2022-2023学年江苏省南通市如皋市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省南通市如皋市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知正比例函数的图象经过点，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在▱中，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  南通市年月日月日的日最高温度如图所示：

则这六天的日最高温度的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一次函数的图象经过点，点，那么该函数的图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的函数的解析式是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  甲、乙、丙、丁四人各进行次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是，，，，则射击成绩最稳定的是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  如图，在四边形中，对角线和相交于点，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8.  一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建，“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，，交于点，为边上一点，，，垂足分别为点，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在平面直角坐标系中，当其中为常数时，函数的最小值为，则满足条件的的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

11.  已知一次函数的图象经过点，则 ______ ．

12.  如图，四边形为平行四边形，，，平分交于点，则的长等于______ ．

13.  如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，则菱形
的面积为______ ．

14.  为了参加市运动会，某校篮球队准备购买双运动鞋，经统计双运动鞋的尺码单位：如表所示：

则这双运动鞋尺码的中位数是______ ．

15.  在学校举行的“美丽南通，幸福家园”演讲比赛中，评委分别从演讲内容、演讲能力、演讲效果这三方面打分，小华这三项得分的成绩分别为分，分，分，最后再按照：：的得分比例计算最终得分，则小华的最终得分是______ 分

16.  如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线分别交，于点，，连接，若的周长为，则的周长为______ ．

17.  若一次函数与的图象交于点，则关于的方程的解为 ______ ．

18.  如图，在矩形纸片中，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，且，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
如图，在▱中，，相交于点，点，分别为，的中点．
求证：四边形是平行四边形；
若▱的面积为，直接写出四边形的面积．

20.  本小题分
如图，一次函数的图象和轴交于点，与正比例函数图象交于点．
求和的值；
求的面积．

21.  本小题分
在体操比赛中，往往在所有裁判给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分，个裁判员对某一运动员的打分数据动作完成分为：，，，，，．
请按照以上方法计算这组数据的平均数结果精确到；
请你解释用以上方法计算平均分的合理性．

22.  本小题分
小惠编题：“如图，在四边形中，对角线，交于点，，，求证：四边形是菱形”
小洁说：“小惠，你这个题目还需要再补充一个条件才能证明”
你赞同小洁的说法吗？若赞同，请你补充一个条件，并证明；若不赞同，请说明理由．

23.  本小题分
【问题情境】
数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】
同学们随机收集，两种树叶各片，测得这些树叶的长、宽单位：并计算各树叶的长宽比如下：
种树叶的长宽比：
种树叶的长宽比：
【实践探究】
分析数据如表：

【问题解决】
上述表格中： ______ ， ______ ；
甲同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为种树叶的形状差别大”乙同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现种树叶的长约为宽的两倍”上面两位同学的说法中，合理的是______ 填“甲”或“乙”；
现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能是，两种树叶中的哪一种？并给出你的理由．

24.  本小题分
为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育用品，甲、乙两个商店的优惠活动如下：
甲：所有商品按原价折出售；
乙：一次购买商品总额不超过元的按原价付费，超过元的部分打折．
在两家商店购买的实付款单位：元与商品原价单位：元之间的关系如图所示．
分别写出在两家商店购买的实付款单位：元与商品原价单位：元之间的函数关系式；
两图象交于点，求点的坐标，并说明其实际意义；
请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算．

25.  本小题分
如图，在矩形中，，，为边上的一动点不与点重合，连接，作点关于直线的对称点，作射线交边于点．
如图，当点与点重合时，作交于点．
求证：四边形为菱形；
求线段的长．
当时，求线段的长．

26.  本小题分
定义：在平面直角坐标系中，函数图象上到两坐标轴的距离之和等于的点，叫做该函数图象的“阶和点”例如，为一次函数的“阶和点”．
若点是关于的正比例函数的“阶和点”，则 ______ ， ______ ；
若关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，求的值；
若关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象经过点，
，
解得：，
的值等于．
故选：．
由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式”是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是明确平行四边形的对角相等．
 

3.【答案】 

【解析】解：六天中有天温度为，
所以众数为，
故选：．
利用众数的定义写出答案即可．
本题考查了众数的知识，解题的关键是了解众数的定义，难度不大．
 

4.【答案】 

【解析】解：描点、连线，画出直线，如图所示．

观察函数图象可知：该函数的图象不经过第二象限．
故选：．
描点、连线，画出直线，观察图象，即可得出该函数的图象不经过第二象限．
本题考查了一次函数的图象，利用两点法画出一次函数的图象是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得的函数的解析式是，
故选：．
根据解析式“上加下减”的平移规律解答即可．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时的值不变，只有发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，，
最小．
射击成绩最稳定的是甲．
故选：．
根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．熟知方差的意义是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
C、，，
四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
D、，，
四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意，
故选：．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图象和数据可知，当即图象在轴上方，．
故选：．
根据图象的性质，当即图象在轴上方，．
本题考查一次函数与一元一次不等式，关键把握准：，图象在轴上方；，图象在轴下方；，看图象与轴交点．
 

9.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

10.【答案】 

【解析】解：当，即时，，
解得；，
当，即时，，
解得：不合题意，舍去；
当时，，
解得：不合题意，舍去，
故选：．
根据函数的图象的分类讨论求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，分类讨论思想是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，
．
故答案为：．
直接把点代入一次函数，求出的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：．
由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，所以求得，问题得解．
此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理．注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．
 

13.【答案】 

【解析】解：菱形的对角线与相交于点，
，
，
则菱形的面积为：．
故答案为：．
直接利用菱形的性质结合勾股定理得出的长，再利用菱形面积公式得出答案．
此题主要考查了菱形的性质和勾股定理，正确得出的长是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第、第个数的平均数，
则中位数是：．
故答案为：．
根据中位数的定义直接求解即可．
此题考查了中位数．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：分，
小华的最终得分是分．
故答案为：．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以求出小华的最终得分．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
 

16.【答案】 

【解析】解：由作图可知垂直平分线段，
，
，
，，
，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
证明，，可得结论．
本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】 

【解析】解：一次函数与的图象交于点，
当时，，，
，
由得，
，
，
故答案为：．
由一次函数与的图象交于点得到，代入方程即可求出方程的解．
本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是根据图图象的交点得到．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图所示连接，．

由翻折的性质可知，垂直平分线段，
，
，
、、共线，
，
是的中点，是的中点，
是的中位线，，
，
四边形是矩形，
，，
，
即，
故答案为：．
连接，，由折叠的性质得出，由勾股定理求出，利用三角形的中位线定理解决问题即可．
本题考查翻折变换，掌握矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识是解题的关键．
 

19.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：▱的面积为，
，
点，分别为，的中点，，
，
，
由可知，四边形是平行四边形，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由平行四边形的性质得，再由三角形面积关系得，然后由平行四边形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：把代入中，得，
点坐标为，
把代入得：，
解得：，
即和的值分别为，；

把代入得：，
点坐标为，
的面积． 

【解析】把点的坐标代入求出，把的作代入求出；
求出点的坐标，根据三角形面积公式求出即可．
本题考查了和图象上点的坐标特征和用待定系数法求函数的解析式，能求出函数的解析式是解此题的关键．
 

21.【答案】解：分；
去掉一个最高分和最低分统计平均分可以减少极端值对结果的影响． 

【解析】根据算术平均数的定义计算即可；
去掉一个最高分和一个最低分统计平均分的方法更合理，这样可以减少极端值对数据的影响．
本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键．
 

22.【答案】解：赞成小洁的说法，
补充条件：，
证明如下：
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形． 

【解析】根据平行四边形的性质和菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

23.【答案】    乙 

【解析】解：把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，故；
片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
故答案为：；；
，
种树叶的形状差别小，故甲同学说法不合理；
种树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
乙同学说法合理．
故答案为：乙；
这片树叶更可能是种树叶，理由如下：
一片长，宽的树叶，长宽比接近．
这片树叶更可能是种树叶．
根据中位数和众数的定义解答即可；
根据题目给出的数据判断即可；
根据树叶的长宽比判断即可．
本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键．
 

24.【答案】解：根据已知，
到甲商店：，
到乙商店：若，则若，则，
；
令，
解得，
将代入得：，
点的坐标为，
点的实际意义是当一次性购买商品总额为元时，到甲乙两家商店的实际付款都是元；
由图象可得，
当时，去甲体育专卖店购买体育用品更合算；
当时，两家体育专卖店购买体育用品一样合算；
当时，去乙体育专卖店购买体育用品更合算． 

【解析】根据已知，分别列出函数关系式即可；
结合列方程可解得答案；
观察图象，直接可得答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
 

25.【答案】证明：如图，连接，
四边形是矩形，点与点重合，
，
，
四边形为平行四边形，
点与点关于直线对称，
垂直平分，
，
，
，
，
，
四边形为菱形．
解：，，
，，
，
，
，解得，
线段的长是．
解：当点落在矩形内部时，如图，
点与点关于直线对称，
是连接的线段的垂直平分线，
，，
，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
；
当点落在矩形外部时，如图，
≌，
，，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，线段的长是或． 

【解析】连接，先由，，证明四边形为平行四边形，再由垂直平分，证明，则，所以，则四边形为菱形；
根据勾股定理得，则，可求得线段的长是；
分两种情况求的长，一是点落在矩形内部，由，，，证明≌，得，，，可推导出，则，由勾股定理得，则，；二是点落在矩形外部，由，，得，则．
此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
 

26.【答案】   

【解析】解：点是关于的正比例函数的点，
，
．
点到两坐标轴的距离之和等于，
点是关于的正比例函数的“阶和点”，
．
故答案为：；；
设一次函数图象的“阶和点”为，则，，
一次函数图象经过第一、二、三象限，
当在第一象限时，，
，，
一次函数图象的“阶和点”为，
，
；
当在第二象限时，，由于，此种情形不存在；
当在第三象限时，，
，．
一次函数图象的“阶和点”为，
，
．
综上，关于的一次函数的图象经过一次函数图象的“阶和点”，的值为或；
由题意得：，
，
关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，
设为关于的一次函数的图象的“阶和点”，
，
当在第一象限时，，
，
，
，
，，
，符合题意，
当在第一象限时，；
当在第三象限时，，
，
，
，
，
，
；
当在第三象限时，；
当在第四象限时，，
，
，
．
当在第四象限时，．
关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，
以上三个条件中同时满足其中两个即可，
当满足不满足时，；
当满足不满足时，；
当满足不满足时，的值不存在，
综上，关于的一次函数的图象有且仅有个“阶和点”，的取值范围为或．
利用待定系数法和“阶和点”的都有即点即看；
利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义求得“阶和点”，再利用待定系数法解答即可；
利用一次函数的性质确定关于的一次函数的图象经过第一、三、四象限，再利用分类讨论的方法和“阶和点”的定义，求得的值，进而得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，再利用已知条件即可得出结论．
本题主要考查了一次函数的图形与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，本题是新定义型，理解新定义并熟练运用是解题的关键．