2023年黑龙江省哈尔滨工大附中中考数学二模试卷（含解析）

2023年黑龙江省哈尔滨工大附中中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有(    )
 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  如图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  把抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子的长是米．若梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离为(    )
 

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

7.  如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，是的直径，是的切线，连接交于点，连接，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在▱中，点是上任意一点，过点作交于点，连接并延长交的延长线于点，则下列结论中错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  为了解脱贫攻坚成果，宣传乡村振兴发展之路，某电视台记者乘汽车赴外的新农村进行采访，路程的前一部分为高速公路，后一部分为省道．若汽车在高速公路和省道上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程单位：与时间单位：之间的关系如图所示，则下列结论正确的是(    )
 

A. 汽车在高速公路上的行驶速度为
B. 省道总长为
C. 汽车在省道上的行驶速度为
D. 该记者在出发后到达采访地

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11.  将数用科学记数法表示为______ ．

12.  在函数中，自变量的取值范围是______ ．

13.  计算：______．

14.  因式分解：________．

15.  不等式组的整数解为______．

16.  反比例函数的图象经过点，则的值是          ．

17.  在一个不透明的口袋中装有个红球、个黑球，这些球除颜色外其他都相同，随机地从这个袋子中一次摸出两个球，则摸到两个球都是红球的概率是______ ．

18.  有一个弧长为的扇形，它的圆心角为，则该扇形的面积为______．

19.  已知等边，点是直线上一点，且满足，则 ______ ．

20.  在中，，，点在内部，且满足，若的面积为，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中，．

22.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，线段的端点均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形，使得它们的顶点均在小正方形的顶点上．
在图中画出一个以为边的菱形，使得菱形的面积为；
将线段绕点逆时针旋转度得到线段，请画出线段；
连接，请直接写出线段的长．

23.  本小题分
为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩作为样本分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：

求本次抽样的学生人数是多少；
通过计算将条形统计图补充完整；
该校九年级共有人参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？

24.  本小题分
已知：如图，四边形是平行四边形，，是对角线上的两点，．

求证：四边形是平行四边形；
如果，请直接写出图中个面积等于四边形面积的三角形．

25.  本小题分
某社区计划对面积为平方米的区域进行清雪全部清雪工作由甲、乙两个工程队来完成已知甲队每小时能完成清雪的面积是乙队每小时能完成清雪的面积的倍，并且在独立完成面积为平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用小时．
求甲乙两工程队每小时能完成清雪的面积；
若甲队每小时清雪费用是元，乙队每小时清雪费用是元，如果施工总费用不超过万元，那么乙工程队至少需要施工多少小时？

26.  本小题分
已知：如图，四边形内接于，连接、，平分．

如图，求证：；
如图，连接并延长，交于点，求证：；
如图，连接，，，若的面积为，求的长．

27.  本小题分
已知，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．

求抛物线的解析式；
如图，点是抛物线上第一象限的一点，直线于点，与直线交于点，，若点的横坐标为，求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
在的条件下，如图，作，交直线于点，，点在轴上，点在的延长线上，直线于点，交直线交于点，点在线段上，满足，连接，，，若，求点坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：相乘得的两个数互为倒数，且，
的倒数是．
故选：．
根据倒数定义，相乘得的两个数互为倒数，即可得出答案．
题目考查了倒数的定义，题目整体较为简单，只要学生熟记倒数定义，即可轻松选对答案．
 

2.【答案】 

【解析】解：、与不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的除法，乘法，幂的乘方与积的乘方法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：第一个是中心对称图形，也是轴对称图形；
第二个不是中心对称图形，是轴对称图形；
第三个不是中心对称图形，是轴对称图形；
第四个既是中心对称图形又是轴对称图形．
综上可得，共有个符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

4.【答案】 

【解析】解：从左边看是竖着叠放的个正方形．
故选B．
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：抛物线向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为：．
故选：．
根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得：在中，，
故BC．
故选：．
直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案．
此题主要考查了锐角三角的定义，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
．
故选：．
先根据旋转的性质得到，，根据等腰三角形的性质易得，再根据平行线的性质由得，然后利用进行计算．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】本题考查了切线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，解此题的关键是求出的度数，题目比较好，难度适中．
根据切线的性质求出，结合求出，根据等腰三角形性质求出，根据三角形外角性质求出即可．
【解答】解：是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，，
对于、，
∽，
，
即，故A正确；
对于、，
∽，
，
即，故B正确；
对于、，
∽，
，
即，故C正确；
对于、，，
∽，
，
即，故D错误．
故选D．
本题考查相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：汽车在高速公路上行驶速度为：，故本选项不合题意；
B.省道公路总长为：，故本选项不合题意；
C.汽车在省道上的行驶速度为：，故本选项符合题意；
D.该记者在出发后：到达采访地，故本选项不合题意，
故选：．
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：由有意义，得．
解得，
故答案为：．
根据分母不为零分式有意义，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不为零分式有意义得出不等式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
直接化简二次根式，进而合并求出答案．
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解为．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：将点代入得，，
解得．
故答案为．
将点代入，即可求出的值．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
 

17.【答案】 

【解析】解：画出树状图为：

共有种等可能情况，其中两个球都是红球的有种情况，
所以两个球都是红球．
故答案为：．
根据题意画出树状图列出所有可能情况，然后根据概率公式进行计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，利用树状图列出所有可能情况是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

18.【答案】 

【解析】解：设该扇形的弧长为，半径为，圆心角为，
则，而，
解得：，
该扇形的面积，
故答案为．
首先运用弧长公式求出扇形的半径，运用扇形的面积公式直接计算，即可解决问题．
该题主要考查了扇形的面积公式、弧长公式等知识点及其应用问题；应牢固掌握扇形的面积公式、弧长公式，这是灵活运用、解题的基础和关键．
 

19.【答案】或 

【解析】解：如图，过作于，
设等边的边长为，
则，，
当点点在线段上，
，
则，
在中，，
当点在的延长线上时，
，
，
在中，．
故答案为：或．
过作于，设等边的边长为，则，，，分类讨论：当在上时，；当点在延长线上时，即在的位置，则，然后分别利用正切的定义求解即可．
本题考查了解直角三角形：利用三角函数和勾股定理求三角形中未知的边或角的过程叫解直角三角形．也考查了分类讨论思想的运用．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，过点作直线于，
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
的面积为，
，
，
故答案为：．
由角的数量关系可得，由等腰直角三角形的性质可求，由“”可证≌，可得，由三角形的面积公式可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出是解题的关键．
 

21.【答案】解：当，时，
原式

 

【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

22.【答案】解：如图，菱形为所作；
如图，为所作；

． 

【解析】根据菱形的性质作和互相垂直平分，且使，；
利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可；
利用勾股定理计算的长．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了菱形的性质．
 

23.【答案】解：人，答：本次抽样的学生人数为人．
人，
补全条形统计图如下：

由样本估计总体：名，
答：九年级大约共有名学生的数学成绩达到优秀． 

【解析】由良的人数除以占的百分比得到调查的总人数；
总人数乘以成绩类别为“中”的人数所占百分比即可得出其人数，即可补全条形统计图．
校九年级学生的数学成绩达到优秀的人数成绩类别为“优”的学生所占的百分比．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，，
，
≌，
，
，
，
，
图中所有面积等于四边形的面积的的所有三角形为，，，． 

【解析】首先证明≌，得出，，再由平行线的判定可得，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论；
根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．
此题考查了平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

25.【答案】解：设乙工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
．
答：甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，乙工程队每小时能完成清雪的面积为平方米．
设乙工程队需要施工小时，则甲工程队需要施工小时，
依题意得：，
解得：．
答：乙工程队至少需要施工小时． 

【解析】设乙工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，则甲工程队每小时能完成清雪的面积为平方米，根据“在独立完成面积为平方米区域的清雪时，甲队比乙队少用小时”，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设乙工程队需要施工小时，则甲工程队需要施工小时，根据施工总费用不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

26.【答案】证明：平分，
，
；

证明：如图，

连接，，
，
，
，
同理：，
由知，，
，
，
，
；

解：如图，

过点作于，
由知，，
，
，
，
，
，
过点作，交的延长线于，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，
过点作于，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
连接，
，
，
，
由得，，
，
，
∽，
，
，
，
． 

【解析】由角平分线得出，即可得出结论；
先判断出，同理：，进而得出，即可得出，进而得出结论；
先判断出，进而利用，求出，过点作交的延长线于，判断出≌，得出，，进而利用面积求出，过点作于同理得出，再判断出≌，得出，再用勾股定理求出，连接，再判断出∽，得出，即可求出，即可得出答案．
此题考查了圆的基本性质综合应用，勾股定理，三角形全等的判定及性质，相似三角形的判定及性质，垂径定理，圆周角与弦、圆心角之间的关系，相似三角形的判定和性质；掌握相关的性质及定理，并根据题意作出辅助线是解题的关键．
 

27.【答案】解：将点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
点的横坐标为，
，，
，
，
，
当时，，
，
，
，
，
；
，，
，
，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
，，，
，，
过点作交于点，过点作交于点，
，
，
≌，
，，
设，则，，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
解得，
，，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得或舍，
 

【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
由题可得，，再由，即可求；
先证明≌，得到，再由，得到，从而推导出，，过点作交于点，过点作交于点，证明≌，得到，，设，则，，，，在中，，再由，在中，，结合已知，得到，求出的值，进而确定点坐标，直线与抛物线的交点即为点坐标．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，三角形函数值的定义，待定系数法求函数的解析式的方法是解题的关键．