2022年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷

这是一份2022年广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷，共23页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下列运算中，正确的是，下列叙述，错误的是等内容，欢迎下载使用。

广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列说法正确的是（　　）
A．负数没有倒数 B．正数的倒数比自身小
C．任何有理数都有倒数 D．﹣1的倒数是﹣1
2．如图所示的四个图案是四国冬季奥林匹克运动会会徽图案上的一部分图形，其中为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从54万亿元增长80万亿元，稳居世界第二，其中80万亿用科学记数法表示为（　　）
A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013
4．下列运算中，正确的是（　　）
A．2＝ B．x6÷x3＝x2 C．2﹣1＝﹣2 D．a3•a2＝a5
5．如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，则∠2的度数为（　　）

A．92° B．98° C．102° D．108°
6．将多项式x﹣x3因式分解正确的是（　　）
A．x（1﹣x2） B．x（x2﹣1）
C．x（1+x）（1﹣x） D．x（x+1）（x﹣1）
7．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是（　　）

A．50° B．45° C．140° D．130°
8．下列叙述，错误的是（　　）
A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
9．如图，这是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，根据统计图提供的信息，可得到该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（　　）

A．8，9 B．8，8.5 C．16，8.5 D．16，10.5
10．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中错误的是（　　）

A．函数有最小值
B．当﹣1＜x＜2时，y＞0
C．a+b+c＜0
D．当x＜，y随x的增大而减小
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为　 　．
12．若函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围为　 　．
13．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C，若AA′＝2OA′，则△ABC与△A′B′C′的周长比为　 　．

14．已知关于x的一元二次方程x2+bx+1＝0有两个相等的实数根，则b的值为　 　．
15．如图，是由10个完全相同的小正方体堆成的几何体．若现在你还有若干个相同的小正方体，在保证该几何体的从上面、从正面、从左面看到的图形都不变的情况下，最多还能放　 　个小正方体．

16．如图，ABCD是围墙，AB∥CD，∠ABC＝120°，一根6m长的绳子，一端拴在围墙一角的柱子B处，另一端E处拴着一只羊，这只羊活动区域的最大面积为　 　．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．计算：||+2﹣1﹣cos60°﹣（1﹣）0．
18．先化简，再求值：，其中x＝﹣1．
19．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，
（1）尺规作图：作∠ABC的平分线交AC于D点（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若∠C＝30°，求证：DC＝DB．

四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB＝60cm，BC＝80cm，∠A＝120°，∠B＝60°，∠C＝150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？

21．为建设“生态园林城市”吉安市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？
22．某县教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．某中学就“学生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：

（1）在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有　 　人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为　 　%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有　 　人喜欢篮球项目．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

24．已知如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，点D在AB上，DE⊥AB交BC于E，点F是AE的中点
（1）写出线段FD与线段FC的关系并证明；
（2）如图2，将△BDE绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°），其它条件不变，线段FD与线段FC的关系是否变化，写出你的结论并证明；
（3）将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果BC＝4，BE＝2，直接写出线段BF的范围．

25．如图，AB是⊙O的直径，＝，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．

广东省佛山市禅城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据倒数的定义可知．
【解答】解：A、负数有倒数，例如﹣1的倒数是﹣1，选项错误；
B、正数的倒数不一定比自身小，例如0.5的倒数是2，选项错误；
C、0没有倒数，选项错误；
D、﹣1的倒数是﹣1，正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了倒数的定义及性质．乘积是1的两个数互为倒数，除0以外的任何数都有倒数，倒数等于它本身的数是±1．
2．【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：根据轴对称图形的概念，A、B、C都不是轴对称图形，D是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题主要考查轴对称图形，轴对称图形的判断方法：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：80万亿用科学记数法表示为8×1013．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据实数的加法对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行判断；根据负整数指数幂的意义对C进行判断；根据同底数幂的除法对D进行判断．
【解答】解：A、2与不能合并，所以A选项错误；
B、x6÷x3＝x3，所以B选项错误；
C、2﹣1＝，所以C选项错误；
D、a3•a2＝a5，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了负整数指数幂、同底数幂的乘法与除法．
5．【分析】依据l1∥l2，即可得到∠1＝∠3＝52°，再根据∠4＝30°，即可得出从∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝98°．
【解答】解：如图，∵l1∥l2，
∴∠1＝∠3＝52°，
又∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣52°﹣30°＝98°，
故选：B．

【点评】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解本题的关键是利用平行线的性质．
6．【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：x﹣x3＝x（1﹣x2）
＝x（1﹣x）（1+x）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
7．【分析】先根据圆周角定理，由∠ABC＝90°，则利用互余可计算出∠A＝50°，然后根据圆内接四边形的性质得到∠D的度数．
【解答】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ACB＝90°﹣40°＝50°，
∵∠D+∠A＝180°，
∴∠D＝180°﹣50°＝130°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：熟练掌握三角形的外心的定义与性质．也考查了圆周角定理．
8．【分析】根据菱形的判定方法，矩形的判定方法，正方形的判定方法，平行四边形的判定方法分别分析即可得出答案．
【解答】解：
A、根据对角线互相垂直的平行四边形可判定为菱形，再有对角线且相等可判定为正方形，故此选项正确，不符合题意；
B、根据菱形的判定方法可得对角线互相垂直平分的四边形是菱形正确，故此选项正确，不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形是判断平行四边形的重要方法之一，故此选项正确，不符合题意；
D、根据矩形的判定方法：对角线互相平分且相等的四边形是矩形，因此只有对角线相等的四边形不能判定是矩形，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了菱形，矩形，正方形，平行四边形的判定，关键是需要同学们准确把握矩形、菱形正方形以及平行四边形的判定定理之间的区别与联系．
9．【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即8；
而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于20，21两个数的平均数，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；
故选：A．
【点评】考查了中位数、众数的概念．本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数．
10．【分析】A、观察可判断函数有最小值；B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，可判断函数值的符号；C、观察当x＝1时，函数值的符号，可判断a+b+c的符号；D、由抛物线对称轴和开口方向可知y随x的增大而减小，可判断结论．
【解答】解：A、由图象可知函数有最小值，故正确；
B、由抛物线可知当﹣1＜x＜2时，y＜0，故错误；
C、当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0，故正确；
D、由图象可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质与解析式的系数的关系．关键是熟悉各项系数与抛物线的各性质的联系．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
【解答】解：多边形的边数：360°÷30°＝12，
则这个多边形的边数为12．
故答案为：12．
【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
12．【分析】先根据反比例函数的性质列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝的图象在每个象限内y的值随x值的增大而增大，
∴m﹣2＜0，解得m＜2．
故答案为m＜2．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．
13．【分析】由位似的定义可得其位似比为3：1，利用相似三角形的周它比等于相似比可求得答案．
【解答】解：
由题意可知△ABC∽△A′B′C′，
∵AA′＝2OA′，
∴OA＝3OA′，
∴＝＝，
∴＝＝，
故答案为：3：1．
【点评】本题主要考查位似变换，由位似变换的定义求得相似三角形的相似比是解题的关键．
14．【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b的值．
【解答】解：根据题意知，△＝b2﹣4＝0，
解得：b＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
15．【分析】根据主视图是从正面看得到图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：主视图是第一层三个小正方形，第二层是左边一个小正方形，中间一个小正方形，第三层是左边一个小正方形，
俯视图是第一层三个小正方形，第二层三个小正方形，
左视图是第一层两个小正方形，第二层两个小正方形，第三层左边一个小正方形，
不改变三视图，中间第二层加一个，
故答案为：1．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看得到图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，从左面看得到的图形是左视图．
16．【分析】羊的活动区域应该分为两部分：①以∠ABC为圆心角，BE长为半径的扇形；②以∠BCD的补角为圆心角，以（BE﹣BC）长为半径的扇形；可根据两个扇形各自的圆心角和半径，计算出羊活动区域的面积．
【解答】解：（1）如图，扇形BFG和扇形CGH为羊活动的区域．

（2）S扇形GBF＝＝12πm2
S扇形HCG＝＝m2
∴羊活动区域的面积为：12π+m2．
故答案是：12π+m2．

【点评】此题主要考查的是扇形的面积计算方法，正确的判断出羊的活动区域是解答此题的关键．
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2﹣+﹣﹣1＝1﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝÷＝•＝﹣，
当x＝﹣1时，原式＝﹣1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．【分析】（1）根据角平分线的作法求出角平分线BD；
（2）想办法证明∠C＝∠CBD即可；
【解答】（1）解：射线BD即为所求；


（2）∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∴∠C＝∠CBD＝30°，
∴DC＝DB．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判断等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．【分析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM＝BC＝80cm，AB＝CM＝60cm，∠B＝∠AMC，求出∠D＝∠MCD，求出CM＝DM＝60cm，代入AD＝AM+DM求出即可．
【解答】解：
过C作CM∥AB，交AD于M，
∵∠A＝120°，∠B＝60°，
∴∠A+∠B＝180°，
∴AM∥BC，
∵AB∥CM，
∴四边形ABCM是平行四边形，
∴AB＝CM＝60cm，BC＝AM＝80cm，∠B＝∠AMC＝60°，
∵AD∥BC，∠C＝150°，
∴∠D＝180°﹣150°＝30°，
∴∠MCD＝60°﹣30°＝30°＝∠D，
∴CM＝DM＝60cm，
∴AD＝60cm+80cm＝140cm．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
21．【分析】（1）设需购买甲种树苗x棵，则需购买乙种树苗（400﹣x）棵，根据“购买两种树苗的总金额为90000元”列一元一次方程求解即可得；
（2）设购买甲种树苗a棵，则需购买乙种树苗（400﹣a）棵，根据“购买甲种树苗的金额≥购买乙种树苗的金额”列不等式求解可得．
【解答】解：（1）设需购买甲种树苗x棵，则需购买乙种树苗（400﹣x）棵，
根据题意，得：200x+300（400﹣x）＝90000，
解得：x＝300，
∴购买乙种树苗400﹣300＝100（棵），
答：需购买甲种树苗300棵，则需购买乙种树苗100棵；

（2）设购买甲种树苗a棵，则需购买乙种树苗（400﹣a）棵，
根据题意，得：200a≥300（400﹣a），
解得：a≥240，
答：至少应购买甲种树苗240棵．
【点评】本题主要考查一元一次方程与一元一次不等式的应用，根据题意抓住相等关系与不等关系列出方程或不等式是解题的关键．
22．【分析】（1）先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数，再计算出喜欢乒乓球项目的百分比，然后用800乘以样本中喜欢篮球项目的百分比可估计全校学生中喜欢篮球项目的人数；
（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解
【解答】解：（1）调查的总人数为20÷40%＝50（人），
所以喜欢篮球项目的同学的人数＝50﹣20﹣10﹣15＝5（人）；
“乒乓球”的百分比＝＝20%，
因为800×＝80，
所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目；
故答案为5，20，80；
（2）如图，

（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，
所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）
23．【分析】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；
设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），
将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：
，解得：，
∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．
（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．
设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），
∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，
EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点Q的坐标为（﹣2，0），
∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，
∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．
∵﹣＜0，
∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．
（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴点N的坐标为（0，3）．
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．
∵点C的坐标为（﹣2，3），
∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．
∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，
∴MN＝CM，
∴AM+MN＝AM+MC＝AC，
∴此时△ANM周长取最小值．
当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，
∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．
∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），
∴AC＝＝3，AN＝＝，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．


【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣x2﹣x+3；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．
24．【分析】（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．理由直角三角形斜边中线定理即可证明；
（2）如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．想办法证明△ABN≌△MBE，推出AN＝EM，再利用三角形中位线定理即可解决问题；
（3）分别求出BF的最大值、最小值即可解决问题；
【解答】解：（1）结论：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如图1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．


（2）结论不变．
理由：如图2中，延长AC到M使得CM＝CA，延长ED到N，使得DN＝DE，连接BN、BM．EM、AN，延长ME交AN于H，交AB于O．

∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，FC∥EM，同法FD＝AN，FD∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，FD⊥FC．

（3）如图3中，当点E落在AB上时，BF的长最大，最大值＝3

如图4中，当点E落在AB的延长线上时，BF的值最小，最小值＝．

综上所述，≤BF．
【点评】本题考查等腰直角三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．【分析】（1）只要证明△ABC是等腰直角三角形即可；
（2）只要证明CB＝CP，CB＝CA即可；、
（3）①分四种情形分别画出图形一一求解即可；
②分两种情形如图6中，作EK⊥PC于K．只要证明四边形ADBC是正方形即可解决问题；如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝，可得S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝，再根据S△BDE＝•S△PBD计算即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，连接BC．

∵＝，
∴BC＝CA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠CBA＝45°．

（2）解：如图1中，设PB交CD于K．
∵＝，
∴∠CDB＝∠CDP＝45°，CB＝CA，
∴CD平分∠BDP，又∵CD⊥BP，
∴∠DKB＝∠DKP＝90°，∵DK＝DK，
∴△DKB≌△DKP，
∴BK＝KP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP＝CB＝CA．

（3）①（Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD＝15°；

理由：连接BD、OC．作BG⊥PC于G．则四边形OBGC是正方形，
∵BG＝OC＝OB＝CG，
∵BA＝BA，
∴PB＝2BG，
∴∠BPG＝30°，
∵AB∥PC，
∴∠ABP＝30°，
∵BD垂直平分AP，
∴∠ABD＝∠ABP＝15°，
∴∠ACD＝15°
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD＝105°；

理由：作BG⊥CP于G．
同法可证∠BPG＝30°，可得∠APB＝∠BAP＝∠APC＝15°，
∴∠ABD＝75°，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠ACD＝105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD＝60°；

理由：作AH⊥PC于H，连接BC．
同法可证∠APH＝30°，可得∠DAC＝75°，∠D＝∠ABC＝45°，
∴∠ACD＝60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD＝120°

理由：作AH⊥PC于H．
同法可证：∠APH＝30°，可得∠ADC＝45°，∠DAC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ACD＝120°．
②如图6中，作EK⊥PC于K．

∵EK＝CK＝3，
∴EC＝3，
∵AC＝6，
∴AE＝EC，
∵AB∥PC，
∴∠BAE＝∠PCE，∵∠AEB＝∠PEC，
∴△ABE≌△CPE，
∴PC＝AB＝CD，
∴△PCD是等腰直角三角形，可得四边形ADBC是正方形，
∴S△BDE＝•S正方形ADBC＝36．
如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．

由题意CK＝EK＝3，PK＝1，PG＝2，
由△AOQ∽△PCQ，可得QC＝，
PQ2＝，
由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝，
∴S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝，
∴S△BDE＝•S△PBD＝
综上所，满足条件的△BDE的面积为36或．
【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中30度角的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．