【全套】中考数学复习2009年湖南省永州市中考数学试卷（知识梳理+含答案）

2009年湖南省永州市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）永州市高度重视科技创新工作，全市科技投入从“十一五”初期的3.01亿元，增加到2008年的6.48亿元．请将6.48亿用科学记数法（保留两个有效数字）记为　　

A． B． C． D．

2．（3分）如图，在长方体的数学课本上放有一个圆柱体，则它的主视图为　　

A． B． 

C． D．

3．（3分）下列计算中，正确的是　　

A． B． 

C． D．

4．（3分）若点在反比例函数，是常数）的图象上，则下列点中也在此反比例函数图象上的是　　

A． B． C． D．

5．（3分）下列命题是真命题的是　　

A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 

B．平移不改变图形的形状和大小 

C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 

D．相等的弦所对的弧相等

6．（3分）为了了解某校2009年初三学生体育测试成绩，从中随机抽取了50名学生的体育测试成绩如下表则这50名学生的体育测试成绩的众数、中位数分别为　　

A．24，24 B．8，24 C．24，23.5 D．4，23.5

7．（3分）用长4米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为米，若设它的一边长为米，根据题意列出关于的方程为　　

A． B． C． D．

8．（3分）如图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以为起点结六条线，，，，，后，再从线上某点开始按逆时针方向依次在，，，，，，，上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，，那么第200个结点在　　

A．线上 B．线上 C．线上 D．线上

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）的相反数是　 　．

10．（3分）函数中的取值范围是　 　．

11．（3分）如图，直线、分别被直线、所截，如果，那么　 　度．直线、分别被直线、所截．

12．（3分）已知，则　 　（填、或．

13．（3分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为　 　．

14．（3分）今年“五一”期间，小亮一家三口人决定去旅游，小亮的理想景点为朝阳公园和浯溪公园，爸爸的理想景点为柳子庙，妈妈的理想景点为阳明山，他们把四个景点写在四张相同的卡片上，采用抽签的办法来确定一个旅游景点，那么，抽到小亮的理想景点的概率为　 　．

15．（3分）若实数满足，则的值为　 　．

16．（3分）某校初三（一班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部处的仰角为，如图所示，则旗杆的高度为　 　米．（已知结果精确到0.1米）

三、解答题（共9小题，满分72分）

17．（6分）计算：．

18．（6分）先化简，再求值．，其中．

19．（6分）如图所示是一块破损的正八边形窗户玻璃的图形，请你利用对称或其它有关知识补全图形．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

20．（8分）为了了解我市某县参加2008年初中毕业会考的6000名考生的数学成绩，从中抽查了200名学生的数学成绩（成绩为整数，满分120分）进行统计分析，并根据抽查结果绘制了如下的统计表和扇形统计图：

请根据以上图表信息回答下列问题：

（1）请将以上统计表和扇形统计图补充完整；

（2）若规定60分以下（不含60分）为“不合格”，60分以上（含60分）为“合格”，80分以上（含80分）为“优秀”，试求该样本的合格率、优秀率；

（3）在（2）的规定下，请用上述样本的有关信息估计该县本次毕业会考中数学成绩优秀的人数和不合格的人数．

21．（8分）如图，平行四边形，、两点在对角线上，且，连接，，，．

求证：四边形是平行四边形．

22．（8分）某工厂为了扩大生产规模，计划购买5台、两种型号的设备，总资金不超过28万元，且要求新购买的设备的日总产量不低于24万件，两种型号设备的价格和日产量如下表．为了节约资金，问应选择何种购买方案？

23．（10分）如图，在平面直角坐标系内，为原点，点的坐标为，经过、两点作半径为的，交轴的负半轴于点．

（1）求点的坐标；

（2）过点作的切线交轴于点，求直线的解析式．

24．（10分）问题探究：

（1） 如图①所示是一个半径为，高为 4 的圆柱体和它的侧面展开图，是圆柱的一条母线， 一只蚂蚁从点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达点， 求蚂蚁爬行的最短路程 ． （探 究思路： 将圆柱的侧面沿母线剪开， 它的侧面展开图如图①中的矩形，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长） ；

（2） 如图②所示是一个底面半径为，母线长为 4 的圆锥和它的侧面展开图，是它的一条母线， 一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点， 求蚂蚁爬行的最短路程；

（3） 如图③所示， 在②的条件下， 一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点， 求蚂蚁爬行的最短路程 ．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在轴上．已知某二次函数的图象经过、、三点，且它的对称轴为直线，点为直线下方的二次函数图象上的一个动点（点与、不重合），过点作轴的平行线交于点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点的横坐标为，用含的代数式表示线段的长；

（3）求面积的最大值，并求此时点的坐标．

2009年湖南省永州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．（3分）永州市高度重视科技创新工作，全市科技投入从“十一五”初期的3.01亿元，增加到2008年的6.48亿元．请将6.48亿用科学记数法（保留两个有效数字）记为　　

A． B． C． D．

【解答】解：6.48亿元．

故选：．

2．（3分）如图，在长方体的数学课本上放有一个圆柱体，则它的主视图为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：从物体正面看，下面是一个长比较长，宽比较短的矩形，它的右边是一个竖放的矩形，故选．

3．（3分）下列计算中，正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：、不是同类项，不能合并，故本选项错误；

、应为，故本选项错误；

、，正确；

、应为，故本选项错误．

故选：．

4．（3分）若点在反比例函数，是常数）的图象上，则下列点中也在此反比例函数图象上的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：将代入，得，符合题意的只有．

故选：．

5．（3分）下列命题是真命题的是　　

A．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 

B．平移不改变图形的形状和大小 

C．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 

D．相等的弦所对的弧相等

【解答】解：、错误，对角线相等且互相垂直的四边形可以是筝形；

、正确；

、错误，应为：对角线互相垂直且相等的梯形才是等腰梯形；

、错误，没有强调是同圆或等圆中．

故选：．

6．（3分）为了了解某校2009年初三学生体育测试成绩，从中随机抽取了50名学生的体育测试成绩如下表则这50名学生的体育测试成绩的众数、中位数分别为　　

A．24，24 B．8，24 C．24，23.5 D．4，23.5

【解答】解：在这一组数据中24是出现次数最多的，故众数是24；将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是24，24，那么这组数据的中位数是24．

故选：．

7．（3分）用长4米的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为米，若设它的一边长为米，根据题意列出关于的方程为　　

A． B． C． D．

【解答】解：依题意得：另一边长，又矩形的面积为：．故选．

8．（3分）如图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以为起点结六条线，，，，，后，再从线上某点开始按逆时针方向依次在，，，，，，，上结网，若将各线上的结点依次记为：1，2，3，4，5，6，7，8，，那么第200个结点在　　

A．线上 B．线上 C．线上 D．线上

【解答】解：第200个结点所在的位置，通过计算可得，．在上，故选．

二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）

9．（3分）的相反数是　2009　．

【解答】解：的相反数是2009．

10．（3分）函数中的取值范围是　　．

【解答】解：是二次根式，同时也是分母，

，

．

故答案为：．

11．（3分）如图，直线、分别被直线、所截，如果，那么　180　度．直线、分别被直线、所截．

【解答】解：直线、分别被直线、所截，，

，

．

12．（3分）已知，则　　（填、或．

【解答】解：，，．

13．（3分）在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴的对称点的坐标为　　．

【解答】解：点关于轴对称点的坐标，所以点关于轴对称的点的坐标为．

14．（3分）今年“五一”期间，小亮一家三口人决定去旅游，小亮的理想景点为朝阳公园和浯溪公园，爸爸的理想景点为柳子庙，妈妈的理想景点为阳明山，他们把四个景点写在四张相同的卡片上，采用抽签的办法来确定一个旅游景点，那么，抽到小亮的理想景点的概率为　　．

【解答】解：小亮的理想景点有2个，全家的理想景点有4个，采用抽签的办法来确定一个旅游景点，抽到小亮的理想景点的情况有两种，故其概率为．

15．（3分）若实数满足，则的值为　1　．

【解答】解：，，的值为1．

16．（3分）某校初三（一班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度，他们在离旗杆6米的处，用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部处的仰角为，如图所示，则旗杆的高度为　11.9　米．（已知结果精确到0.1米）

【解答】解：在中，，，

故．

（米．

三、解答题（共9小题，满分72分）

17．（6分）计算：．

【解答】解：

（3分）

（5分）

．（6分）

18．（6分）先化简，再求值．，其中．

【解答】解：

，（1分）

，（3分）

，（4分）

当时，原式．（6分）

19．（6分）如图所示是一块破损的正八边形窗户玻璃的图形，请你利用对称或其它有关知识补全图形．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

【解答】解：连接、相交于点（2分）

分别作、两点关于点的对称点、（4分）

连接、、．（6分）

（其它作法参照评分标准进行评分，如利用轴对称作图，利用正八边形的性质作图）

20．（8分）为了了解我市某县参加2008年初中毕业会考的6000名考生的数学成绩，从中抽查了200名学生的数学成绩（成绩为整数，满分120分）进行统计分析，并根据抽查结果绘制了如下的统计表和扇形统计图：

请根据以上图表信息回答下列问题：

（1）请将以上统计表和扇形统计图补充完整；

（2）若规定60分以下（不含60分）为“不合格”，60分以上（含60分）为“合格”，80分以上（含80分）为“优秀”，试求该样本的合格率、优秀率；

（3）在（2）的规定下，请用上述样本的有关信息估计该县本次毕业会考中数学成绩优秀的人数和不合格的人数．

【解答】解：（1）的人数是，

的人数是，

所占的百分比；

（2）合格率：，

优秀率：；

（3）优秀人数：，

不合格人数：．

21．（8分）如图，平行四边形，、两点在对角线上，且，连接，，，．

求证：四边形是平行四边形．

【解答】证明：连接交于点，

四边形为平行四边形，

，．

，．

四边形为平行四边形．

22．（8分）某工厂为了扩大生产规模，计划购买5台、两种型号的设备，总资金不超过28万元，且要求新购买的设备的日总产量不低于24万件，两种型号设备的价格和日产量如下表．为了节约资金，问应选择何种购买方案？

【解答】解：设购买型设备为台，则购买型设备为台，

依题意得：（1分），（4分）

解得．（6分）

为整数，或．

当时，购买设备的总资金为（万元）；

当时，购买设备的总资金为（万元）．

应购买型设备2台，型设备3台．（8分）

23．（10分）如图，在平面直角坐标系内，为原点，点的坐标为，经过、两点作半径为的，交轴的负半轴于点．

（1）求点的坐标；

（2）过点作的切线交轴于点，求直线的解析式．

【解答】解：（1），

是直径，且，

在中，由勾股定理可得，

点的坐标为；

（2）是的切线，是的半径，

，即，

又，

，

，

，

，

，

的坐标为，

设直线的解析式为，、为常数），

则有，，

直线的解析式为．

24．（10分）问题探究：

（1） 如图①所示是一个半径为，高为 4 的圆柱体和它的侧面展开图，是圆柱的一条母线， 一只蚂蚁从点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达点， 求蚂蚁爬行的最短路程 ． （探 究思路： 将圆柱的侧面沿母线剪开， 它的侧面展开图如图①中的矩形，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段的长） ；

（2） 如图②所示是一个底面半径为，母线长为 4 的圆锥和它的侧面展开图，是它的一条母线， 一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点， 求蚂蚁爬行的最短路程；

（3） 如图③所示， 在②的条件下， 一只蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线上的一点， 求蚂蚁爬行的最短路程 ．

【解答】解： （1），

．

即蚂蚁爬行的最短路程为 5 ． （4分）

（2） 连接，则的长为蚂蚁爬行的最短路程，

设为圆锥底面半径，为侧面展开图 （扇 形） 的半径，

则，

由题意得：，即，

，

是等边三角形，

最短路程为．

（3） 如图③所示是圆锥的侧面展开图，

过作于点，

则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程 ．

，

蚂蚁爬行的最短距离为．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在轴上．已知某二次函数的图象经过、、三点，且它的对称轴为直线，点为直线下方的二次函数图象上的一个动点（点与、不重合），过点作轴的平行线交于点．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若设点的横坐标为，用含的代数式表示线段的长；

（3）求面积的最大值，并求此时点的坐标．

【解答】解：（1）设二次函数的解析式为，、、为常数），

由抛物线的对称性知点坐标为，

依题意得：，（1分）

解得：，（2分）

所求二次函数的解析式为；（3分）

（2）点的横坐标为，

点的纵坐标为，（4分）

设直线的解析式为，、是常数），

依题意，得，

，

故直线的解析式为，（5分）

点的坐标为，

；（6分）

（3）的面积

，

当时，的最大面积为，（8分）

把代入，

得，

点的坐标为．（10分）