……………………………………………………12分

20.解：(1)当时，，

所以，令，

解得．

列表如下：

所以函数的极小值为．……………………………………………………………6分

(2)因为，

所以，

所以． …………………………………………………………………………7分

因为，

所以在处的切线方程为． ………………………………………9分

法一：因为与图像相切，

所以有两个相等的实根，

所以，……………………………………………………………………10分

解得．

所以实数的值为． ……………………………………………………………………12分

法二：设切点坐标为，则切线方程为， …………………………10分

所以，解得解得．

所以实数的值为． ……………………………………………………………………12分

21.解：(1)

 ……………………………………………………………………………2分

提出假设：选择哪家直播间购物与用户年龄无关．

因为，

所以

， …………………………………………………4分

所以有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户年龄有关．  ………………………6分

(2)设5人中下单成功的人数为，

因为直播间每人下单成功与否互不影响，

所以，

所以．  …………………………………8分

所以，令，

解得．……………………………………………………………………………………10分

列表如下：

所以当时，取得极大值，即最大值． …………………………………12分

解． ………………………………………………………………12分