浙江省宁波市2018年中考数学试卷【含答案】

浙江省宁波市2018年中考数学试卷

一、选择题

1．在-3，-1，0，1这四个数中，最小的数是（　　）

A．-3 B．-1 C．0 D．1

2．2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕。本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次．其中55万用科学记数法表示为（　　）

A．  0.55×106 B．5.5×105 C．5.5×104 D．0.55×104

3．下列计算正确的是（　　）

A．a3+a3=2a3 B．a3·a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5

4．有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（　　）

A． B． C． D．

5．已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

6．如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（　　）

A．主视图 B．左视图

C．俯视图 D．主视图和左视图

7．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）

A．50° B．40° C．30° D．20°

8．若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（　　）

A．7 B．5 C．4 D．3

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则 的长为（　　）

A． B． C． D．

10．如图，平行于x轴的直线与函数 （k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图像分别交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点．若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为（　　）

A．8 B．-8 C．4 D．-4

11．如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为-1，则一次函数y=（a-b）x+b的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

12．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（　　）

A．2a B．2b C．2a-2b D．-2b

二、填空题

13．计算：|-2018|=　     　。

14．要使分式 有意义，x的取值应满足　     　。

15．已知x，y满足方程组 ，则x2-4y2的值为　     　。

16．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　           　米（结果保留根号）．

17．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　     　。

18．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　     　。

三、解答题

19．先化简，再求值：（x-1）2+x（3-x），其中x= .

20．在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．

（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；

（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．

21．在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查．调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示．根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：

（1）求本次调查的学生人数；

（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；

（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．

22．已知抛物线 经过点（1，0），（0， ）。

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）将抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．

23．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连结BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．

24．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元．销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？

25．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3．请直接写出所有满足条件的AC的长；

（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC， ∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形；

（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求 的值。

26．如图1，直线l： 与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜ ），以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．

（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；

（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，

①求证：△OCE∽△OEA；

②求点E的坐标；

（3）当点C在线段OA上运动时，求OE·EF的最大值．

1．A 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．B 8．C 9．C 10．A

11．D 12．B 13．2018 14．x≠1 15．-15

16． 17．3或 18．

19．解：原式=x2-2x+1+3x-x2，

=x+1，

∵x= 时，

∴原式= +1= .

20．（1）如图所示：线段BD为所求作的线段.

（2）如图所示：线段BE为所求作的线段.

21．（1）解：20÷10%=200（人）.

答：本次调查的学生人数有200人。

（2）解：等级D的人数为200×45%=90（人）；

等级B的人数为200-20-60-90=30（人）；

等级B所在扇形的圆心角度数为 ×360°=54°.

答：等级B所在扇形的圆心角度数为54°.

补全条形统计图如图所示：

（3）解：1200× =360（人）.

答：估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数有360人。

22．（1）解：把（1，0）和（0， ）代入 ，

得 ，

解得 ，

∴抛物线的函数表达式为： .

（2）∵ = ，

∴顶点坐标为（-1，2），

∴抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点的一种平移方法：先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度.

平移后的函数表达式为： .

23．（1）证明：∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，

∴∠DCE=90°，CD=CE，

又∵∠ACB=90°

∴∠ACB=∠DCE.

∴∠ACD=∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

∵CD=CE，∠ACD=∠BCE，AC=BC，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

（2）解：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=45°

由（1）知△ACD≌△BCE，

∴AD=BE，∠CBE=∠A=45°，

又∵AD=BF，

∴BE=BF，

∴∠BEF=∠BFE= =67.5°.

24．（1）解：设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元，

根据题意，得 = ，

解得x=40.

经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，

∴x+8=48.

答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元.

（2）解：设甲种商品按原销售单价销售a件，

由（1）可得，购进的甲、乙两种商品的件数都为50件，

根据题意，得（60-40）a+（60×0.7-40）（50-a）+（88-48）×50≥2460，

解得：a≥20.

答：甲种商品按原销售单价至少销售20件.

25．（1） 或 或 .

（2）证明：∵AD∥BC，

∴∠ACB =∠CAD，

又∵∠BAC=∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

∴ = ，

即CA2=BC·AD，

又∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ADB=∠ABD，

∴AB=AD，

∴CA2=BC·AB，

∴△ABC是比例三角形.

（3）解：如图，过点A作AH⊥BD于点H，

∵AB=AD，

∴BH= BD，

∴AD∥BC，∠ADC=90°，

∴∠BHA=∠BCD=90°，

又∵∠ABH=∠DBC，

∴△ABH∽△DBC，

∴ = ，

∴AB·BC=DB·BH，

∴AB·BC= BD2，

又∵AB·BC=AC2，

∴ BD2=AC2，

∴ = .

26．（1）解：把A（4，0）代入 ，得 ×4+b=0，

解得b=3，

∴直线l的函数表达式为 ，

∴B（0，3），

∵AO⊥BO，OA=4，BO=3，

∴tan∠BAO= .

（2）①证明：如图，连结AF，

∵CE=EF，

∴∠CAE=∠EAF，

又∵AC=AE=AF，

∴∠ACE=∠AEF，

∴∠OCE=∠OEA，

又∵∠COE=∠EOA，

∴△OCE∽△OEA.

②解：如图，过点E作EH⊥x轴于点H，

∵tan∠BAO= ，

∴设EH=3x，AH=4x，

∴AE=AC=5x，OH=4-4x，

∴OC=4-5x，

∵△OCE∽△OEA，

∴ = ，

即OE2=OA·OC，

∴（4-4x）2+（3x）2=4（4-5x），

解得x1= ，x2=0（不合题意，舍去）

∴E（ ， ）.

（3）解：如图，过点A作AM⊥OF于点M，过点O作ON⊥AB于点N，

∵tan∠BAO= ，

∴cos∠BAO= ，

∴AN=OA·cos∠BAO= ，

设AC=AE=r，

∴EN= -r，

∵ON⊥AB，AM⊥OF，

∴∠ONE=∠AME=90°，EM= EF，

又∵∠OEN=∠AEM，

∴△OEN∽△AEM，

∴ = ，

即OE· EF=AE·EN，

∴OE·EF=2AE·EN=2r·（ -r），

∴OE·EF=-2r2+ r-2（r- ）2+ （0＜r＜ ），

∴当r= 时，OE·EF有最大值，最大值为 .