第18讲 等腰三角形（讲义）（教师版含解析）中考数学一轮复习讲义+训练

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中考数学一轮复习专题讲义+强化训练(全国通用)第十八讲  等腰三角形一、三大必备知识点考点一  等腰三角形的判定与性质考点二  等边三角形的判定与性质考点三  角平分线的判定与性质             
   一、三大必备知识点一、等腰三角形1．等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)．推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°．2．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称：等角对等边)．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．二、等边三角形1．定义：三条边都相等的三角形是等边三角形．2．性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°．3．判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．三、角平分线与垂直平分线1．性质：角平分线上的点到角两边的距离相等2．性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等   考点一  等腰三角形的判定与性质 1．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，且3BC＝2AD．点E、F是AD的三等分点，则∠BEC+∠BFC+∠BAC＝　180°　．【解答】解：∵3BC＝2AD，且E，F为AD三等分点，D为BC中点．∴AD＝BC，即BD＝DE；∴∠BED＝45°；∴BE2＝2DE2＝EF•AE；∵∠AEB＝∠BEF，∴△BEF∽△AEB，∴∠BFD＝∠ABE；即∠ABE+∠BAD＝45°；∴∠ABE+∠EBD+∠BAD＝90°，∴∠BEC+∠BFC+∠BAC＝180°．故答案为：180°．2．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，P在△ABC内，∠PBC＝10°，∠PCB＝30°，则∠PAB＝　70°　．【解答】解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC∴AD＝AB＝AC，∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，∴∠ACD＝∠ADC＝80°，∵AB＝AC，∠BAC＝80°，∴∠ABC＝∠ACB＝50°，∴∠CDB＝140°＝∠BPC，又∠DCB＝30°＝∠PCB，BC＝CB，∴△BDC≌△BPC，∴PC＝DC，又∠PCD＝60°，∴△DPC是等边三角形，∴△APD≌△APC，∴∠DAP＝∠CAP＝∠DAC＝20＝10°，∴∠PAB＝∠DAP+∠DAB＝10°+60°＝70°．或由△BDC≌△BPC，∴BP＝BD＝BA∴∠BAP＝∠BPA又∵∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝40°∴∠BAP＝(180﹣40)/2＝70°故答案为：70°．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，若S△ABC＝12，则FE+FD＝　4　．【解答】解：过C作CG⊥AB于G，连接AF，∵S△ABF+S△ACF＝S△ABC，∴AB×CG÷2＝AB×DF÷2+AC×FE÷2，∵AB＝AC，∴FD+FE＝CG＝＝4，故答案为：4．4．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE＝2，则BN的长为 　　．【解答】解：连接AM，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵M为BC的中点，∴AM⊥BC，∴AB＝2AM，∵BE⊥BC，∴∠AMD＝∠EBD＝90°，∵D为BM的中点，∴DM＝DB，在△AMD和△EBD中，∠AMD＝∠EBD，DM＝DB，∠ADM＝∠EDB，∴△AMD≌△EBD(ASA)，∴AM＝BE＝，∴AB＝，∴BM＝，∵MN⊥AB，∠B＝30°，∴MN＝BM＝，∴BN＝．故答案为：．   考点二  等边三角形的判定与性质 5．如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G．下列结论：①AE＝CD；②∠AFC＝120°；③△ADF是正三角形；④．其中正确的结论是　①②④　(填所有正确答案的序号)．【解答】解：在等边△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°，∵在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD(SAS)，∴AE＝CD，故①正确；∵∠ACD＝∠BAE，∴∠CAF+∠ACD＝∠CAF+∠BCE＝∠BAC＝60°，在△ACF中，∠AFC＝180°﹣(∠CAF+∠ACD)＝180°﹣60°＝120°，故②正确； ∵∠FAD＜∠BAC，∠BAC＝60°，∴∠FAD≠60°，∴△ADF不是正三角形，故③错误； ∵∠AFG＝180°﹣∠AFC＝180°﹣120°＝60°，AG⊥CD，∴∠FAG＝90°﹣60°＝30°，∴FG＝AF，∴＝，故④正确，综上所述，正确的有①②④．故答案为：①②④．6．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为　　．【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD(AAS)，∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故答案为：．7．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为 　6　．【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°∴∠BCD＝∠DBC＝30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°∴∠DBA＝∠DCA＝90°延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CDN中，BF＝CN，DB＝DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN∵∠MDN＝60°∴∠BDM+∠CDN＝60°∴∠BDM+∠BDF＝60°，∠FDM＝60°＝∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN＝MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6．8．如图，△ABC是等边三角形，点E在AC的延长线上，点D在线段AB上，连接ED交线段BC于点F，过点F作FN⊥AC于点N，DB＝CN，EF＝FD，若FB＝17，则AN的长为 　22　．【解答】解：延长BC到G，连接EG，使三角形CEG为等边三角形，设BD＝5x，则CN＝7x，∵∠G＝∠B，∠BFD＝∠GFE，DF＝EF，∴△BFD≌△GFE，∴BD＝EG＝CE＝CG，BF＝GF＝17，设BD＝7x，则CN＝5x，CG＝7x，∴CF＝17﹣7x，又∵FN⊥AC，∴三角形CFN为直角三角形，∵∠ACF＝60°，∴2CN＝CF，∴2×5x＝17﹣7x，解得x＝1，∴BD＝7，CN＝5，CF＝10，∴三角形ABC的边长为17+10＝27，∴AN＝27﹣5＝22，故答案为：22． 考点三  角平分线的判定与性质 9．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则△BDC的面积为 　8　．【解答】解：延长CD，AB相交于点E，∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠EAD＝∠CAD，∵CD⊥AD，∴∠ADC＝∠ADE＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴AE＝AC，DE＝DC，∵∠ABC＝90°，BC＝8，AB＝6，∴AC＝＝10，∴AE＝AC＝10，∴BE＝AE﹣AB＝4，∴△BEC的面积＝BC•BE＝×8×4＝16，∴△BDC的面积＝8，故答案为：8．10．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝　　．【解答】解：延长CE交AB于F，过点D作DH⊥AB于H，DN⊥AC于N，过点A作AM⊥BC于M，如图所示：∵CE⊥AD，∴∠AEF＝∠AEC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠CAE，DH＝DN，在△AEF与△AEC中，，∴△AEF≌△AEC(ASA)，∴AF＝AC＝8，∠AFE＝∠ACE，EF＝CE，∵∠AFC＝∠B+∠ECD，∴∠ACF＝∠B+∠ECD，∴∠ACB＝2∠ECD+∠B，∵∠ACB＝3∠B，∴2∠ECD+∠B＝3∠B，∴∠B＝∠ECD，∴CF＝BF，∵BC＝BD，∴＝，S△ADB＝DH•AB＝AM•BD，S△ACD＝DN•AC＝AM•CD，∴＝，即＝＝，∴AB＝AC＝，∴CF＝BF＝﹣8＝，∴CE＝CF＝，故答案为：．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接AD，若AB＝3，BC＝4，则△ADB的面积为　　．【解答】解：解法一：延长BD交AC于点E，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵CD平分∠ACB，且BD⊥CD，∴BC＝CE＝4，AE＝AC﹣CE＝1，BD＝ED，∴，∴S△ABE＝S△ABC＝＝，∴S△ABD＝S△ABE＝＝，故答案为：．解法二：过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，作DG⊥AB于点G，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，∵DE⊥AC，DF⊥BC，DG⊥AB，CD平分∠ACB，∴四边形BFDG为矩形，DE＝DF，∴设DF＝DE＝x，BF＝DG＝y，∵∠DBF＝∠DBC，∠DFB＝∠BDC＝90°，∴△BFD∽△BDC，∴，即，解得：y1＝2﹣，y2＝2+(舍去)，∴S△ABD＝•AB•DG＝•3•(2﹣)，∵S△ABC＝S△DAB+S△DBC+S△DAC，∴•3•4＝•3•(2﹣)+•4•x+•5•x，解得：x1＝，x2＝0(舍去)，当x＝时，y＝2﹣＝，∴S△DAB＝•AB•DG＝•3•＝，故答案为：．12．如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，过A分别作AF⊥BD、AG⊥CE，垂足分别为F、G，连接FG，若AB＝6，AC＝5，BC＝4，则FG的长度为 　　．【解答】解：延长AF交BC于H，延长AG交BC于Q，如图，∵BD平分∠ABC，∴∠HBF＝∠ABF，∵AF⊥BD，∴∠AFB＝∠HFB＝90°，∴∠BHA＝∠BAH，∴AB＝BH＝6，AF＝FH，同理，AC＝CQ＝5，AG＝QG，∴CH＝BH﹣BC＝6﹣4＝2，∴HQ＝CQ﹣CH＝5﹣2＝3，∵AF＝FH，AG＝QG，∴FG是△AHQ的中位线，∴FG＝HQ＝，故答案为：．13．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝5，AC＝4，则△ADE的周长是 　9　．【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO＝∠CBO，∠ECO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，∴∠DBO＝∠DOB，∠ECO＝∠EOC，∴OD＝BD，OE＝CE，∵AB＝5，AC＝4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+DO+EO+AE＝AD+DB+EC+AE＝AB+AC＝5+4＝9．故答案为：9．14．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于　2　．【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，∵PC∥OA，∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，∴∠BCP＝30°，∴PM＝PC＝2，∵PD＝PM，∴PD＝2．故答案为：2．