2021-2022学年河南省郑州市经开外国语中学八年级（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年河南省郑州市经开外国语中学八年级（下）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年河南省郑州市经开外国语中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）平行四边形的对角线（　　）
A．长度相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．以上都对
3．（3分）已知x＞y，a＞0，b＜0，以下不正确的是（　　）
A．x+a＞y+a B．x+b＜y+b C．xa＞ya D．xb＜yb
4．（3分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+a）（x﹣a）＝x2﹣a2 B．（x+y）2＝x2+2xy+y2
C．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
5．（3分）如图，在△ABC中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交DB、EC于点F、G，连接EF、DG，交于点H，连接AH并延长交BC于点I，则线段AI是（　　）

A．△ABC的高 B．△ABC的中线
C．△ABC的角平分线 D．以上都不对
6．（3分）解方程时：
小燕认为：方程两边都乘以3x﹣2，得x+1﹣（3x﹣2）＝﹣（2﹣x）
小红认为：方程两边都乘以2﹣3x，得﹣（x+1）﹣（2﹣3x）＝2﹣x
小杰认为：方程两边都乘以3x﹣2，得x+1﹣3x﹣2＝﹣（2﹣x）
以上三位同学的理解，错误的是（　　）
A．小燕
B．小红
C．小杰
D．没有错误，三位同学都正确
7．（3分）一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式（　　）
A．5x+2（20﹣x）≥75 B．5x+2（20﹣x）＞75
C．5x﹣2（20﹣x）＞75 D．5x﹣2（20﹣x）≥75
8．（3分）小沈对下面式子进行化简整理：
＝第一步
＝第二步
＝第三步
对于小沈的化简过程，你认为（　　）
A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．没有错误
9．（3分）如图，ABCD是一个正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将A翻折，使点A落在EF上（如图（2）的点A'），折痕交AE于点G，那么∠ADG＝（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
10．（3分）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如图是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形进行的镶嵌，其中直角三角形的一个角等于30°，若小正方形EFGH的边长为1，则大正方形ABCD的边长为（　　）

A．+1 B．+1 C．2 D．﹣1
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x＝1时没有意义 　 　．
12．（3分）假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 　 　km/h．

13．（3分）不等式的解集为 　 　．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝　 　．

15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B、C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D、E，BC的中点是M，连接CD、MD，ME．则下列结论正确的是 　 　．
①CD＝2ME
②ME∥AB
③BD＝CD
④ME＝MD
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）解分式方程：．
17．（9分）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．

18．（10分）郑州某粮库计划转运一批小麦，用若干载重量为16t的汽车，若每辆汽车只装8t，则剩下40t小麦；若每辆汽车装16t，则最后一辆汽车不满也不空，请问：该粮库需要转运多少t小麦？
19．（12分）在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AF∥BC交DE的延长线与F．连接FC．
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形；
（2）填空：①当AB＝AC时，∠AFC＝　 　．
②当AB⊥AC时，∠AEF＝　 　．

20．（12分）欧几里得在《原本》中证明勾股定理的大致过程如下：
如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG（如图（2）），连接EB，CH过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N．
∵EA＝CA，∠EAB＝∠CAH＝90°+∠CAB，AB＝AH
∴△EAB≌△CAH（SAS）
又∵S正方形ACDE＝2S△EAB，
S长方形AHNM＝2S△CAH
∴b2＝S长方形AHNM
同理a2＝S长方形MNIB
∴c2＝a2+b2

上面证明中，没有给出“a2＝S长方形MNIB”的证明过程，只用两个字“同理”一笔带过，请你将这个证明过程补充上．
21．（12分）郑州经开区八大街某运动用品商店准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多40元，用4000元购进足球和2400元购进排球的数量相同．商品将每个足球售价定为130元，每个排球售价定为80元．
（1）每个足球和排球的进价分别是多少？
（2）根据商店对运动用品市场调查，商店计划用不超过3000元的资金购进足球和排球共40个，其中足球数量不低于排球数量的，该商店有几种进货方案？
（3）“六一”期间，该商店开展促销活动，决定对每个足球售价优惠m（8＜m＜12）元，排球的售价不变．假定这40个球在“六一”期间能够全部卖完，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40个球获得的总利润最大的进价方案．
22．（12分）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，CP＝1，求BC的长；
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP；
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．



2021-2022学年河南省郑州市经开外国语中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）平行四边形的对角线（　　）
A．长度相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．以上都对
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分作出选择．
【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质．平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分．
3．（3分）已知x＞y，a＞0，b＜0，以下不正确的是（　　）
A．x+a＞y+a B．x+b＜y+b C．xa＞ya D．xb＜yb
【分析】根据不等式的性质，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵x＞y，
∴x+a＞y+a，
故A不符合题意；
B、∵x＞y，
∴x+b＞y+b，
故B符合题意；
C、∵x＞y，a＞0，
∴xa＞ya，
故C不符合题意；
D、∵x＞y，b＜0，
∴xb＜yb，
故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
4．（3分）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．（x+a）（x﹣a）＝x2﹣a2 B．（x+y）2＝x2+2xy+y2
C．x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2 D．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
【分析】依据因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式来求解．
【解答】解：A：等号的右边不是积的形式，故A选项不符合题意；
B：等号的右边不是积的形式，故B选项不符合题意；
C：符合因式分解的定义，故C选项符合题意；
D：等号的右边不是积的形式，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的概念，掌握概念是解题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，以A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E，再分别以D、E为圆心，相同长为半径作弧，分别交DB、EC于点F、G，连接EF、DG，交于点H，连接AH并延长交BC于点I，则线段AI是（　　）

A．△ABC的高 B．△ABC的中线
C．△ABC的角平分线 D．以上都不对
【分析】通过3次全等证明∠EAH＝∠DAH，可得结论．
【解答】解：由作图可知，AE＝AD，AG＝AF，
在△AFE和△AGD中，
，
∴△AFE≌△AGD（SAS），
∴∠AFE＝∠AGD，
∵AG＝AF，AE＝AD，
∴EG＝DF，
在△EHG和△DHF中，
，
∴△EHG≌△DHF（AAS），
∴EH＝DH，
在△AHE和△AHD中，
，
∴△AHE≌△AHD（SSS），
∴∠EAH＝∠DAH，
∴AI是△ABC的角平分线．
故选：C．

【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．（3分）解方程时：
小燕认为：方程两边都乘以3x﹣2，得x+1﹣（3x﹣2）＝﹣（2﹣x）
小红认为：方程两边都乘以2﹣3x，得﹣（x+1）﹣（2﹣3x）＝2﹣x
小杰认为：方程两边都乘以3x﹣2，得x+1﹣3x﹣2＝﹣（2﹣x）
以上三位同学的理解，错误的是（　　）
A．小燕
B．小红
C．小杰
D．没有错误，三位同学都正确
【分析】根据等式的性质方程两边乘3x﹣2（或2﹣3x），再判断即可．
【解答】解：错误是小杰，小燕和小红是正确的，
理由是：，
方程两边乘3x﹣2，得（x+1）﹣（3x﹣2）＝﹣（2﹣x），
x+1﹣3x+2＝﹣2+x，
故选：C．
【点评】本题考查了解分式方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
7．（3分）一次学校智力竞赛中共有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，小锋在本次竞赛中获得了奖品．假设小锋答对了x题，可根据题意列出不等式（　　）
A．5x+2（20﹣x）≥75 B．5x+2（20﹣x）＞75
C．5x﹣2（20﹣x）＞75 D．5x﹣2（20﹣x）≥75
【分析】将答对题数所得的分数减去答错或不答所扣的分数，再由题意知小锋答题所得的分数大于等于75分，列出不等式即可．
【解答】解：设小锋答对了x道题，则他答错或不答的共有（25﹣x）道题，由题意得：
5x﹣2×（20﹣x）＞75，
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．本题尤其要注意所得的分数是答对题数所得的分数减去答错或不答所扣的分数．
8．（3分）小沈对下面式子进行化简整理：
＝第一步
＝第二步
＝第三步
对于小沈的化简过程，你认为（　　）
A．第一步错误 B．第二步错误 C．第三步错误 D．没有错误
【分析】先通分，再按同分母分式加减法法则计算后，得结论．
【解答】解：﹣﹣
＝﹣﹣
＝
＝．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的加减，掌握分式的加减法法则是解决本题的关键．
9．（3分）如图，ABCD是一个正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将A翻折，使点A落在EF上（如图（2）的点A'），折痕交AE于点G，那么∠ADG＝（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据正方形的性质，即可得∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝CD＝AB，又由E、F分别为AB、CD的中点，即可得在Rt△A′DF中，由sin∠FA′D＝＝，即可求得∠DA′F的度数，然后根据折叠的性质与平行线的性质，即可求得∠ADG的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝CD＝AB，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴EF∥BC，
∴四边形ADFE是矩形，
∴∠EFD＝90°，FD＝CD＝AD，
根据折叠的性质：A′D＝AD，
在Rt△FAD中，sin∠FA′D＝＝，
∴∠FA′D＝30°，
∴∠A′DA＝∠FA′D＝30°，
∴∠ADG＝∠A′DG＝∠ADA′＝×30°＝15°．
故选：A．

【点评】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，平行线的性质以及三角函数的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．
10．（3分）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如图是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形进行的镶嵌，其中直角三角形的一个角等于30°，若小正方形EFGH的边长为1，则大正方形ABCD的边长为（　　）

A．+1 B．+1 C．2 D．﹣1
【分析】设BF＝x，利用含30°角的直角三角形的三边关系可得AB＝2x，AF＝x，再根据EF＝1，列出方程，从而解决问题．
【解答】解：设BF＝x，
∵∠BAF＝30°，∠AFB＝90°，
∴AB＝2x，AF＝x，
∵EF＝1，
∴﹣1＝x，
解得x＝，
∴AB＝2x＝+1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的三边关系等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的三边关系是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x＝1时没有意义 　　．
【分析】根据分式方程的定义及分式无意义的条件即可得到答案．
【解答】解：一个未知数是x且当x＝1时没有意义的分式方程为（答案不唯一）．
故答案为：．
【点评】此题考查的是分式方程的定义及分式无意义的条件，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
12．（3分）假期里全家去旅游，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 　80（答案不唯一）　km/h．

【分析】根据题意写出车速的取值范围，写出一个车速即可．
【解答】解：设车速为vkm/h，
则70≤v＜100，
∴建议车速为80km/h．
故答案为：80（答案不唯一）．
【点评】本题考查了不等式的定义，根据题意写出车速的取值范围是解题的关键．
13．（3分）不等式的解集为 　x≥5　．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
2（x﹣2）≥3（7﹣x），
2x﹣4≥21﹣3x，
2x+3x≥21+4，
5x≥25，
x≥5，
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝4，则CD＝　4﹣2　．

【分析】利用等腰直角三角形的性质得AC的长，再利用角平分线的性质得CD＝DE，AC＝AE，从而解决问题．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴AC＝AB＝2，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAC＝∠DAE，
∵∠C＝∠AED＝90°，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AC＝AE，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2，
∵∠B＝45°，∠DEB＝90°，
∴∠EDB＝∠B＝45°，
∴DE＝BE，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝4﹣2，
故答案为：4﹣2．
【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
15．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B、C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D、E，BC的中点是M，连接CD、MD，ME．则下列结论正确的是 　②③④　．
①CD＝2ME
②ME∥AB
③BD＝CD
④ME＝MD
【分析】根据题意作出图形，可知点A，C，D，B四点共圆，再结合点M是中点，可得DM⊥BC，又CE⊥AD，BD⊥AD，可得△CEM≌△BFM，可得EM＝FM＝DM，延长DM交AB于点N，可得MN是△ACB的中位线，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得DN＝AN，得到角之间的关系，可得ME∥AB．
【解答】解：根据题意可作出图形，如图所示，并延长EM交BD于点F，延长DM交AB于点N，

在△ABC中，∠ACB＝90°，分别过点B，C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D，E，
由此可得点A，C，D，B四点共圆，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴CD＝DB，（故③正确）
∵点M是BC的中点，
∴DM⊥BC，
又∵∠ACB＝90°，
∴AC∥DN，
∴点N是线段AB的中点，
∴AN＝DN，
∴∠DAB＝∠ADN，
∵CE⊥AD，BD⊥AD，
∴CE∥BD，
∴∠ECM＝∠FBM，∠CEM＝∠BFM，
∵点M是BC的中点，
∴CM＝BM，
∴△CEM≌△BFM（AAS），
∴EM＝FM，
∴点M是EF的中点，
∵∠EDF＝90°，
∴EM＝FM＝DM（故④正确），
∴∠DEM＝∠MDE＝∠DAB，
∴EM∥AB（故②正确），
综上，可知①的结论不正确．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线定理等，根据题中条件，作出正确的辅助线是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）解分式方程：．
【分析】方程两边都乘2（2x﹣1）得出2（x﹣2）+2（2x﹣1）＝﹣3，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：，
方程两边都乘2（2x﹣1），得2（x﹣2）+2（2x﹣1）＝﹣3，
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（2x﹣1）＝0，
所以x＝是增根，
即原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
17．（9分）如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
（1）将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将（1）中的△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°得到△A2B2C1，画出△A2B2C1．

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质分别作出A1，B1的对应点A2，B2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C1即为所求作．

【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换或旋转变换的性质，属于中考常考题型．
18．（10分）郑州某粮库计划转运一批小麦，用若干载重量为16t的汽车，若每辆汽车只装8t，则剩下40t小麦；若每辆汽车装16t，则最后一辆汽车不满也不空，请问：该粮库需要转运多少t小麦？
【分析】设用x辆载重量为16t的汽车，则该粮库需要转运（8x+40）t小麦，根据“若每辆汽车装16t，则最后一辆汽车不满也不空”，即可得出关于x的一元一次不等式组的应用，解之即可得出x的取值范围，结合x为正整数，即可得出x的值，再将其代入（8x+40）中即可求出结论．
【解答】解：设用x辆载重量为16t的汽车，则该粮库需要转运（8x+40）t小麦，
依题意得：，
解得：5＜x＜7，
又∵x为正整数，
∴x＝6，
∴8x+40＝8×6+40＝88．
答：该粮库需要转运88t小麦
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
19．（12分）在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，AF∥BC交DE的延长线与F．连接FC．
（1）求证：四边形ADCF为平行四边形；
（2）填空：①当AB＝AC时，∠AFC＝　90°　．
②当AB⊥AC时，∠AEF＝　90°　．

【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形先判定四边形ABDF是平行四边形，得出AF＝BD＝DC，再判定四边形ADCF是平行四边形即可；
（2）①当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形，点D是BC的中点，则AD⊥BC，根据平行四边形的对角相等即可求出∠AFC＝90°；
②当AB⊥AC时，四边形ADCF是菱形，对角线互相垂直，则∠AEF＝90°．
【解答】（1）证明：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DF∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF＝BD，
∵BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）解：①∵AB＝AC时，
∴△ABC是等腰三角形，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵四边形ADCF是平行四边形，
∴∠AFC＝∠ADC＝90°．
故答案为：90°；
②∵AB⊥AC，
∴四边形ADCF是菱形，
∴∠AEF＝90°．
故答案为：90°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及判定，能够熟练运用平行四边形的判定是解题的关键，平行四边形的判定；（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
20．（12分）欧几里得在《原本》中证明勾股定理的大致过程如下：
如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG（如图（2）），连接EB，CH过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N．
∵EA＝CA，∠EAB＝∠CAH＝90°+∠CAB，AB＝AH
∴△EAB≌△CAH（SAS）
又∵S正方形ACDE＝2S△EAB，
S长方形AHNM＝2S△CAH
∴b2＝S长方形AHNM
同理a2＝S长方形MNIB
∴c2＝a2+b2

上面证明中，没有给出“a2＝S长方形MNIB”的证明过程，只用两个字“同理”一笔带过，请你将这个证明过程补充上．
【分析】如图，分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG，如图，连接AF，CI，过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N．可证得△FBA≌△CBI（SAS），再根据图形的面积即可证得结论．
【解答】证明：如图（1），在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG（如图（2）），连接EB，CH过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N．
∵EA＝CA，∠EAB＝∠CAH＝90°+∠CAB，AB＝AH，
∴△EAB≌△CAH（SAS），
又∵S正方形ACDE＝2S△EAB，
S长方形AHNM＝2S△CAH，
∴b2＝S长方形AHNM，

如图，分别以Rt△ABC的三边为边长作正方形AHIB，ACDE，CBFG，如图，连接AF，CI，过点C作AB的垂线，分别交AB和HI于点M，N．

∵BF＝CB，∠FBA＝∠CBI＝90°+∠CBA，AB＝BI，
∴△FBA≌△CBI（SAS），
又∵S正方形BCGF＝2S△FBA，
S长方形BINM＝2S△CBI，
∴a2＝S长方形BINM，
∴c2＝a2+b2
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积，矩形面积，正方形面积等，证明三角形全等，已知的两对边对应相等时，关键是找到夹角相等．
21．（12分）郑州经开区八大街某运动用品商店准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多40元，用4000元购进足球和2400元购进排球的数量相同．商品将每个足球售价定为130元，每个排球售价定为80元．
（1）每个足球和排球的进价分别是多少？
（2）根据商店对运动用品市场调查，商店计划用不超过3000元的资金购进足球和排球共40个，其中足球数量不低于排球数量的，该商店有几种进货方案？
（3）“六一”期间，该商店开展促销活动，决定对每个足球售价优惠m（8＜m＜12）元，排球的售价不变．假定这40个球在“六一”期间能够全部卖完，在（2）的条件下，请设计出m的不同取值范围内，销售这40个球获得的总利润最大的进价方案．
【分析】（1）设排球每个进价为x元，则足球每个进价为（x+40）元，根据用4000元购进足球和2400元购进排球的数量相同列出方程，姐方程即可；
（2）设商店购买足球a个，则购买排球（40﹣a）个，根据商店计划用不超过3000元的资金购进足球和排球共40个，其中足球数量不低于排球数量的，列不等式组，解不等式组即可；
（3）根据总利润＝足球利润+排球利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值及此时进货方案．
【解答】解：（1）设排球每个进价为x元，则足球每个进价为（x+40）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
∴x+40＝60+40＝100（元），
答：每个足球的进价分别是100元，每个排球的进价分别是60元；
（2）设商店购买足球a个，则购买排球（40﹣a）个，
根据题意得：，
解得：10≤a≤15，
∵a是正整数，
∴a的取值为10，11，12，13，14，15，
∴该商店有6种进货方案；
（3）设该商店售完40个球所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（130﹣100﹣m）a+（80﹣60）（40﹣a）＝（10﹣m）a+800，
①当10﹣m＞0，即m＜10时，w随a的增大而增大，
∴当a＝15时，w最大，
此时购进足球15个，排球25个；
②当10﹣m＝0，即m＝10时，w＝800，
此时的进货方案为：购进足球15个，排球25个；购进足球14个，排球26个；购进足球13个，排球27个；购进足球12个，排球28个；购进足球11个，排球29个；购进足球10个，排球30个．
③当10﹣m＜0，即m＞10时，w随a的增大而减小，
∴当a＝10时，w最大，
此时购进足球10个，排球30个．
综上，当m＜10时，购进足球15个，排球25个获得利润最大；当m＝10时，a＝10，11，12，13，14，15获得利润一样大；当m＞10时，购进足球10个，排球30个获得利润最大．
【点评】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程、不等式和函数关系式．
22．（12分）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，CP＝1，求BC的长；
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP；
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）证△ADC是等边三角形，P为CD中点，通过等边三角形三线合一，得到AP⊥CD，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可；
（2）借助中点和平行，可证得△CPA≌△DPE，得出AP＝EP＝，DE＝AC，再证明△CAB≌△EBA，即可得出结论；
（3）由（2）总结的解题方法延伸到图3中，类比解决问题．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC，
∵BD＝AC，
∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵P是CD的中点，
∴AP⊥CD，
在Rt△APC中，CP＝1，∠ACD＝60°，
∴∠CAP＝30°
∴AC＝2CP＝2，
∴AB＝4，
根据勾股定理得，BC＝＝2；

（2）证明：连接BE，

∵DE∥AC，
∴∠CAP＝∠DEP，
在△CPA和△DPE中
，
∴△CPA≌△DPE（AAS），
∴AP＝EP＝，DE＝AC，
∵BD＝AC，
∴BD＝DE，
又∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠CAD＝60°，
∴△BDE是等边三角形，
∴BD＝BE，∠EBD＝∠CAB＝60°，
∵BD＝AC，
∴AC＝BE，
在△CAB和△EBA中
，
∴△CAB≌△EBA（SAS），
∴AE＝BC，
∴BC＝2AP；

（3）解：存在这样的m，m＝．
理由如下：作DE∥AC交AP延长线于E，连接BE，

由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°，AE＝2AP，
当BD＝时，
∴BD＝，
作BF⊥DE于F，
∵∠EDB＝45°，
∴BD＝，
∴DE＝DF，
∴点E，F重合，
∴∠BED＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝AC，
同（2）可证：△CAB≌△EBA（SAS），
∴BC＝AE＝2AP，
∴存在m＝，使得BC＝2AP．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质等知识，构造出全等三角形是解决（2）的关键，类比（2）来解决（3）是解决几何题常用的方法，体现了变中不变的思想．
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