湖北省荆门市2023年初中学业水平适应性考试九年级数学试题(含答案)

这是一份湖北省荆门市2023年初中学业水平适应性考试九年级数学试题(含答案)，共39页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

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荆门市2023年初中学业水平适应性考试
一、单选题
1．下图数轴上A、B、C、D、E、S、T七点的坐标分别为﹣2、﹣1、0、1、2、s、t．若数轴上有一点R，其坐标为|s﹣t+1|，则R会落在下列哪一线段上（   ）

A．AB B．BC C．CD D．DE
2．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：

若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（　　）
A．1 B．4 C．2018 D．42018
3．下列各图案中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，由一个球体和一个长方体组成的几何体，从它的正面看得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
5．如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，均在反比例函数的图像上．则的值为（   ）

A． B． C． D．
6．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．问1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶盛酒斛，1个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（    ）．
A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD的边CD上有一点E，∠DAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，将△AEF绕着点F顺时针旋转，使得点A的对应点M落在EF上，点E恰好落在点B处，连接BE．下列结论：①BM⊥AE；②四边形EFBC是正方形；③∠EBM＝22.5°；④．其中结论正确的序号是（    ）

A．①② B．①②③ C．①②④ D．③④
8．如图，AB为的直径，BC为的切线，弦AD∥OC，直线CD交的BA延长线于点E，连接BD．下列结论：①CD是的切线；②；③；④．其中正确结论的个数有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，将抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形，当直线（b为常数）与图形有三或四个公共点时，则b的取值范围是（　　）

A． B． C． D．
二、填空题
11．实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，则=_______．
12．分解因式：xy2﹣2x2y+x3=_____．
13．已知关于x的二次函数，下列结论中一定正确的是 _____．（填序号即可）
①若抛物线与x轴有两个不同交点，则方程必有两个不等实数根；
②若对任意实数t都有，则b=2a；③若，则方程有一个根α，且m＜α＜n；④若，则方程必有两个实数根．
14．正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______．

15．若抛物线经过点，则关于的不等式的解集是______．
16．如图，的直径的长为8，P是上一动点，的角平分线交于点Q，点I为的内心，连接，下列结论：①点Q是定点；②的最大值为8；③的长为定值；④的最大值为16．其中正确的结论是________________（把正确结论的序号都填上）．


三、解答题
17．定义：若，则称A与B是关于数n的伴随数．比如4与3是关于1的伴随数，与是关于-3的伴随数．
(1)填空： 2022与 是关于-1的伴随数， 与是关于2的伴随数．
(2)若a与是关于3的伴随数，与c是关于-5的伴随数，c与d是关于10的伴随数，求 的值.
(3)现有与(k为常数)始终是数n的伴随数，求n的值．






18．为庆祝建党周年，松滋市某中学决定举办校园艺术节．学生从“书法”、“绘画”、“声乐”、“器乐”、“舞蹈”五个类别中选择一类报名参加．为了了解报名情况，组委会在全校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数；并补全条形统计图；
(3)小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率．



19．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，点E在BC上，点H在AB上，AH＝1，Q为边AD上一点．

(1)如图1，若∠EHQ＝45°，QH＝QE，则AQ＝_______；
(2)如图2，若∠EHQ＝45°，QH＝EH，求AQ的长；
(3)如图3，当点E在线段BC上运动时，作∠AEF＝90°，∠EAF＝∠CAB，连接DF，直接写出的最小值．




















20．某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB⊥BC，同一时刻，光线与水平面的夹角为72°，1米的竖立标杆PQ在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）







21．某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
(3)每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为41800元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于41800元？






22．如图，△ABC为等边三角形，O为△ABC形外一点，⊙O经过B、C两点，D为⊙O上一点，D点不在劣弧上，CD＝AC．
（1）如图1，连接DA并延长交⊙O于点E，连接EB，求证：AE＝OB；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接OE，OD，若∠DOE＝120°，BC＝6，求⊙O的半径长；
（3）如图3，过D作⊙O的切线交直径EB的延长线于F，过F作FN⊥EF交 ED的延长线于N，若FN＝OB，直接写出的值为________．
    
图1  图2         图3


















23．某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，提供了两个方面的信息，如图所示．注：两图中的每个实心点所对应的纵坐标分别指相应月份的售价和成本，生产成本6月份最低，图甲的图象是线段，图乙的图象是抛物线．
请你根据图象提供的信息说明：
(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）
(2)哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由；
(3)已知市场部销售该种蔬菜，4、5两个月的总收益为48万元，且5月份的销量比4月份的销量多2万公斤，求4、5两个月销量各多少万公斤？
















24．如图，抛物线与轴交于原点及点，且经过点，对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点为轴下方抛物线上一动点，过点作的平行线交直线于点，当时，求出点的坐标；
（3）如图，点为轴负半轴上一点，直线与抛物线有且仅有一个公共点，过点作直线交抛物线于点点，连分别交抛物线于点．若，线段的长为，求的值．

荆门市2023年初中学业水平适应性考试
参考答案
1．C
【来源】湖北省武汉六中位育中学2020-2021学年七年级上学期9月月考数学试题
【分析】先找出s、t值的范围，再利用不等式概念求出s﹣t+1值的范围，进而可求出答案．
【详解】解：由图可知﹣1＜s＜t＜0，
∴﹣1＜s﹣t＜0，
∴s﹣t+1＜1，
∴0＜|s﹣t+1|＜1，即R点会落在CD上，
故选C．
【点睛】本题考查的是数轴与解一元一次不等式，根据数轴的特点求出s、t值的范围是解答此题的关键．
2．A
【来源】湖北省省直辖县级行政单位潜江市2018-2019学年七年级上学期期末数学试题
【分析】计算出n=13时第一、二、三、四、五、六次运算的结果，找出规律再进行解答即可．
【详解】若n=13，
第1次结果为：3n+1=40，
第2次结果是：，
第3次结果为：3n+1=16，
第4次结果为：=1，
第5次结果为：4，
第6次结果为：1，
…
可以看出，从第四次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，
且当次数为偶数时，结果是1；次数是奇数时，结果是4，
而2018次是偶数，因此最后结果是1，
故选A．
【点睛】本题考查了规律题——数字的变化类，能根据所给条件得出n=13时六次的运算结果，找出规律是解答此题的关键．
3．D
【来源】湖北省武汉市黄陂区部分学校2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
【分析】根据中心对称图形的概念进行求解即可．
【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
4．B
【来源】湖北省黄石市大冶市2022-2023学年七年级上学期素质教育目标检测数学试卷
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看，底层是一个矩形，上层中间是一个圆．
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．A
【来源】2022年湖北省十堰市中考数学一模试题变式题6-10
【分析】根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，然后再求和．
【详解】解：过、、分别作轴的垂线，垂足分别为、、，如图所示：

则，
三角形是等腰直角三角形，
，，
，
∵斜边的中点在反比例函数，
即，
，
设，则此时，代入得：，
解得：，即：，
同理：，
，

．
故选：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图像和性质、反比例函数图像上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算找出规律，推断出一般性的结论是解题的关键．
6．A
【来源】湖北省襄阳市宜城市2020-2021学年九年级下学期期中数学试题
【分析】根据大小桶所盛酒的数量列方程组即可.
【详解】∵5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，
∴5x+y=3，
∵1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，
∴x+5y=2，
∴得到方程组，
故选：A.
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键.
7．C
【来源】2022年湖北省黄冈市中考数学真题变式题6-10题
【分析】延长BM交AE于N，连接AM，由垂直的定义可得∠AFE＝∠EFB＝90°，根据直角三角形的两个锐角互余得∠EAF＝67.5°，从而有∠EAF＋∠FBM＝90°，得到①正确；根据三个角是直角可判断四边形EFBC是正方形，再由EF＝BF可知是正方形，故②正确，计算出∠EBM＝22.5°得③错误；根据等腰直角三角形的性质可知，推导得出，从而，得到，再由，得，判断出④正确．
【详解】解：如图，延长BM交AE于N，连接AM，

∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝∠EFB＝90°，
∵∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF＝90°－∠DAE＝67.5°，
∵将△AEF绕着点F顺时针旋转得△MFB，
∴MF＝AF，FB＝FE，∠FBM＝∠AEF＝∠DAE＝22.5°，
∴∠EAF＋∠FBM＝90°，
∴∠ANB＝90°，
∴BM⊥AE，故①正确；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，
∵∠EFB＝90°，
∴四边形EFBC是矩形，
又∵EF＝BF，
∴矩形EFBC是正方形，故②正确；
∴∠EBF＝45°，
∴，
故③正确；
∵∠AFM＝90°，AF＝FM，
∴∠MAF＝45°，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵四边形BCEF是正方形，
∴S四边形BCEF＝2S△EFB，
∴
故④正确，
∴正确的是：①②③，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、勾股定理和正方形的判定与性质，掌握常用辅助线的添加方法，灵活运用相关知识是解题的关键．
8．A
【来源】湖北省（江汉油田、潜江、天门、仙桃）市2019年中考数学试题
【分析】由切线的性质得，首先连接，易证得，然后由全等三角形的对应角相等，求得，即可证得直线是的切线，根据全等三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的判定定理得到即，故②正确；根据余角的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的判定定理得到，故③正确；根据相似三角形的性质得到，于是得到，故④正确．
【详解】解：连结．
为的直径，为的切线，
，
，
，．
又，
，
．
在和中，，
，
．
又点在上，
是的切线；故①正确，
，
，
，
垂直平分，
即，故②正确；
为的直径，为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确；
，
，
，
，
，
，故④正确；
故选A．

【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．
9．A
【来源】湖北省十堰市2021年数学中考试题
【分析】设点B关于直线的对称点，易得求出a的值，再根据勾股定理得到两点间的距离，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴直线OA的解析式为，
∵，
∴设直线CD的解析式为，
则，
设点B关于直线的对称点，
则①，
且，
即，解得，
代入①可得，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
10．C
【来源】湖北省黄冈市浠水县方郭中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷
【分析】先解方程得，，再利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，所以抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折后的图象解析式为，然后结合函数图象，当时，直线（b为常数）与图形有三或四个公共点，从而得到b的范围．
【详解】解：当时，，
解得，，
∴，，
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵点关于x轴的对称点的坐标为，
∴抛物线在x轴下方部分沿x轴翻折后的图象解析式为，
∵直线（b为常数）与图形有三或四个公共点，
∴时，有3个交点；当时，有4个交点，如图，

即，
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
11．6±
【来源】湖北省鄂州市梁子湖区2016-2017学年七年级6月联考数学试题
【详解】解：∵a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值为，
∴a+b=0，cd=1，x=±，
当x=时，原式=5+(0+1)×+0+1=6+；
当x=−时,原式=5+(0+1)×(−)+0+1=6−.
故答案为6±.
12．x（y﹣x）2
【来源】2019年湖北省黄冈中学启黄初中中考模拟数学试题
【详解】分析：首先提取公因式x，然后利用完全平方公式进行因式分解．
详解：原式=．
点睛：本题主要考查的是因式分解的方法，属于基础题型．因式分解的方法有：提取公因式、公式法和十字相乘法．
13．①②③④
【来源】湖北省武汉市武昌区部分学校2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷
【分析】根据二次函数与方程的关系即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线与x轴的交点的特征即可判断③；根据题意，抛物线开口向上，则x=m时，y＜0；当开口向下时，x=m时，y＞0即可判断④．
【详解】解：①∵抛物线与x轴有两个不同交点，
∴方程有两个不同的实数根，
∴，
∴有两个不相等的实数根，故①正确；
②∵对任意实t都有，
∴，
∴当x=-1时，函数有最大值，
∴函数的对称轴为直线x=-1，
∴，
∴b=2a，故②正确；
③∵，
∴抛物线与x轴的一个交点的横坐标在m、n之间，
∵方程有一个根α，
∴函数图象与x轴的一个交点为（α，0），
∴m＜α＜n，故③正确；
④∵，
∴，
∴当a＞0时，；当a＜0时，，
∴方程必有两个实数根，故④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系，抛物线与x轴的交点，根的判别式的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．5
【来源】湖北省孝感市云梦县2019-2020学年八年级下学期期末数学试题
【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：如图，连接BP，

由正方形ABCD的性质可知点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP=，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为5．
【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握轴对称-最短路线问题、勾股定理及正方形的性质是解题的关键．
15．或
【来源】湖北省武汉市黄陂区木兰乡朝阳中学2022-2023学年九年级上学期数学第三次月考测试题
【分析】将点代入到抛物线中，可得；再将代入到不等式中，结合，两边同时除以，可得，然后求解不等式即可获得答案．
【详解】解：将点代入到抛物线中，
可得 ，
整理，可得 ，
将代入到不等式中，
可得 ，
整理，得 ，
∵，
∴该不等式两边同时除以，不等式需要变号，
∴，
进一步整理，可得
，


∴或，
解得或，
∴关于的不等式的解集是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的特征、不等式的性质、解不等式组、完全平方式的应用等知识，理解并掌握二次函数图像上点的特征以及不等式的性质是解题关键．
16．①②③
【来源】湖北省咸宁市咸安区高桥镇中学2022-2023学年九年级数学上学期第二次月考测试题
【分析】连接，由题意易得，然后可得①，根据圆中直径最大可判定②，由内心可知，然后根据三角形外角的定义及圆周角定理可进行排除③，过点P作于点D，进而可得，最后可得出选项．
【详解】解：连接，如图所示：

∵为的直径，
∴，
∵的角平分线交于点Q，点I为的内心，
∴，
∴，且是等腰直角三角形，
∴，即点Q是定点，故①正确；
由圆中最长的弦是直径可知的最大值为8，故②正确；
∵，且，
∴，
∴，即的长为定值，故③正确；
过点P作于点D，
∴，
当的值为最大，则的值为最大，即的值为最大，
∴当是半径时，即为，
∴的最大值为；故④错误；
综上所述：正确的有①②③；
故答案为①②③．
【点睛】本题主要考查三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的内心、圆周角定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
17．(1)2023，
(2)8
(3)

【来源】湖北省咸安区部分学校2022-2023学年七年级上学期期中联考数学试题
【分析】(1)根据定义即可求得；
(2)根据题意可得，，，由原式可得，据此即可求得；
(3)首先求得，再根据题意可知的值与x无关，，即可求得k的值，据此即可解答．
【详解】（1）解：根据定义得：， ，
故2022与2023是关于-1的伴随数，与是关于2的伴随数，
故答案为：2023，；
（2）解：由定义知，，，，




（3）解：


与(k为常数)始终是数n的伴随数，
，
的值与x无关，
，解得，
即．
【点睛】本题考查了新定义运算，整式的混合运算，代数式求值问题，根据不含某项求参数，求得k的值是解决本题的关键．
18．(1)一共抽取了学生为200人
(2)“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：，补充条形图见解析
(3)，树状图见解析

【来源】湖北省荆州市松滋市2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷
【分析】（1）根据抽取的报名“书法”类的人数有人，占整个被抽取到学生总数的，得出算式即可得出结果；由抽取的人数乘以报名“绘画”类的人数所占的比例得出报名“绘画”类的人数；补全条形统计图即可；
（2）用乘以“声乐”类的人数所占的比例即可；
（3）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为、、、，画出树状图，即可得出答案．
【详解】（1）被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有人，
占整个被抽取到学生总数的，
在这次调查中，一共抽取了学生为：人；
（2）被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为：人，
报名“舞蹈”类的人数为：人；
补全条形统计图如下：

被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为人，
扇形统计图中，“声乐”类对应扇形圆心角的度数为：；
（3）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为、、、，
画树状图如图所示：

共有个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有个，
小东和小颖选中同一种乐器的概率为．
【点睛】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．
19．(1)3
(2)
(3)的最小值为

【来源】2022年湖北省武汉市中考数学真题变式题21-24题
【分析】（1）过点E作EP⊥AD于点P，证明四边形ABEP是矩形，得到EP＝AB＝3，再证明△AHQ≌△PQE（AAS），得到答案；
（2）过点作交的延长线于点，过点作交于点，交于点．先证明（AAS），得到，由平行线分线段成比例定理得到，进一步求得，得，进而得到AQ的长；
（3）先证明△AEF∽△ABC，得到EF＝2AE，由勾股定理得到AF＝，＝DF＋AF，在△ADF中，DF＋AF＞AD，当F在AD上时，AF＋DF＝AD＝6，得到DF＋AF≥AD，即可求得的最小值．
【详解】（1）解：如图4，过点E作EP⊥AD于点P，则∠EPQ＝90°，

∵四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABEP是矩形，
∴EP＝AB＝3，
∵∠EHQ＝45°，QH＝QE，
∴∠QEH＝∠EHQ＝45°，
∴∠EQH＝90°，
∴∠AQH＋∠EQP＝∠PEQ＋∠EQP＝90°，
∴∠AQH＝∠PEQ，
在△AHQ和△PQE中，
，
∴△AHQ≌△PQE（AAS），
∴AQ＝EP＝AB＝3．
（2）解：如图5，过点作交的延长线于点，过点作交于点，交于点．

∴，
∴，
∴
∵，
∴∠QMH＝180°－∠EHQ－∠HQM＝45°，
∴，
∵∠A＝∠MFQ ＝90°，
∴（AAS），
∴，
又，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴HM＝，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵ ∠AEF＝∠ABC＝90°，∠EAF＝∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴EF＝2AE，
∴AF＝，
∴＝DF＋AF，

∵，
∴，
∵＝DF＋AF，
∴当D，F，H三点共线时DF＋AF最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴的最小值是．
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．
20．13.8．
【来源】【全国市级联考】2018年湖北省天门市2018届九年级中考4月份模拟试卷数学试题
【详解】试题分析：如图，作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N，根据=，可求得CM的长，在RT△AMN中利用三角函数求得AN的长，再由MN∥BC，AB∥CM，判定四边形MNBC是平行四边形，即可得BN的长，最后根据AB=AN+BN即可求得AB的长．
试题解析：如图作CM∥AB交AD于M，MN⊥AB于N．
由题意=，即=，CM=，
在RT△AMN中，∵∠ANM=90°，MN=BC=4，∠AMN=72°，
∴tan72°=，
∴AN≈12.3，
∵MN∥BC，AB∥CM，
∴四边形MNBC是平行四边形，
∴BN=CM=，
∴AB=AN+BN=13.8米．

考点：解直角三角形的应用.
21．(1)，自变量x的取值范围为，且x为正整数
(2)每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元
(3)每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；当，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元

【来源】2023年湖北省黄冈市教改联盟中考二模数学试卷
【分析】（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，根据题意列出二次函数，根据每件售价不能高于240元得到，然后求出x的取值范围即可；
（2）根据二次函数的性质求解即可；
（3）当时解方程求出，然后根据x的取值范围结合二次函数的性质及问题的实际意义求解即可．
【详解】（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元，由题意得：


∵每件售价不能高于240元
∴
∴
∴y与x的函数关系式为，自变量x的取值范围为，且x为正整数．
（2）∵

∴当时，y有最大值45000元．
∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元．
（3）令，得：

解得：
∵
∴，即每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；
由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．
∴每件商品的涨价为60元时，每个月的利润恰为41800元；当，且x为正整数时，每个月的利润不低于41800元．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
22．（1）证明见解析（2）r=3；（3）+1.
【来源】湖北省武汉市2018届九年级上学期元月调考数学模拟试卷2
【详解】试题分析：
（1）如图1，连接OB、OC，由CD=AC可得∠CAD=∠D，结合∠EAB+∠BAC+∠CAD=180°，∠EBA+∠ABC+∠D=180°，可得：∠EAB=∠EBA；由已知易得AB=BC=AC=CD，从而可得，由此可得∠AEB=∠BOC=∠BAC=30°，从而可得∠EAB=∠EBA=∠OBC=∠OCB=75°，结合AB=BC可证得△AEB≌△BOC，由此可得AE=OB；
（2）如图2，连接OB，过点A作AP⊥BE于点P，设⊙O的半径为，由已知条件结合（1）易证△BOE是等边三角形，从而可得BE=OB=AE=，∠OEB=60°，结合∠DOE=120°，可证得∠AEB=30°，这样即可用含“”的式子把AP、PE表达出来，进一步可表达出PB，这样在Rt△APB中，由勾股定理建立方程即可求得；
（3）如图3，连接BD、DF，以BE为始边在BE上方作∠EBM=∠E，BM交EN于点M；由已知易证∠ODB=∠FDN，∠DOB=∠DFN，结合OB=FN可证得△OBD≌△FND，由此可得DN=DB，OD=FD，从而可得∠DOB=45°，∠E=∠EDO=22.5°=∠MBE，由此可得∠DBM=45°，EM=BM=DB，即可得到DE=EM+MD=DB，结合DN=DB，即可得到ED：DN的值为：.
试题解析：
（1）连OB，OC，
∵CD=AC,
∴∠CAD=∠D，
∵∠EAB+∠BAC+∠CAD=180°，∠EBA+∠ABC+∠D=180°，
∴∠EAB=∠EBA，
∵在等边△ABC中，AB=BC=AC=CD，
∴，
∴∠AEB=∠BOC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=∠EAB=∠EBA，
∴△AEB≌△BOC，
∴AE=OB；

（2）如图，设⊙O的半径为，则由（1）可知，AE=BE=OB=，
∵OE=OB，
∴OE=OB=EB，
∴△OBE是等边三角形，
∴∠OEB=60°，
∵在△OEB中，∠DOE=120°，OE=OD，
∴∠OEA=30°，
∴∠DEB=60°-30°=30°，
过点A作AP⊥BE于点P，
∴∠APE=∠APB=90°，
∴AP=AE=，PE=AE=，
∴PB=BE-PE=，
又∵等边△ABC中，AB=BC=6，
∴在Rt△APB中，，
整理得：，
解得：；

（3）如图3，连接BD、DF，以BE为始边在BE上方作∠EBM=∠E，BM交EN于点M；
∵BE是⊙O的直径，DF是⊙O的切线，
∴∠EDB=∠NDB=∠ODF=90°，
∴∠ODB=∠FDN，
∵NF⊥EF于点F，
∴∠OFN=∠ODF=90°，
∴∠DOB+∠DFO=∠DFO+∠DFN=90°，
∴∠DOB=∠DFN，
又∵OB=FN，
∴△OBD≌△FND，
∴DN=DB，OD=FD，
∴∠DOB=45°，
又∵OE=OD，∠E+∠EDO=∠DOB，
∴∠E=∠EDO=22.5°=∠MBE，
∴∠DBM=90°-22.5°-22.5°=45°，
∴EM=BM=DB，DB=DM，
∴DE=EM+MD=DB，
又∵DN=DB，
∴.

23．(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克收益是1元
(2)时，y有最大值即当5月份出售时，每千克收益最大；理由见解析
(3)4、5两个月销量各10万公斤、12万公斤

【来源】2017年湖北省黄冈市白莲中学中考数学三模试卷
【分析】（1）由图知3月份的售价是5元，成本是4元，所以收益是1元；
（2）需分别求出x月份的成本和售价，因此须求两图象对应的解析式，根据收益的表达式求最值．
（3）假设出4月份的销量为x万公斤，则5月份的销量为万公斤，利用两月的每千克利润即可得出答案．
【详解】（1）由图知3月份的售价是5元，成本是4元，所以收益是1元；
（2）设x月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为元
根据图（1）设
∴解得
∴
根据图（2）设

∴
则
又∵
∴

∴当时，y有最大值即当5月份出售时，每千克收益最大．
（3）假设出4月份的销量为，则5月份的销量为,
∵4，5月每千克售价分别为：

4，5月每千克成本分别为：∴元
元
∴4，5月的每千克的利润为：元，元

解得：万公斤，
∴万公斤，
∴4、5两个月销量各10万公斤、12万公斤．
【点睛】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）
【来源】湖北省武汉市七一中学2019~2020学年九年级下学期七月检测数学试题（二）
【分析】（1）根据对称轴公式、图象经过（0，0）、（4，8），代入计算；
（2）根据题意求得直线OB、AB的解析式，取OB的中点C，假设P的坐标，因为PQ与OB平行，得到PQ与OC平行且相等，从而利用点P的坐标表示出点Q的坐标，结合AB的解析式求得；
（3）用C、E的横坐标表示直线解析式为：，同理直线为，为，由已知，可得到，即可表示出P的纵坐标；再由抛物线与直线CP相切，写出直线CP解析式，因此，两次求得的点P纵坐标相等建立等量关系，即可求解.
【详解】解：（1）依题意有：，解得：
解析式
（2）∵，，
∴设直线的解析式为：，则有，解得：，
∴
∵点是抛物线与的交点，令，则，解得：，
∴，
设直线的解析式为：，则有，解得：，
∴
取中点
设点
且

在上


∵在轴下方，

（3）设直线解析式为：
与抛物线联立





直线解析式为：
同理直线为
为





设直线解析式为
与抛物线联立

直线与抛物线相切，即方程有两个相同的解




直线解析式

且点在第一象限，




【点睛】本题综合性很强且难度、计算量都很大，涉及到待定系数法求二次函数解析式、坐标的变化规律、一次函数解析式的求法、交点的计算，要结合图象进行综合分析判断，巧妙地运用坐标进行计算解答.