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2023年上海市普陀区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年上海市普陀区中考数学二模试卷（含解析），共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年上海市普陀区中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共54.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−12的相反数是( )
A. 12 B. −12 C. 2 D. −2
2. 抛掷两枚均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A. 点数和为1． B. 点数和为2 C. 点数和为13． D. 点数和比1大
3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算结果正确的是( )
A. B. C. 3a6÷a3=3a2 D. (3a3)2=9a6
5. 如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 若点A(a,y1)，B(a+1,y2)都在反比例函数y=−k2+1x(k是常数)的图象上，且y1>y2，则a的范围是( )
A. a<−1 B. a>0 C. −1
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
8. 小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是( )
A. 8.6分钟 B. 9分钟 C. 12分钟 D. 16分钟
9. 如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，则sin∠CAD的值为( )
A. 12
B. 55
C. 2 55
D. 54
10. 已知一次函数y=x−3与反比例函数y=5x的图象交于(a,b)，(c,d)两点，则代数式a3+15c+ab−d的值是( )
A. 65 B. −46 C. 35 D. −36
11. 下列实数中，是有理数的为( )
A. 2 B. π C. 0 D. 34
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，则cosB=( )
A. 23 B. 52 C. 53 D. 2 55
13. 一次函数y=2x−3的图象不经过的象限是( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
14. 如果一组数据3、4、5、6、x、8的众数是4，那么这组数据的中位数是( )
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
15. 下列关于圆的说法中，正确的是( )
A. 过三点可以作一个圆 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 圆的直径所在的直线是它的对称轴
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOD=120°，矩形ABCD的面积是9 3，那么这个矩形的周长是( )
A. 3+3 3 B. 4+4 3 C. 6+6 3 D. 8+8 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共18小题，共66.0分）
17. 化简 (−5)2的结果是 ．
18. 某校组织防疫知识大赛，25名参赛同学的得分情况如图所示，这组数据的中位数是______．
19. 计算的结果是______ ．
20. 如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是______m( 3≈1.732, 2≈1.414，结果保留一位小数)．
21. 抛物线y=ax2+bx+c开口向上，且过(−1,0)，下列结论中正确的是______ (填序号即可)．
①若抛物线过(3,0)，则b+2a=0；
②若b=−4a，则不等式的解为0y2；
④若抛物线过(m,0)，且m>3，则抛物线的顶点一定在y=−4a的下方．
22. 如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为CD中点，∠ACD=∠DBE，AC=30，AB=34，则BE= ______ ．
23. 函数y= x−3的定义域是______．
24. 正九边形的中心角等于______度．
25. 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(2,−4)，那么函数值y随自变量x的值的增大而______ .(填“增大”或“减小”)
26. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)关于抛物线y=a(x+2)2的对称轴对称的点的坐标是______ ．
27. 2023年是农历的癸卯年，生肖兔年，那么在英语单词rabbit中，字母b出现的概率是______ ．
28. 已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为______．
29. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、DC上的点，EF//BC，如果AEBE=23，AD=4，BC=9，那么EF的长为______ ．
30. 已知矩形ABCD，AB=5，BC=12，以点A为圆心，10为半径画圆，那么点C的位置是在⊙A的______ ．
31. 如图，在△ABC中，中线AD、BE交于点F，设BA=a，BC=b，那么向量AF用向量a，b表示为______ ．
32. 如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡比为的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为______ 米.
33. 从三角形(非等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB=1，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为______．
34. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，联结AD，将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，如果∠CDE=90°，那么点E到直线BD的距离为______ ．
三、解答题（本大题共15小题，共150.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
35. (本小题8.0分)
解不等式组x+2>−1,①3x−4≤x.②，请按下列步骤完成解答：
(Ⅰ)解不等式①，得______；
(Ⅱ)解不等式②，得______；
(Ⅲ)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为______．
36. (本小题8.0分)
已知：▱ABCD中，∠B=52°，AE平分∠BAD交BC于E点．
(1)求∠BAD的度数；
(2)求∠AEC的度数．
37. (本小题8.0分)
为了了解小区居民骑五种品牌共享单车的情况(五种品牌分别用A、B、C、D、E表示)，某校九(8)班同学在小区街头随机调查了一些骑共享单车出行的居民，并将他们对五种品牌单车的选择情况绘制成如下两个不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是______，C品牌所在扇形的圆心角的大小是______；
(2)补全条形统计图；
(3)若本街道有12000名居民骑共享单车出行，根据调查数据估计本街道有多少居民选择B品牌单车？
38. (本小题8.0分)
如图，BC为⊙O直径，AB切⊙O于B点，AC交⊙O于D点，E为AB中点．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠A=30°，BC=4，求阴影部分的面积．
39. (本小题8.0分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为AB与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线．
(1)在图1中找格点C、D，使四边形ABCD是菱形；
(2)在图1中画点M关于直线AC的对称点M′；
(3)在图2中找格点C，使四边形BCNM为矩形；
(4)在图2中画MN的垂直平分线．
40. (本小题10.0分)
一个小球以初始速度v0=5米/秒运动，并且均匀减速，4秒后停止运动，下左图是第t秒末的速度v1(米/秒)与运动时间t(秒)的函数图象，已知某一时间段内小球运动的路程s(米)等于这一时间段内的平均速度与时长的积．
(1)求v1与t的函数关系式，并求t的取值范围；
(2)求前t秒所运动的路程s与t的函数关系式，并求小球运动的最大路程；
(3)求小球在第3秒到第4秒运动的路程．
41. (本小题10.0分)
[问题背景](1)如图1，C为BG上一点，∠B=∠ACD=∠G，求证：DGBC=CGAB；
[变式迁移](2)如图2，△ACE中，CB⊥AE于B，以C为直角顶点在BC两侧分别作Rt△ACD和Rt△ECF，且，连DF交BC延长线于G，求证：GD=GF；
[拓展创新](3)如图3，AB=3，BC=8，∠ADC=2∠ABD=2∠CBD=60°，直接写出BD的长．
42. (本小题12.0分)
已知抛物线C1：y=ax2−2ax+c经过点(2,3)，与x轴交于A(−1,0)、B两点．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)如图1，已知E(0,−1)，以A、E、C、D为顶点作平行四边形，若C、D两点都在抛物线上，求C、D两点的坐标；
(3)如图2，将抛物线C1沿x轴平移，使其顶点在y轴上，得到抛物线C2，过定点H(0,2)的直线交抛物线C2于M、N两点，过M、N的直线MR、NR与抛物线C2都只有唯一公共点，求证：R点在定直线上运动．
43. (本小题10.0分)
计算：．
44. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，点A的纵坐标为4．
(1)求反比例函数解析式；
(2)点B在反比例函数的图象上，且在点A右侧，过点B作BC//y轴交正比例函数的图象于点C，如果△OBC的面积是12，求点B的坐标．
45. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34．
(1)求边AC的长；
(2)以点B为圆心的圆B与边AC相切时，求⊙B的半径长．
46. (本小题10.0分)
小丽和小杰参与《初中学生阅读时间》的社会调查实践，小丽调查了40名文学社团学生的每天阅读时间，小杰从全校学生名单中随机抽取了40名学生，小丽与小杰整理各自样本数据，如表①所示，请根据上述信息，回答下列问题：
表①
时间段
(小时/天)
小丽抽样人数
小杰抽样人数
0～0.5
6
22
0.5～1
10
10
1～1.5
16
6
1.5～2
8
2
(每组可含最低值，不含最高值)
(1)你认为小丽和小杰谁抽取的样本更具有代表性？答：______ ；
(2)根据具有代表性的样本，把图中的频数分布直方图补画完整；
(3)该校共有学生800名，请估计该校每天阅读时间不低于1小时的学生有多少名？
47. (本小题12.0分)
如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，对角线AC与DB相交于点O，点F在OB上，联结AF，延长AF交边BC于点E，．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)如果∠BAE=∠BCA，，求证：四边形AECD是菱形．
48. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，如图，直线y=x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线经过点A和点C，与x轴交于另一点B．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)求tan∠ACB的值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，如果四边形APCQ是菱形，求点P的坐标．
49. (本小题14.0分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE//CD，交BC延长线于点E．
(1)求CE的长；
(2)P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．
①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：实数−12的相反数是12，
故选：A．
根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为2，是随机事件，符合题意；
C、点数和为13，是不可能事件，不符合题意；
D、点数和为比1大，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】D
【解析】解：A.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确记忆轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转180度后与自身重合的图形是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：a2与3a3不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
3a3⋅a2=3a5，故B错误，不符合题意；
3a6÷a3=3a3，故C错误，不符合题意；
(3a3)2=9a6，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据同类项概念，单项式乘除法则，积的乘方与幂的乘方法则等逐项判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5.【答案】B
【解析】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：B．
根据从左面看得到的图形是左视图可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵k2−1<0，
∴反比例函数y=−k2+1x(k是常数)的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，
①当A(a,y1)，B(a+1,y2)在同一象限，
∵y1>y2，
∴a>a+1，
此不等式无解；
②当点A(a,y1)、B(a+1,y2)在不同象限，
∵y1>y2，
∴a<0，a+1>0，
解得：−1
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A(a,y1)，B(a+1,y2)在同一象限时，②当点A(a,y1)，B(a+1,y2)在不同象限时．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
共有24种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好相邻的结果有12种，
∴甲、乙两人恰好相邻的概率是1224=12，
故选：A．
画树状图，共有24种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好相邻的结果有12种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】C
【解析】解：他从学校回到家需要的时间是10.5+20.2=12分钟．
故选C．
根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用5分钟，则上坡速度是0.2千米/分钟；下坡路长是2千米，用4分钟，因而速度是0.5千米/分钟，由此即可求出答案．
读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
9.【答案】B
【解析】解：连接BD，BI，
∵AB为⊙O直径，
∴∠D=90°，
∵I为△ABC的内心，
∴∠ABI=∠CBI，∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠IBD=∠BID，
∴BD=ID，
∵OI⊥AD，OI过O，
∴AD=2AI，
∴AD=2BD，
∴AB= AD2+BD2= 5BD
∴sin∠CAD=sin∠BAD=BDAB=1 5= 55．
故选：B．
连接BD，BI，求出∠D=90°，根据内心求出∠ABI=∠CBI，∠CAD=∠BAD，求出∠3=∠5，推出BD=ID，求出AD=2BD，利用勾股定理得出AB= 5BD，解直角三角形可求出答案．
本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD=2BD是解此题的关键，有一定的难度．
10.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=x−3与反比例函数y=5x的图象交于(a,b)，(c,d)两点，
∴ab=5，，
∴a、c是方程的两个解，
方程整理得，x2−3x−5=0，
∴a+c=3，a2−3a−5=0，
∴c=3−a，a2=3a+5，a2−3a=5，
=65．
故选：A．
由一次函数y=x−3与反比例函数y=5x的图象交于(a,b)，(c,d)两点，可得出ab=5，，a+c=3，a2−3a−5=0，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征以及函数与方程的关系找出ab=5，，a+c=3，a2−3a−5=0是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：A、 2是无理数，故此选项不符合题意；
B、π是无限不循环小数，属于无理数，故此选项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故此选项符合题意；
D、34是无理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据有理数和无理数的定义逐个判断即可．
本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的定义是解题关键．整数和分数统称有理数，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵sinA=23，
∴cosB=sinA=23，
故选：A．
根据任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即可解答．
本题考查了互余两角的三角函数的关系，熟练掌握互余两角的三角函数的关系是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：∵k=2>0，b=−3<0，
∴一次函数y=2x−3的图象经过第一、三、四象限，
∴一次函数y=2x−3的图象不经过第二象限．
故选：B．
由一次函数的系数，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=2x−3的图象经过第一、三、四象限，进而可得出一次函数y=2x−3的图象不经过第二象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：∵数据3、4、5、6、x、8的众数是4，
∴x=4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：3、4、4、5、6、8，
则中位数为：12×(4+5)=4.5．
故选：B．
根据众数为4，可得x=4，然后把这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中位数．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15.【答案】D
【解析】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．
故选：D．
利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．
16.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
，
∴BC= 3AB，
∵矩形ABCD的面积是9 3，
，
∴AB=3，BC=3 3，
∴这个矩形的周长=6+6 3，
故选：C．
根据矩形的性质得出OA=OB，进而利用等边三角形的性质和判定解答即可．
此题主要考查了勾股定理、矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB是解决问题的关键关键．
17.【答案】5
【解析】解： (−5)2=|−5|=5．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质： a2=|a|的运用．
18.【答案】98
【解析】解：共有25个数，最中间的数为第13个数，是98，
所以数据的中位数为98．
故答案为：98．
利用中位数的定义即可求解．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
19.【答案】−2x+2
【解析】解：
=−2x+2．
故答案为：−2x+2．
先通分，再根据分式的减法法则进行计算即可．
本题考查了分式的加减，能正确通分是解此题的关键．
20.【答案】23.7
【解析】解：过点A作AE⊥CD于点E，得矩形DEAB，
由题意得，设塔高CD=x m，则BD=AE=x m，CE=(x−24)m，
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，
则CEAE= 33，即x−24x= 33，
解得：x≈56.8．
答：古塔CD的高度约为56.8米．
过点D作DE⊥AB于点E，设塔高CD=x m，则BD=AE=x m，CE=(x−24)m，在Rt△ACE中，利用30°角的正切列出方程可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段，注意方程思想的运用．
21.【答案】①③④
【解析】解：①∵抛物线过(−1,0)和(3,0)，
∴对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b+2a=0，故①正确；
，
∴抛物线对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∴抛物线过(0,c)和(4,c)，
∴不等式的解为0
∴a−b+c=0，
∴c=b−a，
，
，
，
，
∴抛物线对称轴在直线x=−2左边，
，
∴y1>y2，故③正确；
④∵抛物线过点(−1,0)，(m,0)，
，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵m>3，
，
∴抛物线的顶点一定在y=−4a的下方，故④正确．
故答案为：①③④．
根据对称性求得对称轴，即可求得b+2a=0，即可判断①；求得抛物线与直线y=c的交点即可判断②；由题意求得抛物线对称轴在直线x=−2左边，根据二次函数的性质即可判断③；求得顶点坐标，由m>3，即可顶点，即可判断④．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，解一元一次不等式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】20
【解析】解：设DE=CE=x，BD=y，则，
∵E为CD中点，
．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
∵∠ACD=∠DBE，
∴△ADC∽△EDB，
，
，
．
由勾股定理得：
∵AD2+CD2=AC2，
，
，
∵x>0，y>0，
解得：x=12，y=16．
∴DE=12，AD=18．
∵△ADC∽△EDB，
，
，
∴BE=20．
故答案为：20．
设DE=CE=x，BD=y，则，利用相似三角形的判定定理证得△ADC∽△EDB，由相似三角形的性质得到；利用勾股定理得到，联立即可求得x，y值，再利用相似三角形的性质列出比例式即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】x≥3
【解析】解：根据题意得：x−3≥0，
解得：x≥3．
故答案为x≥3．
根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
24.【答案】40
【解析】解：正九边形的中心角等于：3609=40°．
故答案是：40．
利用360度除以边数9，即可求解．
本题考查了正多边形的计算，理解正多边形的中心角相等是关键．
25.【答案】减小
【解析】解：首先把x=2，y=−4代入y=kx，
得2k=−4，k=−2<0，
再根据正比例函数图象的性质，得y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
运用待定系数法求出k后即可判断函数的增减性．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是首先能够熟练求得k的值．其次要熟悉正比例函数图象的性质．
26.【答案】(−5,4)
【解析】解：的对称轴为：x=−2，
∴A关于x=−2的对称点为：(−5,4)，
故答案为：(−5,4)．
先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
27.【答案】13
【解析】解：英语单词“rabbit”中共6个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有6种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有2种，
故其概率是26=13．
故答案为：13．
让字母“b”的个数除以总字母数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
28.【答案】8
【解析】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是，
又∵第五组的频率是0.10，
∴第六组的频率为1−(0.7+0.10)=0.2，
∴第六组的频数为：40×0.2=8．
故答案为：8．
首先根据频率=频数÷总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算．
本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，比较简单．
29.【答案】6
【解析】解：延长BA，与CD的延长线交于点G，如图，
∵AD//BC，AD=4，BC=9，
∴△GAD∽△GBC，
，
∵AEBE=23，
，，
∵EF//BC，
∴△GEF∽△GBC，
，
∵BC=9，
∴EF=6．
故答案为：6．
延长BA，与CD的延长线交于点G，易证明△GAD∽△GBC，得到，进而得到，再证明△GEF∽△GBC，利用相似三角形的性质即可解答．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题关键．
30.【答案】外
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=5，BC=12，
∴AC= AB2+BC2= 52+122=13，
∵⊙A的半径为10，且13>10，
∴点C到圆心A的距离大于⊙A的半径，
∴点C在⊙A外，
故答案为：外．
由矩形的性质得∠A=90°，根据勾股定理得AC= AB2+BC2=13，可知点C到圆心A的距离大于⊙A的半径，则点C在⊙A外，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，根据勾股定理求出AC的长是解题的关键．
31.【答案】−23a+13b
【解析】解：∵中线AD、BE交于点F，
∴AF=2DF，
∴AF=23AD，
∵AD=AB+BD，
∴AD=−a+12b，
．
故答案为：−23a+13b．
首先证明AF=2DF，再利用三角形法则求出AD，可得结论．
本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
32.【答案】5
【解析】解：水平距离为4m，坡比为，
∴竖直高度米)，
∴由勾股定理得： 32+42=5(米)．
故答案为：5．
根据坡度为0.75求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可．
本题是基础题，考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，以及勾股定理的运用．
33.【答案】32
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答．
设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得BCBA=BDBC，列出方程即可解出AB的长，进而得到AC=3，利用△BCD∽△BAC，得CDAC=BDBC=12，求出CD解决问题．
【解答】
解：∵△BCD∽△BAC，
∴BCBA=BDBC，设AB=x，
∴22=x，
∵x>0，
∴x=4，
∴AC=AD=4−1=3，
∵△BCD∽△BAC，
∴CDAC=BDBC=12，
∴CD=32．
故答案为：32
34.【答案】5−2 3
【解析】解：过点A作AT⊥BC于点T．
∵DE⊥CB，
∴∠CDE=90°，
由翻折变换的性质可知∠ADC=∠ADE，DE=CD，
，
，
∵AT⊥BD，
∴AT=DT，
，
，
．
故答案为：5−2 3．
过点A作AT⊥BC于点T.证明，求出BT，DT，可得DE的长．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
35.【答案】x>−3 x≤2 −3
(Ⅱ)解不等式②，得x≤2；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为−3
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
36.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=52°，
∴∠BAD=180°−∠B=180°−52°=128°；
(2)∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∵∠B=52°，
∴∠BAE=∠AEB=64°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=52°+64°=116°．
【解析】(1)由平行四边形的性质可求出答案；
(2)由角平分线的性质及平行四边形的性质可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
37.【答案】200 36°
【解析】解：(1)样本容量为：80÷40%=200，
360°×20200=36°，
故答案为：200，36°；
(2)A组人数为200×30%=60(人)，
D组的人数为：200−60−80−20−10=30(人)，
补全条形统计图如下：
(3)12000×80200=4800(人)，
答：本街道有4800名居民选择B品牌单车．
(1)根据频率=频数样本容量即可求出答案，求出C组所占的百分比即可求出相应的圆心角的度数；
(2)求出A组、D组的人数，即可补全条形统计图；
(3)求出样本中选择B品牌单车的居民人数所占的百分比即可估计总体的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图以及样本估计总体，理解扇形统计图、条形统计图中数量之间的关系以及频率=频数样本容量是正确解答的关键．
38.【答案】(1)证明：连接OD，OE，
∵AB切⊙O于B点，
∴∠OBE=90°，
∵E为AB中点，O为BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//AC，
∴∠BOE=∠C，∠DOE=∠CDO，
∵OC=OD，
∴∠C=∠CDO，
∴∠BOE=∠DOE，
∵OB=OD，OE=OE，
∴△BOE≌△DOE(SAS)，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥AD，垂足为G，
∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB= 3BC=4 3，AC=2BC=8，∠C=90°−∠A=60°，
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°，OC=OD=CD=12BC=2，
∴∠BOD=180°−∠COD=120°，AD=AC−DC=8−2=6，
∴OF=OC⋅sin60°=2× 32= 3，
∵∠ODE=90°，
∴∠ADE=180°−∠ODE−∠CDO=30°，
∴∠A=∠ADE=30°，
∴AE=DE，
∴AG=DG=12AD=3，
∴GE=AG⋅tan30°=3× 33= 3，
∴阴影部分的面积=△ABC的面积−△COD的面积−扇形BOD的面积−△DEA的面积
=12AB⋅BC−12CD⋅OF−120π×22360−12AD⋅EG
=12×4×4 3−12×2× 3−43π−12×6× 3
=4 3−43π，
∴阴影部分的面积为4 3−43π.
【解析】(1)连接OD，OE，根据切线的性质可得∠OBE=90°，再利用三角形的中位线定理可得OE//AC，从而利用平行线和等腰三角形的性质可得∠BOE=∠DOE，然后证明△BOE≌△DOE，再利用全等三角形的性质可得∠ODE=∠OBE=90°，即可解答；
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥AD，垂足为G，根据含30度角的直角三角形可得AB=4 3，AC=8，∠C=60°，从而可得△COD是等边三角形，进而可求出∠BOD，∠CDO的度数，OF的长，然后求出∠A=∠ADE=30°，从而可得AE=DE，再利用等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义求出EG的长，
最后根据阴影部分的面积=△ABC的面积−△COD的面积−扇形BOD的面积−△DEA的面积，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，切线的判定与性质，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
39.【答案】解：如下图：
(1)菱形ABCD即为所求；
(2)点M′即为所求；
(3)矩形BCNM即为所求；
(4)EF即为所求．
【解析】(1)根据四条边相等的四边形是菱形作图；
(2)根据轴对称的性质作图；
(3)根据网格线的特点作出正方形ABCD，再网格线的特征作出矩形BCNM；
(4)根据网格线的特点作出AD的垂直平分线即可．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点是解题的关键．
40.【答案】解：(1)设v1与t的函数关系式为，由题意，
则，
解得：k=−54b=5，
，
∴v1与t的函数关系式为；
(2)由题意，得t秒时速度为，
∴平均速度为：，
，
∵−58<0，
∴当t<4时，s随t的增大而增大，当t>4时，s随t的增大而减小，
∵0≤t≤4，
∴当t=4时，s有最大值，最大值为10，
∴小球运动的最大路程为10米；
(3)当t=3时，s=758，当t=4时，s=10，
米，
故第3秒到第4秒运动的路程为58米．
【解析】(1)设vt与t的函数关系式为，由待定系数法求出其解即可；
(2)先求出平均速度，由路程=速度×时间就可以得出结论；
(3)求出第4秒和第3秒的路程，再相减即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均速度是关键．
41.【答案】(1)证明：，∠ACD=∠G，
∴∠ACB=∠CDG，
∵∠B=∠G，
∴△ABC∽△CGD，
∴DGBC=CGAB；
(2)证明：过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则DM//FN，
∴△DGM∽△FNG，
∴DGFG=DMFN，
由(1)同理得△DCM∽△CAB，△FNC∽△CBE，
∴DCAC=DMBC，FNBC=CFCE，
，
∴DMBC=FNBC，
∴DM=FN；
∴GD=GF；
(3)解：如图3，过点D作PG⊥BD，交BA的延长线于G，交BC的延长线于P，
∴∠BDP=∠BDG=90°，
∵∠ADC=2∠ABD=2∠CBD=60°，
∴∠DBA=∠CBD=30°，
∴△DBP≌△DBG(ASA)，
∴DG=PD，BP=BG，
∴△BGP是等边三角形，
设DG=x，则PD=x，PC=2x−8，AG=2x−3，
∵∠CDG=∠P+∠PCD=∠ADC+∠ADG，
∴∠ADG=∠PCD，
∵∠G=∠P=60°，
∴△ADG∽△DCP，
∴DGPC=AGPD，即x2x−8=2x−3x，
解得：x1=6，x2=43(舍去)，
∴DG=6，
在Rt△BDP中，∠DBP=30°，
∴BD=6 3．
【解析】(1)根据两角相等证明△ABC∽△CGD，即可解答；
(2)过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则DM//FN，证明△DGM∽△FNG，列比例式，根据(1)中的一线三等角可得△DCM∽△CAB，△FNC∽△CBE，则DCAC=DMBC，FNBC=CFCE，结合已知可得DM=FN；
(3)如图3，过点D作PG⊥BD，交BA的延长线于G，交BC的延长线于P，证明△DBP≌△DBG(ASA)，得DG=PD，BP=BG，可得△BGP是等边三角形，设DG=x，则PD=x，PC=2x−8，AG=2x−3，证明△ADG∽△DCP，列比例式可得结论．
此题属于相似三角形的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质以及一线三等角的模型，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
42.【答案】解：(1)将点(2,3)和点(−1,0)代入抛物线y=ax2−2ax+c，得，
解得a=−1c=3，
故解析式为y=−x2+2x+3；
(2)若AE为平行四边形的边，设C(m,−m2+2m+3)，，
将D点代入抛物线得，
解得m=1，
∴C(1,4)，D(2,3)；
若AE为平行四边形的对角线，设C(m,−m2+2m+3)，
由平移得，
将D点代入抛物线得，
解得m=1，或m=−2，
∴C(1,4)，D(−2,−5)或C(−2,−5)，D(1,4)；
综上所述，C(1,4)，D(2,3)或C(1,4)，D(−2,−5)；
(3)∵y=−x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，
将抛物线C1沿x轴平移，使其顶点在y轴上，得到抛物线C2，
，
设抛物线上任意两点(x1,y1)，(x2,y2)所在直线解析式为y=kx+b，
与抛物线C2联立得：x2+kx+b−4=0，
∴x1+x2=−k，，得，，；
设M、N两点横坐标为m、n，
取x1=m，x2=n，
则MN解析析为y=−(m+n)x+mn+4；
∵MN过H(0,2)，
，即mn=−2；
取x1=m，x2=m，则MR解析析为；
取x1=n，x2=n，则NR解析析为；
解，得，
∴R点在定直线y=6上运动．
【解析】(1)将点(2,3)和点(−1,0)代入抛物线y=ax2−2ax+c，解方程组即可得到结论；(2)若AE为平行四边形的边，设C(m,−m2+2m+3)，，若AE为平行四边形的对角线，设C(m,−m2+2m+3)，由平移得，解方程组即可得到结论；
(3)求得y=−x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，根据平移的性质得到，设抛物线上任意两点(x1,y1)，(x2,y2)所在直线解析式为y=kx+b，根据一元二次方程根与系数的关系的性质得到x1+x2=−k，，得，，；设MN两点横坐标为m、n，取x1=m，x2=n，得到解析式为y=−(m+n)x+mn+4；求得，即mn=−2；取x1=m，x2=m，得到MR解析析为；取x1=n，x2=n，得到NR解析析为；解方程组即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
43.【答案】解：原式
=−34．
【解析】根据绝对值的代数意义得，利用特殊角的三角函数可得tan60°= 3，则，根据负整数幂的运算法则得2−2=14，再将2 3+1分母有理化得，再计算加减法即可求解．
本题主要考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、分母有理化、特殊角的三角函数值，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
44.【答案】解：(1)∵点A在正比例函数y=2x的图象上，点A的纵坐标为4，
∴A(2,4)，
∵反比例函数y=mx的图象过点A，
∴m=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
(2)设，则C(x,2x)，
，
∵△OBC的面积是12，
，
∴x2−4x−12=0，
解得x1=6，x2=−2，
∵B在点A右侧，
【解析】(1)由正比例函数解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)设，则C(x,2x)，，利用三角形面积公式即可得到，求得x=6，即可求得
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，正确表示出点的坐标是解题的关键．
45.【答案】解：(1)作A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC−BE=5−4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC= 32+12= 10；
(2)设切点为D，连接BD，则BD⊥AC．
，
．
∴⊙B的半径为3 102．
【解析】(1)过A作AE⊥BC于点E，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
46.【答案】小杰
【解析】解：(1)样本具有代表性，因此小杰抽取的样本具有代表性，
故答案为：小杰；
(2)由小杰所抽取的40名学生每天阅读时间各组的人数，画出相应的频数分布直方图如下：
名)，
答：该校800名学生中每天阅读时间不低于1小时的大约有160名．
(1)根据样本抽取的原则，即样本具有代表性进行判断即可；
(2)根据小杰抽取的40名学生每天阅读时间各组的人数画出相应的频数分布直方图即可；
(3)求出样本中“每天阅读时间不低于1小时的学生”所占的百分比，进而估计总体中“每天阅读时间不低于1小时的学生”所占的百分比，再求出相应人数即可．
本题考查频数分布直方图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
47.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴∠ACB=∠DBC，AC=BD，
∵AD//BC，
，
∴AO=DO，BO=CO，
，
，
又∵∠AOF=∠DOC，
∴△AOF∽△COD，
，
∴AF//CD，
又∵AD//BC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)∵AF//CD，
∴∠AEB=∠DCB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
，∠ABE=∠ABC，
∴△ABE∽△CBA，
∴ABBC=BEAB，
∴AB2=BE⋅BC，
，
∴AB=CE，
∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形．
【解析】(1)通过证明△AOF∽△COD，可得，可证AF//CD，即可求解；
(2)通过证明△ABE∽△CBA，可求AB=CE=AE，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
48.【答案】解：(1)对于，令x=0，则y=5，即点C(0,5)，
由一次函数的表达式知，OA=OC=5，即点A(−5,0)，
将点A的坐标代入抛物线的表达式得：，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2+6x+5；
(2)令y=x2+6x+5=0，
解得：x=−1或−5，即点B(−1,0)，
由点A、C的坐标知，∠CAO=45°，AC=5 2，
过点B作BT⊥AC于点T，则，
则，
则；
(3)设点P(m,n)且，点Q(s,t)，
由题意得，AC是菱形的对角线，则由中点坐标公式和AP=AQ得：
，解得：，
则点P的坐标为：或
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)过点B作BT⊥AC于点T，则，得到，即可求解；
(3)由题意得，AC是菱形的对角线，则由中点坐标公式和AP=AQ，列出方程组即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、菱形的性质、二次函数的性质、解直角三角形等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
49.【答案】解：(1)∵AE//CD，
∴BCBE=DCAE，
∵BC=DC，
∴BE=AE，
设CE=x，则AE=BE=x+2，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+CE2=AE2，即32+x2=(x+2)2，
∴x=54，即CE=54；
(2)①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC>∠P，
∴∠ACQ=∠P，
又∵AE//CD，
∴∠ACQ=∠CAE，
∴∠CAE=∠P，
∴△ACE∽△PCA，
∴AC2=CE⋅CP，即32=54CP，
∴CP=365；
②设CP=t，则PE=t−54，
∵∠ACB=90°，
∴AP= 9+t2，
∵AE//CD，
∴AQAP=ECEP，
即AQ t2+9=54t−54=54t−5，
∴AQ=5 t2+94t−5，
若两圆外切，那么AQ=5 t2+94t−5=1，
此时方程无实数解；
若两圆内切，那么AQ=5 t2+94t−5=5，
∴15t2−40t+16=0，
解之得t=20±4 1015，
又∵t>54，
∴t=20+4 1015．
【解析】(1)设CE=x，则AE=BE=x+2，依据勾股定理即可得到CE=54；
(2)①依据△ACE∽△PCA，即可得到AC2=CE⋅CP，即32=54CP，进而得到CP=365；
②分两种情况讨论：若两圆外切，那么AQ=5 t2+94t−5=1，此时方程无实数解；若两圆内切，那么AQ=5 t2+94t−5=5，即可得到t=20+4 1015．
本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例解决问题．
2023年上海市普陀区中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共16小题，共54.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−12的相反数是( )
A. 12 B. −12 C. 2 D. −2
2. 抛掷两枚均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )
A. 点数和为1． B. 点数和为2 C. 点数和为13． D. 点数和比1大
3. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算结果正确的是( )
A. B. C. 3a6÷a3=3a2 D. (3a3)2=9a6
5. 如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
6. 若点A(a,y1)，B(a+1,y2)都在反比例函数y=−k2+1x(k是常数)的图象上，且y1>y2，则a的范围是( )
A. a<−1 B. a>0 C. −1
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
8. 小明从家骑车上学，先上坡到达A地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是( )
A. 8.6分钟 B. 9分钟 C. 12分钟 D. 16分钟
9. 如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，则sin∠CAD的值为( )
A. 12
B. 55
C. 2 55
D. 54
10. 已知一次函数y=x−3与反比例函数y=5x的图象交于(a,b)，(c,d)两点，则代数式a3+15c+ab−d的值是( )
A. 65 B. −46 C. 35 D. −36
11. 下列实数中，是有理数的为( )
A. 2 B. π C. 0 D. 34
12. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=23，则cosB=( )
A. 23 B. 52 C. 53 D. 2 55
13. 一次函数y=2x−3的图象不经过的象限是( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
14. 如果一组数据3、4、5、6、x、8的众数是4，那么这组数据的中位数是( )
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
15. 下列关于圆的说法中，正确的是( )
A. 过三点可以作一个圆 B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 平分弦的直径垂直于弦 D. 圆的直径所在的直线是它的对称轴
16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠AOD=120°，矩形ABCD的面积是9 3，那么这个矩形的周长是( )
A. 3+3 3 B. 4+4 3 C. 6+6 3 D. 8+8 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共18小题，共66.0分）
17. 化简 (−5)2的结果是 ．
18. 某校组织防疫知识大赛，25名参赛同学的得分情况如图所示，这组数据的中位数是______．
19. 计算的结果是______ ．
20. 如图，为了测量某风景区内一座古塔CD的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼AB的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为45°和30°，已知高楼AB的高为24m，则古塔CD的高度为是______m( 3≈1.732, 2≈1.414，结果保留一位小数)．
21. 抛物线y=ax2+bx+c开口向上，且过(−1,0)，下列结论中正确的是______ (填序号即可)．
①若抛物线过(3,0)，则b+2a=0；
②若b=−4a，则不等式的解为0
④若抛物线过(m,0)，且m>3，则抛物线的顶点一定在y=−4a的下方．
22. 如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为CD中点，∠ACD=∠DBE，AC=30，AB=34，则BE= ______ ．
23. 函数y= x−3的定义域是______．
24. 正九边形的中心角等于______度．
25. 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点(2,−4)，那么函数值y随自变量x的值的增大而______ .(填“增大”或“减小”)
26. 在平面直角坐标系xOy中，点A(1,4)关于抛物线y=a(x+2)2的对称轴对称的点的坐标是______ ．
27. 2023年是农历的癸卯年，生肖兔年，那么在英语单词rabbit中，字母b出现的概率是______ ．
28. 已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频数为______．
29. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是AB、DC上的点，EF//BC，如果AEBE=23，AD=4，BC=9，那么EF的长为______ ．
30. 已知矩形ABCD，AB=5，BC=12，以点A为圆心，10为半径画圆，那么点C的位置是在⊙A的______ ．
31. 如图，在△ABC中，中线AD、BE交于点F，设BA=a，BC=b，那么向量AF用向量a，b表示为______ ．
32. 如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m，如果在坡比为的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为______ 米.
33. 从三角形(非等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB=1，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为______．
34. 如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，联结AD，将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，如果∠CDE=90°，那么点E到直线BD的距离为______ ．
三、解答题（本大题共15小题，共150.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
35. (本小题8.0分)
解不等式组x+2>−1,①3x−4≤x.②，请按下列步骤完成解答：
(Ⅰ)解不等式①，得______；
(Ⅱ)解不等式②，得______；
(Ⅲ)将不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为______．
36. (本小题8.0分)
已知：▱ABCD中，∠B=52°，AE平分∠BAD交BC于E点．
(1)求∠BAD的度数；
(2)求∠AEC的度数．
37. (本小题8.0分)
为了了解小区居民骑五种品牌共享单车的情况(五种品牌分别用A、B、C、D、E表示)，某校九(8)班同学在小区街头随机调查了一些骑共享单车出行的居民，并将他们对五种品牌单车的选择情况绘制成如下两个不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的样本容量是______，C品牌所在扇形的圆心角的大小是______；
(2)补全条形统计图；
(3)若本街道有12000名居民骑共享单车出行，根据调查数据估计本街道有多少居民选择B品牌单车？
38. (本小题8.0分)
如图，BC为⊙O直径，AB切⊙O于B点，AC交⊙O于D点，E为AB中点．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠A=30°，BC=4，求阴影部分的面积．
39. (本小题8.0分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的正方形网格中，A、B为格点，M为AB与网格横线的交点，请仅用无刻度直尺，在给定的网格中依次完成下列画图，过程线用虚线，结果线用实线．
(1)在图1中找格点C、D，使四边形ABCD是菱形；
(2)在图1中画点M关于直线AC的对称点M′；
(3)在图2中找格点C，使四边形BCNM为矩形；
(4)在图2中画MN的垂直平分线．
40. (本小题10.0分)
一个小球以初始速度v0=5米/秒运动，并且均匀减速，4秒后停止运动，下左图是第t秒末的速度v1(米/秒)与运动时间t(秒)的函数图象，已知某一时间段内小球运动的路程s(米)等于这一时间段内的平均速度与时长的积．
(1)求v1与t的函数关系式，并求t的取值范围；
(2)求前t秒所运动的路程s与t的函数关系式，并求小球运动的最大路程；
(3)求小球在第3秒到第4秒运动的路程．
41. (本小题10.0分)
[问题背景](1)如图1，C为BG上一点，∠B=∠ACD=∠G，求证：DGBC=CGAB；
[变式迁移](2)如图2，△ACE中，CB⊥AE于B，以C为直角顶点在BC两侧分别作Rt△ACD和Rt△ECF，且，连DF交BC延长线于G，求证：GD=GF；
[拓展创新](3)如图3，AB=3，BC=8，∠ADC=2∠ABD=2∠CBD=60°，直接写出BD的长．
42. (本小题12.0分)
已知抛物线C1：y=ax2−2ax+c经过点(2,3)，与x轴交于A(−1,0)、B两点．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)如图1，已知E(0,−1)，以A、E、C、D为顶点作平行四边形，若C、D两点都在抛物线上，求C、D两点的坐标；
(3)如图2，将抛物线C1沿x轴平移，使其顶点在y轴上，得到抛物线C2，过定点H(0,2)的直线交抛物线C2于M、N两点，过M、N的直线MR、NR与抛物线C2都只有唯一公共点，求证：R点在定直线上运动．
43. (本小题10.0分)
计算：．
44. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，点A的纵坐标为4．
(1)求反比例函数解析式；
(2)点B在反比例函数的图象上，且在点A右侧，过点B作BC//y轴交正比例函数的图象于点C，如果△OBC的面积是12，求点B的坐标．
45. (本小题10.0分)
如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=34．
(1)求边AC的长；
(2)以点B为圆心的圆B与边AC相切时，求⊙B的半径长．
46. (本小题10.0分)
小丽和小杰参与《初中学生阅读时间》的社会调查实践，小丽调查了40名文学社团学生的每天阅读时间，小杰从全校学生名单中随机抽取了40名学生，小丽与小杰整理各自样本数据，如表①所示，请根据上述信息，回答下列问题：
表①
时间段
(小时/天)
小丽抽样人数
小杰抽样人数
0～0.5
6
22
0.5～1
10
10
1～1.5
16
6
1.5～2
8
2
(每组可含最低值，不含最高值)
(1)你认为小丽和小杰谁抽取的样本更具有代表性？答：______ ；
(2)根据具有代表性的样本，把图中的频数分布直方图补画完整；
(3)该校共有学生800名，请估计该校每天阅读时间不低于1小时的学生有多少名？
47. (本小题12.0分)
如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，对角线AC与DB相交于点O，点F在OB上，联结AF，延长AF交边BC于点E，．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)如果∠BAE=∠BCA，，求证：四边形AECD是菱形．
48. (本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中，如图，直线y=x+b与x轴交于点A，与y轴交于点C.抛物线经过点A和点C，与x轴交于另一点B．
(1)求这条抛物线的表达式；
(2)求tan∠ACB的值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，如果四边形APCQ是菱形，求点P的坐标．
49. (本小题14.0分)
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE//CD，交BC延长线于点E．
(1)求CE的长；
(2)P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．
①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：实数−12的相反数是12，
故选：A．
根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、点数和为1，是不可能事件，不符合题意；
B、点数和为2，是随机事件，符合题意；
C、点数和为13，是不可能事件，不符合题意；
D、点数和为比1大，是必然事件，不符合题意；
故选：B．
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】D
【解析】解：A.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，正确记忆轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转180度后与自身重合的图形是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：a2与3a3不是同类项，不能合并，故A错误，不符合题意；
3a3⋅a2=3a5，故B错误，不符合题意；
3a6÷a3=3a3，故C错误，不符合题意；
(3a3)2=9a6，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据同类项概念，单项式乘除法则，积的乘方与幂的乘方法则等逐项判断即可．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5.【答案】B
【解析】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：B．
根据从左面看得到的图形是左视图可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，掌握从左面看得到的图形是左视图是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵k2−1<0，
∴反比例函数y=−k2+1x(k是常数)的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，
①当A(a,y1)，B(a+1,y2)在同一象限，
∵y1>y2，
∴a>a+1，
此不等式无解；
②当点A(a,y1)、B(a+1,y2)在不同象限，
∵y1>y2，
∴a<0，a+1>0，
解得：−1
根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点A(a,y1)，B(a+1,y2)在同一象限时，②当点A(a,y1)，B(a+1,y2)在不同象限时．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：画树状图如下：
共有24种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好相邻的结果有12种，
∴甲、乙两人恰好相邻的概率是1224=12，
故选：A．
画树状图，共有24种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好相邻的结果有12种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】C
【解析】解：他从学校回到家需要的时间是10.5+20.2=12分钟．
故选C．
根据图象可知：小明从家骑车上学，上坡的路程是1千米，用5分钟，则上坡速度是0.2千米/分钟；下坡路长是2千米，用4分钟，因而速度是0.5千米/分钟，由此即可求出答案．
读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
9.【答案】B
【解析】解：连接BD，BI，
∵AB为⊙O直径，
∴∠D=90°，
∵I为△ABC的内心，
∴∠ABI=∠CBI，∠CAD=∠BAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
∴∠IBD=∠BID，
∴BD=ID，
∵OI⊥AD，OI过O，
∴AD=2AI，
∴AD=2BD，
∴AB= AD2+BD2= 5BD
∴sin∠CAD=sin∠BAD=BDAB=1 5= 55．
故选：B．
连接BD，BI，求出∠D=90°，根据内心求出∠ABI=∠CBI，∠CAD=∠BAD，求出∠3=∠5，推出BD=ID，求出AD=2BD，利用勾股定理得出AB= 5BD，解直角三角形可求出答案．
本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD=2BD是解此题的关键，有一定的难度．
10.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y=x−3与反比例函数y=5x的图象交于(a,b)，(c,d)两点，
∴ab=5，，
∴a、c是方程的两个解，
方程整理得，x2−3x−5=0，
∴a+c=3，a2−3a−5=0，
∴c=3−a，a2=3a+5，a2−3a=5，
=65．
故选：A．
由一次函数y=x−3与反比例函数y=5x的图象交于(a,b)，(c,d)两点，可得出ab=5，，a+c=3，a2−3a−5=0，将其代入变形后的代数式中即可求出结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征以及函数与方程的关系找出ab=5，，a+c=3，a2−3a−5=0是解题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：A、 2是无理数，故此选项不符合题意；
B、π是无限不循环小数，属于无理数，故此选项不符合题意；
C、0是整数，属于有理数，故此选项符合题意；
D、34是无理数，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据有理数和无理数的定义逐个判断即可．
本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的定义是解题关键．整数和分数统称有理数，初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
12.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵sinA=23，
∴cosB=sinA=23，
故选：A．
根据任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即可解答．
本题考查了互余两角的三角函数的关系，熟练掌握互余两角的三角函数的关系是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：∵k=2>0，b=−3<0，
∴一次函数y=2x−3的图象经过第一、三、四象限，
∴一次函数y=2x−3的图象不经过第二象限．
故选：B．
由一次函数的系数，利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=2x−3的图象经过第一、三、四象限，进而可得出一次函数y=2x−3的图象不经过第二象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：∵数据3、4、5、6、x、8的众数是4，
∴x=4，
这组数据按照从小到大的顺序排列为：3、4、4、5、6、8，
则中位数为：12×(4+5)=4.5．
故选：B．
根据众数为4，可得x=4，然后把这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中位数．
本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15.【答案】D
【解析】解：A、过不在同一直线上的三个点一定能作一个圆，故错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不符合题意；
C、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；
D、圆的直径所在的直线是它的对称轴，正确，符合题意．
故选：D．
利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
考查了确定圆的条件及圆的有关性质，解题的关键是了解有关性质及定义，难度不大．
16.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
，
∴BC= 3AB，
∵矩形ABCD的面积是9 3，
，
∴AB=3，BC=3 3，
∴这个矩形的周长=6+6 3，
故选：C．
根据矩形的性质得出OA=OB，进而利用等边三角形的性质和判定解答即可．
此题主要考查了勾股定理、矩形的性质和含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出AB是解决问题的关键关键．
17.【答案】5
【解析】解： (−5)2=|−5|=5．
根据二次根式的性质解答．
解答此题，要弄清二次根式的性质： a2=|a|的运用．
18.【答案】98
【解析】解：共有25个数，最中间的数为第13个数，是98，
所以数据的中位数为98．
故答案为：98．
利用中位数的定义即可求解．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，熟练掌握中位数的定义是解题的关键．
19.【答案】−2x+2
【解析】解：
=−2x+2．
故答案为：−2x+2．
先通分，再根据分式的减法法则进行计算即可．
本题考查了分式的加减，能正确通分是解此题的关键．
20.【答案】23.7
【解析】解：过点A作AE⊥CD于点E，得矩形DEAB，
由题意得，设塔高CD=x m，则BD=AE=x m，CE=(x−24)m，
在Rt△ACE中，∠CAE=30°，
则CEAE= 33，即x−24x= 33，
解得：x≈56.8．
答：古塔CD的高度约为56.8米．
过点D作DE⊥AB于点E，设塔高CD=x m，则BD=AE=x m，CE=(x−24)m，在Rt△ACE中，利用30°角的正切列出方程可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段，注意方程思想的运用．
21.【答案】①③④
【解析】解：①∵抛物线过(−1,0)和(3,0)，
∴对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b+2a=0，故①正确；
，
∴抛物线对称轴为直线x=−−4a2a=2，
∴抛物线过(0,c)和(4,c)，
∴不等式的解为0
∴a−b+c=0，
∴c=b−a，
，
，
，
，
∴抛物线对称轴在直线x=−2左边，
，
∴y1>y2，故③正确；
④∵抛物线过点(−1,0)，(m,0)，
，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵m>3，
，
∴抛物线的顶点一定在y=−4a的下方，故④正确．
故答案为：①③④．
根据对称性求得对称轴，即可求得b+2a=0，即可判断①；求得抛物线与直线y=c的交点即可判断②；由题意求得抛物线对称轴在直线x=−2左边，根据二次函数的性质即可判断③；求得顶点坐标，由m>3，即可顶点，即可判断④．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式的关系，解一元一次不等式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22.【答案】20
【解析】解：设DE=CE=x，BD=y，则，
∵E为CD中点，
．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDE=90°，
∵∠ACD=∠DBE，
∴△ADC∽△EDB，
，
，
．
由勾股定理得：
∵AD2+CD2=AC2，
，
，
∵x>0，y>0，
解得：x=12，y=16．
∴DE=12，AD=18．
∵△ADC∽△EDB，
，
，
∴BE=20．
故答案为：20．
设DE=CE=x，BD=y，则，利用相似三角形的判定定理证得△ADC∽△EDB，由相似三角形的性质得到；利用勾股定理得到，联立即可求得x，y值，再利用相似三角形的性质列出比例式即可得出结论．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
23.【答案】x≥3
【解析】解：根据题意得：x−3≥0，
解得：x≥3．
故答案为x≥3．
根据二次根式的性质的意义，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
24.【答案】40
【解析】解：正九边形的中心角等于：3609=40°．
故答案是：40．
利用360度除以边数9，即可求解．
本题考查了正多边形的计算，理解正多边形的中心角相等是关键．
25.【答案】减小
【解析】解：首先把x=2，y=−4代入y=kx，
得2k=−4，k=−2<0，
再根据正比例函数图象的性质，得y随x的增大而减小．
故答案为：减小．
运用待定系数法求出k后即可判断函数的增减性．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是首先能够熟练求得k的值．其次要熟悉正比例函数图象的性质．
26.【答案】(−5,4)
【解析】解：的对称轴为：x=−2，
∴A关于x=−2的对称点为：(−5,4)，
故答案为：(−5,4)．
先求出抛物线的对称轴，再根据轴对称的性质求解．
本题考查了二次函数的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．
27.【答案】13
【解析】解：英语单词“rabbit”中共6个字母，其中共2个“b”，任意取出一个字母，有6种情况可能出现，取到字母“b”的可能性有2种，
故其概率是26=13．
故答案为：13．
让字母“b”的个数除以总字母数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．
28.【答案】8
【解析】解：根据题意，得：第一组到第四组的频率和是，
又∵第五组的频率是0.10，
∴第六组的频率为1−(0.7+0.10)=0.2，
∴第六组的频数为：40×0.2=8．
故答案为：8．
首先根据频率=频数÷总数，计算从第一组到第四组的频率之和，再进一步根据一组数据中，各组的频率和是1，进行计算．
本题主要考查了对频率、频数灵活运用，注意：各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1，比较简单．
29.【答案】6
【解析】解：延长BA，与CD的延长线交于点G，如图，
∵AD//BC，AD=4，BC=9，
∴△GAD∽△GBC，
，
∵AEBE=23，
，，
∵EF//BC，
∴△GEF∽△GBC，
，
∵BC=9，
∴EF=6．
故答案为：6．
延长BA，与CD的延长线交于点G，易证明△GAD∽△GBC，得到，进而得到，再证明△GEF∽△GBC，利用相似三角形的性质即可解答．
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题关键．
30.【答案】外
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=5，BC=12，
∴AC= AB2+BC2= 52+122=13，
∵⊙A的半径为10，且13>10，
∴点C到圆心A的距离大于⊙A的半径，
∴点C在⊙A外，
故答案为：外．
由矩形的性质得∠A=90°，根据勾股定理得AC= AB2+BC2=13，可知点C到圆心A的距离大于⊙A的半径，则点C在⊙A外，于是得到问题的答案．
此题重点考查矩形的性质、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，根据勾股定理求出AC的长是解题的关键．
31.【答案】−23a+13b
【解析】解：∵中线AD、BE交于点F，
∴AF=2DF，
∴AF=23AD，
∵AD=AB+BD，
∴AD=−a+12b，
．
故答案为：−23a+13b．
首先证明AF=2DF，再利用三角形法则求出AD，可得结论．
本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
32.【答案】5
【解析】解：水平距离为4m，坡比为，
∴竖直高度米)，
∴由勾股定理得： 32+42=5(米)．
故答案为：5．
根据坡度为0.75求得竖直高度，再根据勾股定理求出相邻两树间的坡面距离即可．
本题是基础题，考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，以及勾股定理的运用．
33.【答案】32
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答．
设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得BCBA=BDBC，列出方程即可解出AB的长，进而得到AC=3，利用△BCD∽△BAC，得CDAC=BDBC=12，求出CD解决问题．
【解答】
解：∵△BCD∽△BAC，
∴BCBA=BDBC，设AB=x，
∴22=x，
∵x>0，
∴x=4，
∴AC=AD=4−1=3，
∵△BCD∽△BAC，
∴CDAC=BDBC=12，
∴CD=32．
故答案为：32
34.【答案】5−2 3
【解析】解：过点A作AT⊥BC于点T．
∵DE⊥CB，
∴∠CDE=90°，
由翻折变换的性质可知∠ADC=∠ADE，DE=CD，
，
，
∵AT⊥BD，
∴AT=DT，
，
，
．
故答案为：5−2 3．
过点A作AT⊥BC于点T.证明，求出BT，DT，可得DE的长．
本题考查翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
35.【答案】x>−3 x≤2 −3
(Ⅱ)解不等式②，得x≤2；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
(Ⅳ)原不等式组的解集为−3
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
36.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠B=52°，
∴∠BAD=180°−∠B=180°−52°=128°；
(2)∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∵∠B=52°，
∴∠BAE=∠AEB=64°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=52°+64°=116°．
【解析】(1)由平行四边形的性质可求出答案；
(2)由角平分线的性质及平行四边形的性质可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．
37.【答案】200 36°
【解析】解：(1)样本容量为：80÷40%=200，
360°×20200=36°，
故答案为：200，36°；
(2)A组人数为200×30%=60(人)，
D组的人数为：200−60−80−20−10=30(人)，
补全条形统计图如下：
(3)12000×80200=4800(人)，
答：本街道有4800名居民选择B品牌单车．
(1)根据频率=频数样本容量即可求出答案，求出C组所占的百分比即可求出相应的圆心角的度数；
(2)求出A组、D组的人数，即可补全条形统计图；
(3)求出样本中选择B品牌单车的居民人数所占的百分比即可估计总体的百分比，进而求出相应的人数即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图以及样本估计总体，理解扇形统计图、条形统计图中数量之间的关系以及频率=频数样本容量是正确解答的关键．
38.【答案】(1)证明：连接OD，OE，
∵AB切⊙O于B点，
∴∠OBE=90°，
∵E为AB中点，O为BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE//AC，
∴∠BOE=∠C，∠DOE=∠CDO，
∵OC=OD，
∴∠C=∠CDO，
∴∠BOE=∠DOE，
∵OB=OD，OE=OE，
∴△BOE≌△DOE(SAS)，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥AD，垂足为G，
∵∠ABC=90°，∠A=30°，BC=4，
∴AB= 3BC=4 3，AC=2BC=8，∠C=90°−∠A=60°，
∵OC=OD，
∴△COD是等边三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°，OC=OD=CD=12BC=2，
∴∠BOD=180°−∠COD=120°，AD=AC−DC=8−2=6，
∴OF=OC⋅sin60°=2× 32= 3，
∵∠ODE=90°，
∴∠ADE=180°−∠ODE−∠CDO=30°，
∴∠A=∠ADE=30°，
∴AE=DE，
∴AG=DG=12AD=3，
∴GE=AG⋅tan30°=3× 33= 3，
∴阴影部分的面积=△ABC的面积−△COD的面积−扇形BOD的面积−△DEA的面积
=12AB⋅BC−12CD⋅OF−120π×22360−12AD⋅EG
=12×4×4 3−12×2× 3−43π−12×6× 3
=4 3−43π，
∴阴影部分的面积为4 3−43π.
【解析】(1)连接OD，OE，根据切线的性质可得∠OBE=90°，再利用三角形的中位线定理可得OE//AC，从而利用平行线和等腰三角形的性质可得∠BOE=∠DOE，然后证明△BOE≌△DOE，再利用全等三角形的性质可得∠ODE=∠OBE=90°，即可解答；
(2)过点O作OF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥AD，垂足为G，根据含30度角的直角三角形可得AB=4 3，AC=8，∠C=60°，从而可得△COD是等边三角形，进而可求出∠BOD，∠CDO的度数，OF的长，然后求出∠A=∠ADE=30°，从而可得AE=DE，再利用等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义求出EG的长，
最后根据阴影部分的面积=△ABC的面积−△COD的面积−扇形BOD的面积−△DEA的面积，进行计算即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，切线的判定与性质，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
39.【答案】解：如下图：
(1)菱形ABCD即为所求；
(2)点M′即为所求；
(3)矩形BCNM即为所求；
(4)EF即为所求．
【解析】(1)根据四条边相等的四边形是菱形作图；
(2)根据轴对称的性质作图；
(3)根据网格线的特点作出正方形ABCD，再网格线的特征作出矩形BCNM；
(4)根据网格线的特点作出AD的垂直平分线即可．
本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点是解题的关键．
40.【答案】解：(1)设v1与t的函数关系式为，由题意，
则，
解得：k=−54b=5，
，
∴v1与t的函数关系式为；
(2)由题意，得t秒时速度为，
∴平均速度为：，
，
∵−58<0，
∴当t<4时，s随t的增大而增大，当t>4时，s随t的增大而减小，
∵0≤t≤4，
∴当t=4时，s有最大值，最大值为10，
∴小球运动的最大路程为10米；
(3)当t=3时，s=758，当t=4时，s=10，
米，
故第3秒到第4秒运动的路程为58米．
【解析】(1)设vt与t的函数关系式为，由待定系数法求出其解即可；
(2)先求出平均速度，由路程=速度×时间就可以得出结论；
(3)求出第4秒和第3秒的路程，再相减即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均速度是关键．
41.【答案】(1)证明：，∠ACD=∠G，
∴∠ACB=∠CDG，
∵∠B=∠G，
∴△ABC∽△CGD，
∴DGBC=CGAB；
(2)证明：过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则DM//FN，
∴△DGM∽△FNG，
∴DGFG=DMFN，
由(1)同理得△DCM∽△CAB，△FNC∽△CBE，
∴DCAC=DMBC，FNBC=CFCE，
，
∴DMBC=FNBC，
∴DM=FN；
∴GD=GF；
(3)解：如图3，过点D作PG⊥BD，交BA的延长线于G，交BC的延长线于P，
∴∠BDP=∠BDG=90°，
∵∠ADC=2∠ABD=2∠CBD=60°，
∴∠DBA=∠CBD=30°，
∴△DBP≌△DBG(ASA)，
∴DG=PD，BP=BG，
∴△BGP是等边三角形，
设DG=x，则PD=x，PC=2x−8，AG=2x−3，
∵∠CDG=∠P+∠PCD=∠ADC+∠ADG，
∴∠ADG=∠PCD，
∵∠G=∠P=60°，
∴△ADG∽△DCP，
∴DGPC=AGPD，即x2x−8=2x−3x，
解得：x1=6，x2=43(舍去)，
∴DG=6，
在Rt△BDP中，∠DBP=30°，
∴BD=6 3．
【解析】(1)根据两角相等证明△ABC∽△CGD，即可解答；
(2)过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M，过点F作FN⊥BC于点N，则DM//FN，证明△DGM∽△FNG，列比例式，根据(1)中的一线三等角可得△DCM∽△CAB，△FNC∽△CBE，则DCAC=DMBC，FNBC=CFCE，结合已知可得DM=FN；
(3)如图3，过点D作PG⊥BD，交BA的延长线于G，交BC的延长线于P，证明△DBP≌△DBG(ASA)，得DG=PD，BP=BG，可得△BGP是等边三角形，设DG=x，则PD=x，PC=2x−8，AG=2x−3，证明△ADG∽△DCP，列比例式可得结论．
此题属于相似三角形的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质以及一线三等角的模型，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
42.【答案】解：(1)将点(2,3)和点(−1,0)代入抛物线y=ax2−2ax+c，得，
解得a=−1c=3，
故解析式为y=−x2+2x+3；
(2)若AE为平行四边形的边，设C(m,−m2+2m+3)，，
将D点代入抛物线得，
解得m=1，
∴C(1,4)，D(2,3)；
若AE为平行四边形的对角线，设C(m,−m2+2m+3)，
由平移得，
将D点代入抛物线得，
解得m=1，或m=−2，
∴C(1,4)，D(−2,−5)或C(−2,−5)，D(1,4)；
综上所述，C(1,4)，D(2,3)或C(1,4)，D(−2,−5)；
(3)∵y=−x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，
将抛物线C1沿x轴平移，使其顶点在y轴上，得到抛物线C2，
，
设抛物线上任意两点(x1,y1)，(x2,y2)所在直线解析式为y=kx+b，
与抛物线C2联立得：x2+kx+b−4=0，
∴x1+x2=−k，，得，，；
设M、N两点横坐标为m、n，
取x1=m，x2=n，
则MN解析析为y=−(m+n)x+mn+4；
∵MN过H(0,2)，
，即mn=−2；
取x1=m，x2=m，则MR解析析为；
取x1=n，x2=n，则NR解析析为；
解，得，
∴R点在定直线y=6上运动．
【解析】(1)将点(2,3)和点(−1,0)代入抛物线y=ax2−2ax+c，解方程组即可得到结论；(2)若AE为平行四边形的边，设C(m,−m2+2m+3)，，若AE为平行四边形的对角线，设C(m,−m2+2m+3)，由平移得，解方程组即可得到结论；
(3)求得y=−x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，根据平移的性质得到，设抛物线上任意两点(x1,y1)，(x2,y2)所在直线解析式为y=kx+b，根据一元二次方程根与系数的关系的性质得到x1+x2=−k，，得，，；设MN两点横坐标为m、n，取x1=m，x2=n，得到解析式为y=−(m+n)x+mn+4；求得，即mn=−2；取x1=m，x2=m，得到MR解析析为；取x1=n，x2=n，得到NR解析析为；解方程组即可得到结论．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
43.【答案】解：原式
=−34．
【解析】根据绝对值的代数意义得，利用特殊角的三角函数可得tan60°= 3，则，根据负整数幂的运算法则得2−2=14，再将2 3+1分母有理化得，再计算加减法即可求解．
本题主要考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、分母有理化、特殊角的三角函数值，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
44.【答案】解：(1)∵点A在正比例函数y=2x的图象上，点A的纵坐标为4，
∴A(2,4)，
∵反比例函数y=mx的图象过点A，
∴m=2×4=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x；
(2)设，则C(x,2x)，
，
∵△OBC的面积是12，
，
∴x2−4x−12=0，
解得x1=6，x2=−2，
∵B在点A右侧，
【解析】(1)由正比例函数解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)设，则C(x,2x)，，利用三角形面积公式即可得到，求得x=6，即可求得
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，正确表示出点的坐标是解题的关键．
45.【答案】解：(1)作A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ABE中，tan∠ABC=AEBE=34，AB=5，
∴AE=3，BE=4，
∴CE=BC−BE=5−4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC= 32+12= 10；
(2)设切点为D，连接BD，则BD⊥AC．
，
．
∴⊙B的半径为3 102．
【解析】(1)过A作AE⊥BC于点E，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
此题考查了解直角三角形，线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
46.【答案】小杰
【解析】解：(1)样本具有代表性，因此小杰抽取的样本具有代表性，
故答案为：小杰；
(2)由小杰所抽取的40名学生每天阅读时间各组的人数，画出相应的频数分布直方图如下：
名)，
答：该校800名学生中每天阅读时间不低于1小时的大约有160名．
(1)根据样本抽取的原则，即样本具有代表性进行判断即可；
(2)根据小杰抽取的40名学生每天阅读时间各组的人数画出相应的频数分布直方图即可；
(3)求出样本中“每天阅读时间不低于1小时的学生”所占的百分比，进而估计总体中“每天阅读时间不低于1小时的学生”所占的百分比，再求出相应人数即可．
本题考查频数分布直方图以及样本估计总体，掌握频率=频数总数是正确解答的前提．
47.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
AB=DC∠ABC=∠DCBBC=CB，
∴△ABC≌△DCB(SAS)，
∴∠ACB=∠DBC，AC=BD，
∵AD//BC，
，
∴AO=DO，BO=CO，
，
，
又∵∠AOF=∠DOC，
∴△AOF∽△COD，
，
∴AF//CD，
又∵AD//BC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)∵AF//CD，
∴∠AEB=∠DCB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
，∠ABE=∠ABC，
∴△ABE∽△CBA，
∴ABBC=BEAB，
∴AB2=BE⋅BC，
，
∴AB=CE，
∴AE=CE，
∴四边形AECD是菱形．
【解析】(1)通过证明△AOF∽△COD，可得，可证AF//CD，即可求解；
(2)通过证明△ABE∽△CBA，可求AB=CE=AE，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，平行四边形的性质判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
48.【答案】解：(1)对于，令x=0，则y=5，即点C(0,5)，
由一次函数的表达式知，OA=OC=5，即点A(−5,0)，
将点A的坐标代入抛物线的表达式得：，
解得：a=1，
则抛物线的表达式为：y=x2+6x+5；
(2)令y=x2+6x+5=0，
解得：x=−1或−5，即点B(−1,0)，
由点A、C的坐标知，∠CAO=45°，AC=5 2，
过点B作BT⊥AC于点T，则，
则，
则；
(3)设点P(m,n)且，点Q(s,t)，
由题意得，AC是菱形的对角线，则由中点坐标公式和AP=AQ得：
，解得：，
则点P的坐标为：或
【解析】(1)用待定系数法即可求解；
(2)过点B作BT⊥AC于点T，则，得到，即可求解；
(3)由题意得，AC是菱形的对角线，则由中点坐标公式和AP=AQ，列出方程组即可求解．
本题属于二次函数综合题，考查了抛物线与坐标轴的交点坐标、待定系数法求函数的解析式、菱形的性质、二次函数的性质、解直角三角形等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
49.【答案】解：(1)∵AE//CD，
∴BCBE=DCAE，
∵BC=DC，
∴BE=AE，
设CE=x，则AE=BE=x+2，
∵∠ACB=90°，
∴AC2+CE2=AE2，即32+x2=(x+2)2，
∴x=54，即CE=54；
(2)①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC>∠P，
∴∠ACQ=∠P，
又∵AE//CD，
∴∠ACQ=∠CAE，
∴∠CAE=∠P，
∴△ACE∽△PCA，
∴AC2=CE⋅CP，即32=54CP，
∴CP=365；
②设CP=t，则PE=t−54，
∵∠ACB=90°，
∴AP= 9+t2，
∵AE//CD，
∴AQAP=ECEP，
即AQ t2+9=54t−54=54t−5，
∴AQ=5 t2+94t−5，
若两圆外切，那么AQ=5 t2+94t−5=1，
此时方程无实数解；
若两圆内切，那么AQ=5 t2+94t−5=5，
∴15t2−40t+16=0，
解之得t=20±4 1015，
又∵t>54，
∴t=20+4 1015．
【解析】(1)设CE=x，则AE=BE=x+2，依据勾股定理即可得到CE=54；
(2)①依据△ACE∽△PCA，即可得到AC2=CE⋅CP，即32=54CP，进而得到CP=365；
②分两种情况讨论：若两圆外切，那么AQ=5 t2+94t−5=1，此时方程无实数解；若两圆内切，那么AQ=5 t2+94t−5=5，即可得到t=20+4 1015．
本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例解决问题．
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