2023年湖南省长沙市集团联考中考二模数学试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省长沙市集团联考中考二模数学试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市集团联考中考二模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（　　）
A． B． C． D．
2．据悉，截至年底，中国高铁营运里程约为米，数据用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（    ）

A． B．
C． D．
4．若在实数范围内有意义，则a的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
5．如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=30°，则∠2的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
6．下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ）

A． B． C． D．
8．在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（  ）

A．96分，98分 B．97分，98分 C．98分，96分 D．97分，96分
9．某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（  ）

A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30
10．如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的周长是（    ）

A．8 B． C． D．

二、填空题
11．因式分解：______．
12．式子有意义，则实数的取值范围是______________．
13．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是________．
14．身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度，如图，当他站在点C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点A处，测量得到米，米，则旗杆的高度是________

15．如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为6m，则自动扶梯的垂直高度BD=_________m．（结果保留根号）．

16．规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到…依次类推．点经过“011011011”变换后得到点的坐标为______．


三、解答题
17．计算：．
18．解不等式组：，并写出它的所有整数解．
19．如图，在▱ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，连接DE，BF．求证：DE∥BF．

20．中国共产党的助手和后备军——中国共青团，担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务.成立一百周年之际，各中学持续开展了A：青年大学习；B：背年学党史；C：中国梦宣传教育；D：社会主义核心价值观培育践行等一系列活动，学生可以任选一项参加.为了解参与情况，进行了一次抽样调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图.

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了____________名学生；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校共有学生1280名，请估计参加B项活动的学生数；
(4)小杰和小慧参加了上述活动，请用列表或画树状图的方法，求他们参加同一项活动的概率.
21．知识改变世界，科技改变生活，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.周末，小强一家到两处景区游玩，他们从家处出发，向正西行驶160到达处，测得处在处的北偏西15°方向上，出发时测得处在处的北偏西60°方向上
（1）填空： 度；
（2）求处到处的距离即的长度（结果保留根号）

22．国庆节前，某超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售.经了解，乙种水果的进价比甲种水果的进价多5元，售价如下表所示：
水果单价
甲
乙
进价（元/千克）


售价（元/千克）
30
36
已知用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．
(1)求甲、乙两种水果的进价；
(2)若超市购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
23．如图，点和是一次函数的图像与反比例函数的图像的两个交点．

(1)求m、n的值；
(2)求一次函数的表达式；
(3)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，设点D是坐标平面内一个动点，当以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的所有点D的坐标．
24．在等腰△ABC中，AC＝BC，是直角三角形，∠DAE＝90°，∠ADE＝∠ACB，连接BD，BE，点F是BD的中点，连接CF．
（1）当∠CAB＝45°时．
①如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出∠EAB与∠CBA的数量关系是　 　．线段BE与线段CF的数量关系是　 　；
②如图2，当顶点D在边AB上时，（1）中线段BE与线段CF的数量关系是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由；
学生经过讨论，探究出以下解决问题的思路，仅供大家参考：
思路一：作等腰△ABC底边上的高CM，并取BE的中点N，再利用三角形全等或相似有关知识来解决问题；
思路二：取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°，再利用旋转性质、三角形全等或相似有关知识来解快问题．
（2）当∠CAB＝30°时，如图3，当顶点D在边AC上时，写出线段BE与线段CF的数量关系，并说明理由．

25．抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线y＝kx－6经过点B．点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的表达式和t，k的值；
(2)如图1，连接AC，AP，PC，若△APC是以CP为斜边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)如图2，若点P在直线BC上方的抛物线上，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，求的最大值．

参考答案：
1．A
【分析】根据倒数的定义，进行求解即可．
【详解】解：的倒数是；
故选A．
【点睛】本题考查倒数．熟练掌握互为倒数的两数之积为1，是解题的关键．
2．A
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3．A
【分析】根据从正面所看得到的图形为主视图，据此解答即可．
【详解】解：从正面可发现有两层，底层三个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图成为解答本题的关键．
4．C
【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，进而得出a的取值范围．
【详解】解：代数式在实数范围内有意义，则，
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，正确掌握被开方数满足非负数是解题的关键．
5．A
【详解】解：如图，∵∠1=30°，∠BAC=90°，
∴∠3=60°.
又∵DE∥FG，
∴∠2=∠3=60°.
故选A．


6．B
【分析】根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形判断即可；
【详解】A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义准确分析判断是解题的关键．
7．C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
8．A
【分析】利用众数和中位数的定义求解．
【详解】98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分；
共有25个数，最中间的数为第13个数，是96，所以数据的中位数为96分．
故选A．
【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
9．B
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【详解】设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1=k1x+40，根据题意得60k1+40=400，解得k1=6，
∴y1=6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2=k2x+240，根据题意得60k2+240=0，解得k2=-4，
∴y2=-4x+240，
联立，解得，
∴此刻的时间为9：20．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
10．D
【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，AE= CE=AC= 2，利用勾股定理求出AB、 BC的长度，进而可得EF= AB=2， CF=BC=，即可得出答案．
【详解】由题意得，BE为∠ABC的平分线，
∵ AB= BC，
BE⊥AC， AE= CE=AC = 2，
由勾股定理得，
AB= BC=，
∵点F为BC的中点，
∴EF=AB=， CF=BC=，
∴∆CEF的周长为：+2= 2+ 2．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰三角形的性质是解答本题的关键．
11．
【分析】原式利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．且
【分析】直接利用二次根式的定义：被开方数大于等于零，分式有意义的条件：分母不为零，分析得出答案．
【详解】∵式子有意义，
∴+1≥0，且-2≠0，
解得：≥-1且≠2．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件．
13．
【分析】根据方程有两个实数根得到判别式大于等于0，进行求解即可．
【详解】解∶∵关于x的一元二次方程有两个实数根
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查根与判别式的关系．熟练掌握方程有两个实数根，，是解题的关键．
14．16米
【分析】根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可．
【详解】解：设旗杆高度为h，由题意得：，
解得：（米）；
故答案为：16米．
【点睛】本题考查平行投影．熟练掌握同一时刻物高与影长对应成比例，是解题的关键．
15．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到BC＝AC＝6cm，根据三角函数定义即可求解．
【详解】解：∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，
又∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝AC＝6cm，
在Rt△BCD中，
cm
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，坡度坡角问题、含30°角的直角三角形，解题的关键是掌握仰俯角的定义，求得BC＝AC＝6cm．
16．
【分析】根据题意得出点坐标变化规律，进而得出变换后的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：点按序列“011011011”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，然后右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到，再将绕原点顺时针旋转90°得到．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．
17．
【分析】根据二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝

．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，化简绝对值是解题的关键．
18．，整数解为1，2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可．
【详解】解不等式①，得，
解不等式②，得，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集

原不等式组的解集是，
∴整数解为1，2．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19．证明见解析
【分析】连接BE、DF和BD，BD与AC交于点O，根据平行四边形的性质可得BO=DO，AO=CO，从而可证OF=OE，然后根据平行四边形的判定定理即可证出四边形DEBF为平行四边形，从而证出结论．
【详解】解：连接BE、DF和BD，BD与AC交于点O

∵四边形ABCD为平行四边形
∴BO=DO，AO=CO
∵AF=CE，
∴AF－AO=CE－CO
∴OF=OE
∴四边形DEBF为平行四边形
∴DE∥BF．
【点睛】此题考查的是平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定定理和性质定理是解题关键．
20．(1)200；
(2)见解析；
(3)估计参加B项活动的学生数有512名；
(4)画树状图见解析，他们参加同一项活动的概率为．

【分析】（1）根据D项活动所占圆心角度数和D项活动的人数计算即可；
（2）根据总人数求出参加C项活动的人数，进而可补全条形统计图；
（3）用该校总学生人数乘以抽查的学生中参加B项活动所占的比例即可；
（4）画出树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：（名），
即在这次调查中，一共抽取了200名学生，
故答案为：200；
（2）参加C项活动的人数为：200－20－80－40＝60（名），
补全条形统计图如图：

（3）（名），
答：估计参加B项活动的学生数有512名；
（4）画树状图如图：

由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们参加同一项活动的情况数有4种，
所以他们参加同一项活动的概率为．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或树状图法求概率，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键．
21．（1）45；（2）
【分析】（1）利用三角形内角和定理求解即可；
（2）过点作于点，可得出，在中，，由此可得出答案．
【详解】解：（1）
故答案为：45；
（2）解：过点作于点
在中，
∴（）
在中，
∴（）
答：处到处的距离即的长度是

【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用-方向角问题，属于基础题目，比较容易掌握．
22．(1)甲种水果的进价为20元，则乙种水果的进价为25元
(2)购进甲种水果100千克，乙种水果50千克，获得最大利润1550元．

【分析】（1）设甲种水果的进价为x元，则乙种水果的进价为（x+5）元，由题意：用1200元购进甲种水果的重量与用1500元购进乙种水果的重量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为y元，由题意得y＝﹣m+1650，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2（150﹣m），解得m≥100，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）设甲种水果的进价为x元，则乙种水果的进价为（x+5）元，
由题意得：，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解，且符合题意，
则x+5＝25，
答：甲种水果的进价为20元，则乙种水果的进价为25元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m）千克，利润为y元，
由题意得：y＝（30﹣20）m+（36﹣25）（150﹣m）＝﹣m+1650，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2（150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则y随m的增大而减小，
∴当m＝100时，y最大，最大值＝﹣100+1650＝1550，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为1550元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
23．(1)，
(2)
(3)
(4)，或，或

【分析】（1）点和分别代入反比例函数，即可求得m、n的值；
（2）将点和分别代入一次函数，解方程组求出k、b的值即得；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，设的表达式为，将点、分别代入求得，得到的表达式为，当时，，即得点P的坐标；
（4）设点D的坐标为，根据点A、B、P的坐标分别为、、，当是边时，则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，得到或；当AB是对角线时，根据中点公式得到；得到点D的坐标为，或，或．
【详解】（1）将点代入反比例函数，
得，，，
∴，
将代入，
得，，，
∴，；
（2）将点和分别代入一次函数，
得，，
解得，，
∴；
（3）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则点P为所求点，

理由：的周长为最小，
设的表达式为
∵点、，
∴，
解得，，
∴的表达式为，
∴时，，
故点P的坐标为；
（4）D的坐标为，或，或．理由：
由（1）（2）知，点A、B、P的坐标分别为、、，
设点D的坐标为，
①当是边时，
则点A向右平移2个单位向下平移4个单位得到B，同样点向右平移2个单位向下平移4个单位得到，
则0+2=s，5﹣4=t或0﹣2=s，5+4=t，
解得或；
②当AB是对角线时，
由中点公式得：， ，
解得；
故点D的坐标为，或，或．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合，轴对称，平行四边形等，解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，轴对称产生最小值，平行四边形的性质．
24．（1）①，；②仍然成立，证明见解析；（2），理由见解析．
【分析】（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．首先证明再利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．②解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．证明（SAS），可得结论．解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．证明四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，可得结论．
（2）结论：BE＝．如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．证明，可得结论．
【详解】解：（1）①如图1中，连接BE，设DE交AB于T．

∵CA＝CB，∠CAB＝45°，
∴∠CAB＝∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ADE＝∠ACB＝45°，∠DAE＝90°，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，


∴AT⊥DE，DT＝ET，
∴AB垂直平分DE，
∴BD＝BE，
∵∠BCD＝90°，DF＝FB，
∴CF＝BD，
∴CF＝BE．
故答案为：∠EAB＝∠ABC，CF＝BE．
②结论不变．
解法一：如图2﹣1中，取AB的中点M，BE的中点N，连接CM，MN．

∵∠ACB＝90°，CA＝CB，AM＝BM，
∴CM⊥AB，CM＝BM＝AM，
由①得：
设AD＝AE＝y．FM＝x，DM＝a，
点F是BD的中点，
则DF＝FB＝a+x，
∵AM＝BM，
∴y+a＝a+2x，
∴y＝2x，即AD＝2FM，
∵AM＝BM，EN＝BN，
∴AE＝2MN，MN∥AE，
∴MN＝FM，∠BMN＝∠EAB＝90°，
∴∠CMF＝∠BMN＝90°，
∴（SAS），
∴CF＝BN，
∵BE＝2BN，
∴CF＝BE．
解法二：如图2﹣2中，取DE的中点G，连接AG，CG，并把△CAG绕点C逆时针旋转90°得到，连接DT，GT，BG．

∵AD＝AE，∠EAD＝90°，EG＝DG，
∴AG⊥DE，∠EAG＝∠DAG＝45°，AG＝DG＝EG，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAG＝90°，
∴AC⊥AG，
∴AC∥DE，
∵∠ACB＝∠CBT＝90°，

∴AC∥BT∥，
∵AG＝BT，
∴DG＝BT＝EG，
∴四边形BEGT是平行四边形，四边形DGBT是平行四边形，
∴BD与GT互相平分，
∵点F是BD的中点，
∴BD与GT交于点F，
∴GF＝FT，
由旋转可得；
是等腰直角三角形，
∴CF＝FG＝FT，
∴CF＝BE．
（2）结论：BE＝．
理由：如图3中，取AB的中点T，连接CT，FT．

∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠ACB＝120°，
∵AT＝TB，
∴CT⊥AB，

∴AT＝，
∴AB＝，
∵DF＝FB，AT＝TB，
∴TF∥AD，AD＝2FT，
∴∠FTB＝∠CAB＝30°，
∵∠CTB＝∠DAE＝90°，
∴∠CTF＝∠BAE＝60°，
∵∠ADE＝∠ACB＝60°，

∴AE＝AD＝FT，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,锐角三角函数的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．(1)，，t=3，
(2)点
(3)

【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解；
（2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解；
（3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：∵在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，（舍），
∴．
∵在直线上，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为．
（2）解：如图，作轴于点，

对于，令x=0，则y=-6，
∴点C（0，-6），即OC=6，
∵A（3，0），
∴OA=3，
∵点P的横坐标为m．
∴，
∴，，
∵∠CAP=90°，
∴，
∵，
∴，
∵∠AOC=∠AMP=90°，
∴，
∴，
∴，即，
∴（舍），，
∴，
∴点．
（3）解：如图，作轴交于点，过点作轴于点，

∵，
∴点，
∴，
∵PN⊥x轴，
∴PN∥y轴，
∴∠PNQ=∠OCB，
∵∠PQN=∠BOC=90°，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵EN⊥y轴，
∴EN∥x轴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∴，
∴当时，的最大值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题．