第6讲 分式方程（讲义）（教师版含解析）中考数学一轮复习讲义+训练

中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)

第六讲  分式方程

一、4个必备知识点

考点一  解分式方程

考点二  含参分式方程

考点三  分式方程的应用

一、4个必备知识点

1．分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．

2．分式方程的解法

(1)解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．

(2)解分式方程的步骤：

①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；

②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；

③解整式方程；

④验根．

注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．

3．增根

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．

注意：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．

4．分式方程的应用

(1)分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．

每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等．

(2)列分式方程解应用题的一般步骤：

①设未知数；

②找等量关系；

③列分式方程；

④解分式方程；

⑤检验(一验分式方程，二验实际问题)；

⑥答．

考点一  解分式方程

1．解方程：

(1)﹣＝；

(2)﹣＝1．

【解答】解：(1)去分母得：3(3x﹣1)﹣2＝5，

去括号得：9x﹣3﹣2＝5，

移项合并得：9x＝10，

解得：x＝，

检验：把x＝代入得：2(3x﹣1)≠0，

∴x＝是分式方程的解；

(2)去分母得：x(x+2)﹣3＝(x﹣1)(x+2)，

整理得：x2+2x﹣3＝x2+x﹣2，

解得：x＝1，

检验：把x＝1代入得：(x﹣1)(x+2)＝0，

∴x＝1是增根，分式方程无解．

2．解分式方程

(1)；

(2)．

【解答】解：(1)方程两边同乘以(x﹣2)，得1﹣3(x﹣2)＝1﹣x，

解这个整式方程得x＝3，

检验：把x＝3代入(x﹣2)，得3﹣2≠0，

所以，x＝3是原方程的解．

(2)方程两边同乘以(x2﹣9)，得3(x+3)﹣(x﹣3)＝18，

解这个整式方程得x＝3，

检验：把x＝3代入(x2﹣9)，得9﹣9＝0，

所以，原方程无解．

3．解分式方程：

(1)．

(2)．

【解答】解：(1)方程两边同乘(x﹣5)，

得3﹣x+5＝2x﹣1，

解得x＝3，

经检验，x＝3是原方程的解；

(2)方程两边同乘(x﹣2)(x+2)，

得12﹣(x﹣1)(x﹣2)＝(6﹣x)(x+2)，

解得x＝﹣2，

经检验，x＝﹣2是增根，原方程无解．

4．以下是小明同学解方程的过程：

解：方程两边同时乘(x﹣3)，得

1﹣x＝﹣1﹣3﹣﹣﹣﹣第一步

解得：x＝5﹣﹣﹣﹣第二步

检验：当x＝5时，x﹣3＝5﹣3＝2≠0﹣﹣﹣﹣第三步

所以x＝5是原方程的根﹣﹣﹣﹣第四步

(1)小明的解法从第 　一　步开始出现错误．

(2)写出正确的解方程的过程．

【解答】解：(1)小明的解法从第一步开始出现错误，

故答案为：一；

(2)去分母得：1﹣x＝﹣1﹣3x+9，

解得：，

经检验是分式方程的解．

5．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，﹣这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：﹣＝．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：．

(1)参考上面的方法，将下列分式化为带分式：＝　　；＝　　．

(2)解分式方程：；

(3)当x取什么整数值时，分式的值为整数．

(4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍，另一个两位数n．十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的三位数m．

【解答】(1)＝＝，

，

故答案为：，；

(2)原方程化为：，

得，

∴，

∴x2﹣x﹣6＝x2﹣4x+4，

∴3x＝10，

∴，

经检验：是原方程的解；

(3)，

＝，

∴x＝0时，原式为整数；

(4)设三位数的百位数字为x，十位数字为y，则个位数字为2x，n＝10x+y，m＝100x+10y+2x，

∵2x＜10，

∴x＜5，

＝

＝

＝，

∴10x＜4x2，

∴，

当x＝3时，

∵为正整数，

∴y＝6，

当x＝4时，∵0＜y＜10且y为正整数，

∴不可能为整数，

∴m＝366．

考点二  含参分式方程

1．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则m的值为(　　)

A．m＝2 B．m＝1 C．m＝3 D．m＝﹣3

【解答】解：去分母得：m+3＝x﹣2，

由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，

把x＝2代入整式方程得：m+3＝0，

解得：m＝﹣3，

故选：D．

2．若关于x的方程＝0的解为正数，则m的取值范围是(　　)

A．m＜2 B．m＜2且m≠0 C．m＞2 D．m＞2且m≠4

【解答】解：∵解方程，

去分母得：mx﹣2(x+1)＝0，

整理得：(m﹣2)x＝2，

∵方程有解，

∴，

∵分式方程的解为正数，

∴，

解得：m＞2，

∴m的取值范围是：m＞2．

故选：C．

3．关于x的分式方程＝﹣1的解是正数，则m的取值范围是(　　)

A．m＞﹣2 B．m＜﹣2 C．m＞﹣2且m≠2 D．m＜﹣2且m≠﹣2

【解答】解：去分母，得x+m﹣2m＝2﹣x，

移项，得2x＝2+m，

∴x＝1+．

由于方程的解是正数，

∴1+＞0且1+≠2．

解得m＞﹣2且m≠2．

故选：C．

4．已知点P(1﹣2a，a﹣2)关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，则关于x的分式方程＝2的解是(　　)

A．5 B．1 C．3 D．不能确定

【解答】解：∵点P(1﹣2a，a﹣2)关于原点的对称点在第一象限内，且a为整数，

∴，

解得：＜a＜2，即a＝1，

当a＝1时，所求方程化为＝2，

去分母得：x+1＝2x﹣2，

解得：x＝3，

经检验x＝3是分式方程的解，

则方程的解为3．

故选：C．

5．已知关于x的分式方程﹣4＝的解为非正数，则k的取值范围是(　　)

A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12

【解答】解：方程﹣4＝两边同时乘以(x﹣3)得：

x﹣4(x﹣3)＝﹣k，

∴x﹣4x+12＝﹣k，

∴﹣3x＝﹣k﹣12，

∴x＝+4，

∵解为非正数，

∴+4≤0，

∴k≤﹣12．

故选：A．

6．关于x的分式方程﹣＝1有增根，则它的增根是(　　)

A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝1或x＝﹣1 D．x＝3

【解答】解：去分母得 6﹣m(x+1)＝(x+1)(x﹣1)，

∵分式方程有增根，最简公分母(x+1)(x﹣1)＝0，

∴解得 x1＝1，x2＝﹣1．

当x＝﹣1时，得 6＝0，此式不成立．

故x＝﹣1不是原分式方程的增根．

∴原分式方程的增根为1．

故选：A．

7．若关于x的方程+＝3a有增根，则a的值为(　　)

A．﹣1 B． C． D．1

【解答】解：去分母，得：x﹣3a＝3a(x﹣3)，

由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，

把x＝3代入整式方程，可得：a＝1．

故选：D．

二．填空题(共2小题)

8．关于x的分式方程+＝1的解为非正数，则k的取值范围是 　k≥1且k≠3　．

【解答】解：去分母得：x+k+2x＝x+1，

解得：x＝，

由分式方程的解为非正数，得到≤0，且≠﹣1，

解得：k≥1且k≠3，

故答案为：k≥1且k≠3

9．若关于x的分式方程+＝会产生增根，则m的值为 　﹣4或6　．

【解答】解：去分母得：2(x+2)+mx＝3(x﹣2)，

∵分式方程会产生增根，

∴(x+2)(x﹣2)＝0，

解得：x＝﹣2或x＝2，

把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，

解得：m＝6；

把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0，

解得：m＝﹣4，

则m的值是﹣4或6．

故答案为：﹣4或6．

三．解答题(共2小题)

10．已知关于x的分式方程．

(1)若分式方程有增根，求m的值；

(2)若分式方程的解是正数，求m的取值范围．

【解答】解：去分母得：2﹣x﹣m＝2x﹣4，

(1)由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，

把x＝2代入整式方程得：m＝0；

(2)解得：x＝，

根据分式方程的解为正数，得到＞0，且≠2，

解得：m＜6且m≠0．

11．已知关于x的分式方程+＝．

(1)若方程有增根，求k的值．

(2)若方程的解为负数，求k的取值范围．

【解答】解：(1)分式方程去分母得：4(x﹣1)+3(x+1)＝k，

由这个方程有增根，得到x＝1或x＝﹣1，

将x＝1代入整式方程得：k＝6，

将x＝﹣1代入整式方程得：k＝﹣8，

则k的值为6或﹣8．

(2)分式方程去分母得：4(x﹣1)+3(x+1)＝k，

去括号合并得：7x﹣1＝k，即x＝，

根据题意得：＜0，且≠1且≠﹣1，

解得：k＜﹣1，且k≠﹣8．

考点三  分式方程的应用

1．A、B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，且A型机器人搬运1000kg所用的时间与B型机器人搬运800kg所用的时间相等，设B型机器人每小时搬运xkg，所列的方程式正确的是(　　)

A． B． 

C． D．

【解答】解：设B型机器人每小时搬运xkg，则A型机器人每小时搬运(x+20)kg，

由题意可得，

故选：A．

2．在创建文明城市的进程中，某市为美化城市环境，计划种植树木50万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多30%，结果提前2天完成任务，设原计划每天植树x万棵，由题意得到的方程是(　　)

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可得，

＝2，

故选：A．

3．某班级为做好疫情防控，班委会决定拿出班费中的a元给同学们购买口罩，由于药店对学生购买口罩每包优惠2元，结果比原计划多买了5包口罩．设原计划购买口罩x包，则依题意列方程为(　　)

A． B． C． D．

【解答】解：设原计划购买口罩x包，则实际购买口罩(x+5)包，

依题意得：＝+2．

故选：B．

4．在某核酸检测任务中，甲医疗队比乙医疗队每小时多检测15人，甲队检测600人所用的时间比乙队检测500人所用的时间少10%．设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为(　　)

A． B． 

C． D．

【解答】解：设甲队每小时检测x人，根据题意得，

，

故选：A．

二．解答题(共3小题)

5．中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．晋商又以“万里茶道”著称．晋商古街某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，又用8400元购进B种茶叶若干盒，若所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍；

(1)A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

(2)第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A、B两种茶叶共100盒(A、B进价不变，A种茶叶不少于20盒)，A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元，怎样进货才能获得最大利润？

【解答】解：(1)设A种茶叶每盒进价为x元，则B种叶每盒进价为1.4x元，

依题意得：，

解得x＝200，

经检验：x＝200是原方程的解，且符合题意，

∴1.4x＝280(元)，

答：A种茶叶每盒进价为200元，B种茶叶每盒进价为280元；

(2)设第二次购进A种茶叶a(20≤a＜100)盒，B种茶叶(100﹣a)盒，所获利润为w元，

可得：w＝(300﹣200)a+(400﹣280)(100﹣a)＝﹣20a+12000，

∵﹣20＜0，w随a的增大而减小，

∴当a＝20时，所获利润最大，100﹣20＝80(盒)，

答：第二次应购进A种茶叶20盒，B种茶叶80盒才能获得最大利润．

6．某中学初三学生在开学前去商场购进A，B两款书包奖励班级表现优秀的学生，购买A款书包共花费6000元，购买B款书包共花费3200元，且购买A款书包数量是购买B款书包数量的3倍，已知购买一个B款书包比购买一个A款书包多花30元．

(1)求购买一个A款书包、一个B款书包各需多少元？

(2)为了调动学生的积极性，学校在开学后再次购进了A，B两款书包，每款书包不少于14个，总花费恰好为2268元，且在购买时商场对两款书包的销售单价进行了调整，A款书包销售单价比第一次购买时提高了8%，B款书包按第一次购买时销售单价的九折出售．求此次A款书包有几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，商场这次销售两款书包，单价调整后利润比调整前减少72元，直接写出两款书包的购买方案．

【解答】解：(1)设购买一个A款书包需要x元，则购买一个B款书包需要(x+30)元，

依题意得：＝3×，

解得：x＝50，

经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，

∴x+30＝50+30＝80(元)．

答：购买一个A款书包需要50元，购买一个B款书包需要80元．

(2)设购买m个B款书包，则购买＝(42﹣m)个A款书包，

依题意得：，

解得：14≤m≤21．

又∵(42﹣m)为整数，

∴m为3的倍数，

∴m可以取15，18，21，

∴此次A款书包有3种购买方案．

(3)依题意得：80×(1﹣0.9)m﹣50×8%(42﹣m)＝72，

解得：m＝18，

∴42﹣m＝42﹣×18＝18(个)．

答：购买18个A款书包，18个B款书包．

7．为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动．去年学校通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年由于参加俱乐部人数增加，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年进行了调整，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，如果今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么学校最多可购买多少个B品牌足球？

【解答】解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为(x+12)元/个．

由题意得：，即，

∴96(x+12)＝120x，

∴x＝48．

经检验，x＝48是原分式方程的解且符合题意．

∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个．

设今年购进B足球的个数为a个，则有：．

∴50.4×50﹣50.4a+54a≤2640．

∴3.6a≤120，

∴．

∴最多可购进33个B足球．