初中数学同步 9年级上册 第10课 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c（教师版含解析） 试卷

这是一份初中数学同步 9年级上册 第10课 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c（教师版含解析），共34页。

第10课 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)

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课程标准
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；
3. 掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；(上加下减).

知识精讲

知识点01 二次函数的概念
一般地，形如 (a≠0，a, b, c为常数)的函数是二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①(a≠0)；②(a≠0)；③(a≠0)；④(a≠0)，其中；⑤(a≠0).
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的 .

2.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式： (，，为常数，)；
2. 顶点式： (，，为常数，)；
3. 交点式： (，，是抛物线与轴两交点的横坐标)(或称交点式).

要点诠释：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
知识点02 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做 .
因为抛物线y=x2关于 对称，所以 是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的 ，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最 点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最 值，它的最小值就是最低点的 .

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点诠释：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点： .
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质，见下表：
函数

图象
开口
方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a>0




x>0时，
y随x增大而 ；
x<0时，
y随x增大而 .

y=ax2
a<0




x>0时，
y随x增大而 ；
x<0时，
y随x增大而 .


要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.

知识点03 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
(1)











(2)











2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数


图象


开口方向


顶点坐标


对称轴


函数变化
当时，y随x的增大而 ；
当时，y随x的增大而 .
当时，y随x的增大而 ；
当时，y随x的增大而 .
最大(小)值



3.二次函数与之间的关系；(上加下减).
的图象向 (c＞0)【或向 (c＜0)】平移│c│个单位得到的图象.
要点诠释：
抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ，与抛物线的形状 ．
函数的图象是由函数的图象向上(或向下)平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
能力拓展


考法01 二次函数的概念
【典例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是(　　)．
A. y=3x﹣1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+
【即学即练1】如果函数是二次函数，求m的值．
考法02 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
【典例2】函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．
【即学即练2】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ．
【即学即练3】抛物线y=﹣x2不具有的性质是(　　)．
A.开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D. 最高点是原点
考法03 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
【典例3】求下列抛物线的解析式：
(1)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(0，-5)的抛物线；
(2)顶点为(0，1)，经过点(3，-2)并且关于y轴对称的抛物线．
【典例4】在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．

(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．

分层提分


题组A 基础过关练
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y=x(x+1) B．x2y=1
C．y=2x2-2(x-1)2 D．y=x—0.5
2．若y=(m﹣1) 是关于x的二次函数，则m的值为(　　)
A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在
3．下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．它的图象经过点 B．当时，随的增大而减小
C．当时，有最大值为 D．它的图象的对称轴是直线
4．抛物线顶点在()
A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上
5．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是_____．
6．y=x²过A(1，a)，B(2，b)，则 a_______b (填＞，＜或=)
7．抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是_____．(填“上升”或“下降”)
8．抛物线y＝x2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点是_____，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____；当x＝0时，y有最_____值是_____．

题组B 能力提升练
1．函数y=(m+2)+2x+1是二次函数，则m的值为(　　)
A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1
2．如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A． B． C． D．
3．抛物线，，共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是轴
C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
4．已知点(-2，)，(0，)，(1，)都在函数的图象上，则( )
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
5．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是( )

A． B． C． D．
6．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点(-1，0)和点(1，0)；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是(0，1)；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有( )
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
7．函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A．B．C．D．
8．若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为_______________．
9．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
10．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．

11．二次函数图像的顶点坐标是_____.
22．二次函数y=3x2-3的图象开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____，当x>0时，y随x的增大而_____；当x<0时，y随x的增大而_____.因为a=3>0，所以y有最_____值，当x=_____时，y的最_____值是_____.
题组C 培优拔尖练
1．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
2．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大?
(3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小．
3．已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．
(1)请求出一次函数的表达式；
(2)设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
4．在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.

5．如图，已知函数与的交点为A，B(A在B的右边)．

(1)求点A、点B的坐标；
(2)连接，，求的面积．
6．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x，y)，点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为(﹣x，﹣y)；当x≤0时，Q点坐标为(﹣x，﹣y+2)．例如：(﹣2，3)的变换点是(2，﹣1)．
(1)(1，2)的变换点为　　，(﹣1，﹣2)的变换点为　　．
(2)点M(m﹣1，5)的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
(3)如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．





































第10课 二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c(a≠0)

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课程标准
1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；
2．会用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；
3. 掌握二次函数y=ax2(a≠0) 与的图象的性质，掌握二次函数与之间的关系；(上加下减).

知识精讲

知识点01 二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c(a≠0，a, b, c为常数)的函数是二次函数.
若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c(a≠0)是二次函数的一般式.
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①(a≠0)；②(a≠0)；③(a≠0)；④(a≠0)，其中；⑤(a≠0).
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

2.二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：(，，为常数，)；
2. 顶点式：(，，为常数，)；
3. 交点式：(，，是抛物线与轴两交点的横坐标)(或称交点式).

要点诠释：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化。
知识点02 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象
用描点法画出二次函数y=ax2(a≠0)的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y=x2关于y轴对称，所以y轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x2的顶点是图象的最低点。因为抛物线y=x2有最低点，所以函数y=x2有最小值，它的最小值就是最低点的纵坐标.

2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法
用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.
要点诠释：
二次函数y=ax2(a≠0)的图象．用描点法画二次函数y=ax2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数，把y=ax2(a≠0)的图象左右、上下平行移动可以得到y=ax2+bx+c(a≠0)的图象．
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.
3.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质
二次函数y=ax2(a≠0)的图象的性质，见下表：
函数

图象
开口
方向
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a>0

向上
(0，0)
y轴
x>0时，
y随x增大而增大；
x<0时，
y随x增大而减小.
当x=0时，
y最小=0
y=ax2
a<0

向下
(0，0)
y轴
x>0时，
y随x增大而减小；
x<0时，
y随x增大而增大.
当x=0时，
y最大=0

要点诠释：
顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.
│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x轴.

知识点03 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
1.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象
(1)











(2)











2.二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：
函数


图象


开口方向
向上
向下
顶点坐标
(0，c)
(0，c)
对称轴
y轴
y轴
函数变化
当时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
当时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
最大(小)值
当时，
当时，

3.二次函数与之间的关系；(上加下减).
的图象向上(c＞0)【或向下(c＜0)】平移│c│个单位得到的图象.
要点诠释：
抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线的形状相同．
函数的图象是由函数的图象向上(或向下)平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．
抛物线y＝ax2(a≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a的值不变，只是位置发生变化而已．
能力拓展


考法01 二次函数的概念
【典例1】下列函数解析式中，一定为二次函数的是(　　)．
A. y=3x﹣1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2﹣2t+1 D．y=x2+
【答案】C；
【解析】A、y=3x﹣1是一次函数，故A错误；
B、y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数，故B错误；
C、s=2t2﹣2t+1是二次函数，故C正确；
D、y=x2+不是二次函数，故D错误；
故选：C．
【总结升华】本题考查了二次函数的定义，y=ax2+bx+c (a≠0)是二次函数，注意二次函数都是整式．

【即学即练1】如果函数是二次函数，求m的值．
【答案】 根据题意，得 解得m＝0．
考法02 二次函数y=ax2(a≠0)的图象及性质
【典例2】函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”号)．
【答案】＜.
【解析】解法一：将A(a，15)，分别代入y＝x2中得：，
∴ ；，
又A、B在抛物线对称轴左侧，∴ a＜0，b＜0，即，，
∴
解法二：画函数y＝x2的草图(如图所示)，可知在y轴左侧(x＜0)时，y随x的增大而减小，

又∵ ，a＜b，即a-b＜0．
【总结升华】利用草图和函数的增减性比较函数值的大小或自变量的大小显得更简单、直观，充分运用了数形结合的思想．
【即学即练2】二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ．
【答案】2；
【即学即练3】抛物线y=﹣x2不具有的性质是(　　)．
A.开口向上 B. 对称轴是y轴
C. 在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 D. 最高点是原点
【答案】A.
考法03 二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
【典例3】求下列抛物线的解析式：
(1)与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(0，-5)的抛物线；
(2)顶点为(0，1)，经过点(3，-2)并且关于y轴对称的抛物线．
【答案与解析】
(1)由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，
又顶点坐标是(0，-5)，故常数项，所以所求抛物线为．
(2)因为待求抛物线顶点为(0，1)，所以其解析式可设为，
又∵ 该抛物线过点(3，-2)，∴ ，解得．
∴ 所求抛物线为．
【总结升华】抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定的值，从而确定抛物线的解析式．
【典例4】在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．

(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．

【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1.
【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．
(1)抛物线向 下 平移 1__个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是 向下 ，对称轴为___ y轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__；
(3)抛物线，当x ＞0时，y随x的增大而减小；
当x ＝0__时，函数y有最 大 值，其最 大__值是 1 ．
【总结升华】本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的．
分层提分


题组A 基础过关练
1．下列函数是二次函数的是( )
A．y=x(x+1) B．x2y=1
C．y=2x2-2(x-1)2 D．y=x—0.5
【答案】A
【分析】
利用二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)，进而判断得出即可．
【详解】
A、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
B、整理后：y=，不符合二次函数形式，故本选项错误；
C、整理后，该函数的自变量的最高次数是1，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数属于一次函数，故本选项错误.
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2．若y=(m﹣1) 是关于x的二次函数，则m的值为(　　)
A．﹣2 B．﹣2或1 C．1 D．不存在
【答案】A
【分析】
已知一个函数是二次函数求字母的取值的解题步骤是：先令二次项的次数等于2，求出字母的值，再把使二次项系数等于零的值舍去就可得到答案.
【详解】
因为y＝(m﹣1)是关于x的二次函数，
所以m2＋m＝2，m－1≠0，
所以m＝－2
故选A.
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是熟记二次函数的性质.
3．下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．它的图象经过点 B．当时，随的增大而减小
C．当时，有最大值为 D．它的图象的对称轴是直线
【答案】B
【分析】
根据二次函数作出示意图，然后根据示意图逐一判断即可．
【详解】
由题意得：

当x=-1时，y=2，故A选项错误；
当时，随的增大而减小，故B选项正确；
当时，有小值为，故C选项错误；
图象的对称轴是直线，故D选项错误；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，正确的作出示意图是本题的关键．
4．抛物线顶点在()
A．第一象限 B．第二象限 C．轴上 D．轴上
【答案】D
【分析】
求出顶点坐标，再根据平面直角坐标系各象限的坐标特征判断即可.
【详解】
∵抛物线y=2x2-3的顶点坐标为(0，-3)，
∴抛物线y=2x2-3的顶点在y轴上．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是能正确求出顶点坐标．也考查了坐标平面内点的坐标特征.
5．抛物线y＝﹣x2+6的顶点坐标是_____．
【答案】(0，6)．
【解析】
【分析】
已知的解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】
解：因为y＝﹣x2+6是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(0，6)．
故答案为(0，6)．
【点睛】
此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y＝a(x﹣h)2+k的顶点坐标为(h，k)．
6．y=x²过A(1，a)，B(2，b)，则 a_______b (填＞，＜或=)
【答案】＜
【分析】
分别把A,B的值代入解析式即可解答.
【详解】
解：，
对称轴为轴，
点，在轴的右侧，随的增大而增大，
，
，
故答案为．
【点睛】
此题考查二次函数的性质，解题关键在于利用待定系数法求解.
7．抛物线y＝x2﹣2在y轴右侧的部分是_____．(填“上升”或“下降”)
【答案】上升．
【解析】
【分析】
根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．
【详解】
∵y＝x2﹣2，
∴其对称轴为y轴，且开口向上，
∴在y轴右侧，y随x增大而增大，
∴其图象在y轴右侧部分是上升，
故答案为上升．
【点睛】
本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数图象在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．
8．抛物线y＝x2的开口方向_____，对称轴是_____，顶点是_____，当x＜0时，y随x的增大而_____；当x＞0时，y随x的增大而_____；当x＝0时，y有最_____值是_____．
【答案】上， y轴， (0，0)， 减小， 增大， 最小， 0．
【分析】
根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
解：y＝x2的开口方向 上，对称轴是 y轴，顶点是 (0，0)，当x＜0时，y随x的增大而 减小；当x＞0时，y随x的增大而 增大；当x＝0时，y有最 最小值是 0，
故答案为上，y轴，(0，0)，减小，增大，最小，0．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题关键．

题组B 能力提升练
1．函数y=(m+2)+2x+1是二次函数，则m的值为(　　)
A．﹣2 B．0 C．﹣2或1 D．1
【答案】D
【分析】
根据二次函数的定义得到=2且m+2≠0，由此求得m的值．
【详解】
∵函数y=(m+2+2x+1是二次函数，
∴m2+m=2，m+2≠0，
解得：m=1．
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，解题关键是二次项系数不能等于0.
2．如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【详解】
∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y=x2+2-1，即y=x2+1．
故选C．
3．抛物线，，共有的性质是( )
A．开口向下 B．对称轴是轴
C．都有最低点 D．y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质解题．
【详解】
解：抛物线的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
抛物线的图象开口向下，对称轴为y轴，有最高点，在对称轴右侧，y随x增大而减小，在对称轴左侧，y随x增大而增大．
抛物线的图象开口向上，对称轴为y轴，有最低点，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大．
∴抛物线共有的性质是对称轴为y轴．
故选B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质．
4．已知点(-2，)，(0，)，(1，)都在函数的图象上，则( )
A．＞＞ B．＞＞
C．＞＞ D．＞＞
【答案】B
【详解】
函数的图象的对称轴是y轴，顶点是原点，开口向上，所以离原点越远，函数值就越大.
因为|-2|＞1＞0，所以y1＞y3＞y2.
故选B.
5．如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共顶点，则实数a的取值范围是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
【详解】
解：当抛物线经过(1，3)时，a=3，
当抛物线经过(3，1)时，a=，
观察图象可知≤a≤3，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点(-1，0)和点(1，0)；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是(0，1)；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有( )
A．5个 B．4个 C．3个
D．2个
【答案】B
【分析】
根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【详解】
①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点(-1，0)和点(1，0)，故本小题正确；
③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是(0，1)，故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.
7．函数y＝ax－2 (a≠0)．与y＝ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向上，直线与y轴的负半轴相交，经过第一、三、四象限，②当a＜0时，抛物线开口向下，直线与y轴的负半轴相交，经过第二、三、四象限，因此选择A．
【详解】
解：∵在y=ax-2，
∴b=-2，
∴一次函数图象与y轴的负半轴相交，
∵①当a＞0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选A．
【点睛】
考核知识点：二次函数图象.
8．若抛物线y=ax2经过点A (，－9)，则其解析式为_______________．
【答案】y=-3x2
【解析】
把点A代入：得，，解得：，
∴该抛物线的解析式为：.
9．若函数y＝(m－3)是二次函数，则m＝______.
【答案】-5
【分析】
根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．
【详解】
∵函数y=(m－3)是二次函数，
∴m2+2m-13=2且m-3≠0
解得：m=-5.
考点：二次函数的定义．
10．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为_____．

【答案】a＞b＞d＞c
【分析】
设x=1，函数值分别等于二次项系数，根据图象，比较各对应点纵坐标的大小．
【详解】
因为直线x=1与四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，
所以，a＞b＞d＞c．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象，采用了取特殊点的方法，比较字母系数的大小．
11．二次函数图像的顶点坐标是_____.
【答案】(0,-1)
【分析】
二次函数的性质类型的题目,根据题意，把二次函数的一般形式转化为顶点式解析式；
再根据顶点式解析式即可求出二次函数的顶点坐标.
【详解】
因为y＝x2－1＝(x－0)2－1，即当x＝0时，y＝-1，所以二次函数y＝x2－1的顶点坐标为(0，-1).
答案为：(0，-1).
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是要把二次函数解析式转化为顶点式.
22．二次函数y=3x2-3的图象开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____，当x>0时，y随x的增大而_____；当x<0时，y随x的增大而_____.因为a=3>0，所以y有最_____值，当x=_____时，y的最_____值是_____.
【答案】上 (0，-3) y轴 增大 减小 小 0 小 -3.
【详解】
二次函数y=3x2-3中k=3,所以开口向上，顶点坐标(0，－3)，对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.因为a=3>0，所以y有最小值，当x=0时，y的最小值是－3.
故答案是：上， (0，-3) ，y轴， 增大，减小，小，0， 小，-3.


题组C 培优拔尖练
1．已知 是二次函数，且函数图象有最高点．
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而减少．
【答案】(1)k=﹣3；(2)当k=﹣3时，y=﹣x2顶点坐标(0，0)，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
【解析】
试题分析：(1)根据二次函数的定义得出k2+k﹣4=2，再利用函数图象有最高点，得出k+2＜0，即可得出k的值；
(2)利用(1)中k的值得出二次函数的解析式，利用形如y=ax2(a≠0)的二次函数顶点坐标为(0，0)，对称轴是y轴即可得出答案．
试题解析：解：(1)∵是二次函数，∴k2+k﹣4=2且k+2≠0，解得k=﹣3或k=2．∵函数有最高点，∴抛物线的开口向下，∴k+2＜0，解得k＜﹣2，∴k=﹣3；
(2)当k=﹣3时，二次函数为y=﹣x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，当x＞0时，y随x的增大而减少．
2．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最底点?求出这个最底点的坐标，这时为何值时y随的增大而增大?
(3)m为何值时，抛物线有最大值?最大值是多少?这时为何值时，y随的增大而减小．
【答案】(1) (2)m=2,(0,0) (3)见解析
【解析】
试题分析：
(1) 对照题目中所给出的二次函数解析式与二次函数的一般形式容易得到m的取值需要满足的条件. 综合考虑能够同时满足这些条件的m的取值即可.
(2) 根据二次函数的图象与性质易知，当抛物线开口向上时有最低点，且抛物线的开口方向由(m+2)的符号确定. 利用这一规律可以得到满足题意的m的取值范围，再结合第(1)小题的结论即可确定m的取值. 利用m的取值可以得到二次函数的具体解析式，不难得到抛物线最低点的坐标. 根据二次函数的图象与性质易知，抛物线开口向上时，在对称轴右侧y随x的增大而增大.
(3) 根据二次函数的图象与性质易知，当抛物线开口向下时有最大值. 仿照第(2)小题的思路即可得解.
试题解析：
(1) 对照该函数解析式与二次函数的一般形式y=ax2+bx+c (a≠0)可知，m的取值应该同时满足下列两个条件：
，
解上述不等式，得 m≠-2，
解上述一元二次方程，得 m1=2，m2=-3，
因此，满足条件的m值为2或-3.
(2) 由二次函数的图象与性质可知：当m+2>0时，抛物线开口向上，有最低点.
故m的取值应该满足：m+2>0，即m>-2，
结合第(1)小题的结论得，当m=2时，抛物线有最低点.
当m=2时，二次函数的解析式为：y=4x2，故该抛物线最低点的坐标为(0, 0).
由于二次函数y=4x2图象的对称轴为y轴，即直线x=0，且抛物线开口向上，故当x>0时y随x的增大而增大.
综上所述，当m=2时，抛物线有最低点，最低点的坐标为(0, 0)；当x>0时，y随x的增大而增大.
(3) 由二次函数的图象与性质可知：当m+2<0时，抛物线开口向下，有最大值.
故m的取值应该满足：m+2<0，即m<-2，
结合第(1)小题的结论得，当m=-3时，抛物线有最大值.
当m=-3时，二次函数的解析式为：y=-x2，
故当x=0时，该抛物线取得最大值，最大值为0.
由于二次函数y=-x2图象的对称轴为y轴，即直线x=0，且抛物线开口向下，故当x>0时y随x的增大而减小.
综上所述，当m=-3时，抛物线有最大值，最大值为0；当x>0时，y随x的增大而减小.
点睛：
本题考查了二次函数的图象与性质的相关知识点. 解决这类题目需要熟练掌握二次函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，与y轴交点坐标，与x轴交点坐标等方面的规律以及图象与解析式之间的相互关系. 由于规律较多，记忆起来比较复杂，在解题过程中往往可以绘制二次函数草图，将图形和总结的规律结合起来可以提高解题的效率和准确性.
3．已知一次函数y=ax+b的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y=x2的图象经过A、B两点．
(1)请求出一次函数的表达式；
(2)设二次函数的顶点为C，求△ABC的面积．
【答案】(1)；(2)2．
【详解】
试题分析：(1)将A、B的横坐标代入抛物线的解析式中，即可求得A、B的坐标，然后将它们代入直线的解析式中，可得方程组，解方程组即可求得a、b的值，从而得一次函数的表达式；(2)抛物线y=x2的顶点是原点O，设直线AB与x轴的交点为D，先根据直线AB的解析式求出D点坐标，然后根据△ADO的面积减去△OBD的面积=△OAB的面积即可求得．
△OAB的面积．
试题解析：解：(1)设A点坐标为(3，m)；B点坐标为(-1，n)．
∵A、B两点在y=x2的图象上，∴m=×9=3，
n=×1=．
∴A(3，3)，B(-1，)．
∵A、B两点又在y=ax+b的图象上，可得，
，解得
∴一次函数的表达式是．
(2)如下图，设直线AB与x轴的交点为D，则D点坐标为(,0),
S△ABC=S△ADC-S△BDC=××3-××1=2．

考点：二次函数与一次函数综合题．
4．在平面直角坐标系中，若抛物线与直线交于点和点，其中，点为原点，求的面积.

【答案】.
【分析】
首先求得两个交点的坐标，然后求得直线与y轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】
解：由题意得：

解得：或
∵点和点，其中
∴，
直线与y轴的交点坐标为：(0，1)
∴
【点睛】
考查了二次函数的性质，解题的关键是了解如何求得两个图象的交点坐标．
5．如图，已知函数与的交点为A，B(A在B的右边)．

(1)求点A、点B的坐标；
(2)连接，，求的面积．
【答案】(1)交点A，B的坐标分别为；(2)．
【分析】
(1)根据题意，将一次函数与二次函数解析式联立，解出方程就可以得到交点坐标；
(2)根据题意，设直线与y轴交于点C，把分成和，再利用点坐标分别求面积．
【详解】
(1)由题意得
解得或
即交点A，B的坐标分别为．
(2)如图

设直线与y轴交于点，即．
．
【点睛】
本题考查了函数图象交点的求解，用割补法求平面直角坐标系中三角形的面积，关键在于第二问中利用割补法将大三角形分成两个面积好求的小三角形去求面积．
6．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x，y)，点P的变换点Q的坐标定义如下：当x＞0时，Q点坐标为(﹣x，﹣y)；当x≤0时，Q点坐标为(﹣x，﹣y+2)．例如：(﹣2，3)的变换点是(2，﹣1)．
(1)(1，2)的变换点为　　，(﹣1，﹣2)的变换点为　　．
(2)点M(m﹣1，5)的变换点在一次函数y＝x+2的图象上，求点M的坐标.
(3)如图，若点P在二次函数y＝﹣x2+4的图象上，点Q为点P的变换点．
①请在方格图中画出点Q所在函数的图象.
②求点Q所在函数图象的表达式．

【答案】(1)(﹣1，﹣2)，(1，4)；(2)点M坐标(7，5)；(3)①图象见解析；②
【分析】
(1)由变换点坐标可求解；
(2)分1−m>0，1−m≤0两种情况讨论，把点M的变换点坐标代入解析式可求点M坐标；
(3)①求出x≥0，x<0时的解析式，即可画出图象；②由①可求解.
【详解】
(1)∵1>0
∴(1,2)的变换点为(−1,−2)
∵−1<0
∴(−1,−2)的变换点为(1,4)
故答案为：(−1,−2),(1,4)
(2)当m﹣1＞0时，点M的变换点为(1﹣m，﹣5)
∴1﹣m+2＝﹣5，∴m＝8
∴点M(7，5)
当m﹣1≤0时，点M的变换点(1﹣m，﹣3)，∴1﹣m+2＝﹣3
∴m＝6(不合题意舍去)
∴点M坐标(7，5)
(3)①设点P(x，y)
当x≤0时，点Q(﹣x，﹣y+2)，即﹣x≥0，
∵y＝﹣x2+4，∴﹣y＝x2﹣4，∴﹣y+2＝x2﹣4+2
∴﹣y+2＝(﹣x)2﹣2
∴点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣2 (x≥0)
当x＞0时，点Q(﹣x，﹣y)，即﹣x＜0
∵y＝﹣x2+4
∴﹣y＝x2﹣4＝(﹣x)2﹣4
点Q所在函数解析式为：y＝x2﹣4(x＜0)
由函数解析式可得图象如下：

②由①可得
【点睛】
本题考查直角坐标系中点的变换，以及画抛物线图像，理解变换方式并进行分类讨论是解题的关键.