2022-2023学年湖北省襄阳市南漳县七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省襄阳市南漳县七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  定义一种法则“”：，如：若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，两条平行线，被第三条直线所截若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列命题中，真命题是(    )

A. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 直线外一点到这条直线的垂线段叫点到直线的距离
C. 两点的所有连线中，线段最短
D. 两直线平行，同旁内角相等

4.  若关于的不等式组最多有个整数解，且关于的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数的和为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  将一副三角板按如图放置，其中，，，有下列结论：
若，则；
；
若，则；
若，则．
其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知点的坐标为，过点的直线轴，点在直线上，且，则点的坐标为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

7.  能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  已知关于，的方程组给出下列结论：
当时，方程组的解也是的解；
无论取何值，，的值不可能是互为相反数；
，都为自然数的解有对；
若，则．
正确的有几个(    )

A.  B.  C.  D.

9.  方程的实数解的个数为(    )

A.  B.  C.  D. 大于

10.  北京市体育中考现场考试共有三个项目，分为耐力、素质和球类三项，其中耐力为男子米跑，女子米跑所有同学都要参加，此外，参加考试的同学需在素质和球类项目中分别选择一项参加考试．
选项规则如表所示：
表：北京市体育中考现场考试选项规则

小宇对初三班名同学的体育选项情况进行了统计，并根据其中部分信息给制了表
表：初三班体育中考选项情况统计表

以下有四个推断
一定有女生选择了实心球
一定有男生同时选择引体向上和足球绕杆
至少有一名女生同时选择仰卧起坐和篮球绕杆
男生中同时选择实心球和篮球绕杆的至多有人
所有合理推断的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  已知，则 ______ ．

12.  如图，，，，分别是，的平分线，于下列结论：；；；平分；其中正确结论是______ ．

13.  如图，将三角形沿方向平移到三角形，若，间的距离为，，则 ______ ．

14.  在平面直角坐标系中，点到轴距离为        ，到坐标原点距离为        ．

15.  的平方根是        的算术平方根是        的立方根是        ．

三、解答题（本大题共8小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
如图，，平分，，求和的度数．

17.  本小题分
某商店销售、两种商品，种商品的销售单价比种商品的销售单价少元，件种商品和件种商品的销售总额为元．
求种商品和种商品的销售单价分别为多少元？
某公司计划从这个商店购进、两种商品共件，且、两种商品的进价总额不超过元，那么该公司至少购进商品多少件？

18.  本小题分
解不等式组：，并写出它的正整数解．

19.  本小题分
解不等式组：．

20.  本小题分
已知，是上一点，平分．
如图，当在两条直线之间，若，，求的大小；
如图，当在两条直线之间，若，，且为锐角，用含有、的式子表示，并证明结论；
如图，当在最右侧，，，且为锐角，直接用含、的式子表示，不用证明．

21.  本小题分
请把下面证明过程补充完整．
如图，已知于点，点在的延长线上，于点，交于点，．
求证：平分．
证明：，，
______ ______
______
______ ，______
已知，
______ ______
平分______

22.  本小题分
随着人们“节能环保、绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行和运动，这也给自行车商家带来商机某自行车行月份销售品牌和品牌两款运动型自行车共辆，已知型车销售单价比型车销售单价高，型车销售总额为万元，型车销售总额为万元．
月份型车每辆售价多少元？
月份春暖花开，出行和参加户外运动的人越来越多，该车行计划月份新进一批型车和型车共辆，已知型车比型车数量多，但不超过型车数量的倍型车和型车的进货价格分别为元和元，受市场因素影响，型车的售价下调，型车的售价保持不变，若月份自行车行全部销售完这批车辆，所获取的利润为万元，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，点是直线上一点，是直线上一点，是直线、之间的一点．
求证：；
如图，作，与的角平分线交于点，若，求的度数；
如图，平分，平分，，已知，试探究的值，若不变求其值，若变化说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意知，，
，
，
解得，，
故选：．
由题意知，，由，可得，计算求解即可．
本题考查了解一元一次不等式，理解题意，根据题意列出关于的不等式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，
和是对顶角，
，
，
．
故选：．
由对顶角的性质得到，根据平行线的性质得到．
本题考查了直线平行的性质和对顶角的性质，掌握“两直线平行同位角相等”是解决问题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项错误，是假命题，不符合题意；
B.直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故该选项错误，是假命题，不符合题意；
C.两点的所有连线中，线段最短，故该选项正确，是真命题，符合题意；
D.两直线平行，同旁内角互补，故该选项错误，是假命题，不符合题意；
故选：．
根据平行公理、点到直线的距离、线段最短、平行线的性质，即可一一判定．
本题考查了平行公理、点到直线的距离、线段最短、平行线的性质，熟练掌握和运用各图形的性质和定义是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
解得，
关于的不等式组最多有个整数解，
或无解，
不等式组的整数解最多时为：，，
，
解得；
解，
得，
方程的解为非正数，
，
解得，
综上：，
符合条件的的整数值为：，，，和为；
故选：．
分别求出不等式组的解集，一元一次方程的解，根据题意，求出符合条件的所有整数，再将它们相加，即可得出结果．
本题考查由不等式组的解集和方程的解的情况求参数的值．正确的求出不等式组的解集和方程的解是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故正确，符合题意；
如图，延长至．

，
，
又，
，
又，
，
即，
故正确，符合题意；
，，
，
，
，
故错误，不符合题意；
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确，符合题意；
故选：．
根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可．
此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，过点的直线轴，点在直线上，且，
点的纵坐标为，横坐标为：或，
即点的坐标为或，
故选：．
根据点的坐标为，过点的直线轴，点在直线上，且，可知点的纵坐标为，横坐标为：或，然后即可得到点的坐标．
本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确与轴平行的直线上点的纵坐标相等．
 

7.【答案】 

【解析】解：能说明命题“若，则”是假命题的一个反例是，，，但，
故选：．
反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．
此题主要考查命题与定理，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

8.【答案】 

【解析】

解：将代入原方程组，得 ，解得，
将，，代入方程的左右两边，
左边，右边，
所以当时，方程组的解也是的解，故正确；
解原方程组，得，
若，是互为相反数，则，
即，方程无解．
所以无论取何值，，的值不可能是互为相反数，故正确；
，
、为自然数的解有，，，，故正确；
，，
解得．
故选：．
【分析】本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解．
根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可求解；
根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示、，再根据互为相反数的两个数相加为即可求解；
根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论；
根据整体代入的方法即可求解．  

9.【答案】 

【解析】解：令，，
，
，
，
，
，
，
、是方程的两个实数根，
，
方程无解，
方程无实数根，
故选：．
令，，分别求出，，所以、是方程的两个实数根，，可知方程无解，由此可求解．
本题考查立方根、一元二次方程，利用换元法和立方和公式进行量的转换，再构造一元二次方程，借助判别式求解是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：本题各个项目人数的多少，解题的关键在于球类里面．通过排球垫球，我们可以得知，女生是人，合计是人，因此没有男生选择排球垫球．同理，没有女生选择足球垫球．又因为每位同学均需要在球类中选择一项，对于男同学而言，因为没有选择排球垫球的，因此全部男同学都选择了篮球绕杆和足球绕杆，因此该班男生共有人，其中选择篮球绕杆人，足球绕杆人．同理，因为全班共有名同学，因此女生共有人，其中选择排球垫球人，因此篮球绕杆有人．对于素质项目，因为全班共有人，出去仰卧起坐人，引体向上人，还剩余人选择实心球．又因为仰卧起坐只能女生选择，选择仰卧起坐的人数为人，因此名女生中，有人选择实心球．实心球中有名是男生，另外名男生选择的引体向上．下面我们分析选项：
一定有女生选择了实心球，正确，有名女生选择．
一定有男生同时选择引体向上和足球绕杆，无法判断，可能有．但是因为选择足球绕杆的男生只有人，这人完全可以选择实心球，这种情况下就不对．
因为女生只有人选择实心球，而选择篮球绕杆的女生为人，因此另外人就既选择了篮球绕杆，又选择了仰卧起坐．选项正确．
无法判断．不一定至多是人，假如选择实心球的名男生全部选择了篮球，此时同时选择实心球和篮球绕杆的就有人．选项错误．
综上，正确选项为，
故选：．
本题主要考查统计表的读取．其中每个选项都需在读懂题目，并判断出各个项目人数的前提下进行判断，因此本题的重难点在于判断各个项目的人数多少．
本题考查统计表的读取分析能力，重点在于读懂统计表后，找出各个项目人数的多少，再根据人数的多少判断各个选项是否正确，需要一定的逻辑思维，对逻辑思维有一定的锻炼．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
得：，
．
故答案为：．
根据绝对值的非负性及完全平方的非负性得到正确的结果．
本题考查了绝对值的非负性及完全平方的非负性，解二元一次方程组，熟记绝对值的非负性及完全平方的非负性是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，故结论错误；
，分别是，的平分线，
，，
，
，故结论正确；
，
平分，
，
，故结论正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，故结论正确；
，
，
，
，故的结论正确．
综上所述，正确的结论有：．
故答案为：．
利用平行线的判定定理及性质对各结论进行分析即可．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，

，间的距离为，
根据图形可得：线段、或的长度即是平移的距离，
，
故答案为：．
根据平移的性质，结合图形，可直接求得结果．
本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
 

14.【答案】   

【解析】解：点到轴的距离是其纵坐标的绝对值，
点到轴距离为，
点到坐标原点距离为，
故答案为：，．
根据直角坐标系内的点的坐标特点，勾股定理求出结果即可．
本题主要考查坐标与图形的性质，掌握点到坐标轴的距离，勾股定理是解题的关键．
 

15.【答案】     

【解析】解：的平方根是的算术平方根是的立方根是．
故答案为：；；．
根据立方根、平方根、算术平方根的定义即可得答案．
本题考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握定义是解题关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
平分，
． 

【解析】先根据平行线的性质求出的度数，再由角平分线的定义即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，熟练掌握角平分线的性质和平行线的性质是解题关键．
 

17.【答案】解：设种商品的销售单价是元，种商品的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种商品的销售单价是元，种商品的销售单价是元；
设购进种商品件，则购进种商品件，设总获利为元，
根据题意得：，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，有最大值；
答：商店购进种商品件，购进种商品件时，总获利最多． 

【解析】设种商品的销售单价是元，种商品的销售单价是元，根据种商品的销售单价比种商品的销售单价少元，件种商品和件种商品的销售总额为元列方程组，解出即可解答；
根据不等量关系：种商品总进价种商品总进价，列不等式，解出即可解答．
本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式的综合运用，重点掌握解应用题的步骤．难点是正确列出相等关系和不等量关系．
 

18.【答案】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
即不等式组的正整数解是，，． 

【解析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的正整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

19.【答案】解：由，得，
由，得，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：，
，
，
，
，
平分，
，
；
，
，
，
，
，
平分，
，
；
，
，
，
，
，
平分，
，
． 

【解析】由已知可得到，再根据平分，可得到，即可解答；
方法同，用、的式子表示即可；
方法同，注意且为锐角，用含、的式子表示即可．
本题考查了平行线的性质，掌握三角形内角和定理、角的平分线的性质、平行线的性质是解题的关键．
 

21.【答案】  垂直的定义  同位角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等  两直线平行，同位角相等    等量代换  角平分线的定义 

【解析】解；，，
垂直的定义．
同位角相等，两直线平行．
两直线平行，内错角相等，两直线平行，同位角相等．
已知，
等量代换，
平分角平分线的定义．
故答案为：；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；；等量代换；角平分线的定义．
结合图形利用平行线的判定和性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质和判定和角平分线，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
 

22.【答案】解：设月份型车每辆售价元，销售品牌运动型自行车辆，依题意有：
，
解得．
故月份型车每辆售价元；
设购进型车辆，则购进型车辆，
根据题意得：．
又且，
．
，
的取值范围为． 

【解析】设月份型车每辆售价元，销售品牌运动型自行车辆，根据型车销售总额为万元，型车销售总额为万元，列出方程组计算即可求解；
设购进型车辆，则购进型车辆，根据总利润单辆利润购进数量，即可得出关于的函数关系式，再根据型车比型车数量多，但不超过型车数量的倍，可求出的取值范围，进一步可求的取值范围．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用；熟练掌握一元一次不等式组和二元一次方程组的应用的应用，列出方程和不等式组是解题的关键．
 

23.【答案】证明：过点作，

，
，，
，
，
；
解：平分，
，
，
，
，
，
，
，




，
的度数为；
解：的值不变，
理由：平分，平分，
，，
，
，
，
，，



，
，
的值为 

【解析】过点作，利用平行线的性质可得，再根据已知和角的和差关系可得，从而可得，然后利用平行于同一条直线的两条直线平行，即可解答；
根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据已知，然后利用猪脚模型可得，从而可得，进行计算即可解答；
利用角平分线的定义可得，，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据已知可得，进行计算即可解答．
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．