衡水中学新高二开学检测卷数学试题02

2020年衡水中学新高二开学检测卷

数学试题

本试卷共22题，满分150分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 

2．答题时请按要求用笔。  

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1、直线x﹣y+3＝0的倾斜角是（    ）

A．30° B．45° C．60° D．150°

2、若、、为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

3、某地区对当地3000户家庭的2018年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则年收入不超过6万的家庭大约为（    ）

A．900户 B．600户 C．300户 D．150户

4、已知点，，，，且向量与相等，则p，q的值分别为(    )

A．-7，-5 B．7，-5 C．-7，5 D．7，5

5、关于的不等式，解集为，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

6、曲线上的点到直线的距离最大值为，最小值为，则的值是（    ）

A． B． C． D．

7、若，，则值为（    ）

A． B． C． D．

8、在平面直角坐标系中，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆：有公共点，则实数的最大值为（  ）

A． B． C． D．

二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，少选的3分，多选不得分）

9、下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

10、如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为（    ）.

A． B． C．面 D．面

11、下列关于函数的相关性质的命题，正确的有（    ）

A．的定义域是

B．的最小正周期是

C．的单调递增区间是

D．的对称中心是

12、若是圆：上任一点，则点到直线距离的值可以为（      ）

A．4 B．6 C． D．8

三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分，一题两空，第一空2分）

13、已知，则________.

14、某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）直方图中的_________；

（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_________．

15、将底边长为2的等腰直角三角形ABC沿高线AD折起，使∠BDC＝60°，若折起后A、B、C、D四点都在球O的表面上，则球O的表面积为_____．

16、已知函数，则不等式的解集为______.

四、解答题（共6小题，满分70分，第17题10分，其它12分）

17、已知全集，集合，.

（1）求；

（2）若集合，满足，，求实数的取值范围.

18、已知函数是指数函数．

(1)求的表达式；

(2)判断的奇偶性，并加以证明

(3)解不等式：．

19、已知设函数

(1)求函数最小正周期和值域.

(2)求函数的单调递增区间.

20、如图在四棱锥中，底面是矩形，点、分别是棱和的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，且平面平面，证明平面.

21、某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到频率分布直方图（如图所示）．

（Ⅰ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间内的人数．

（Ⅱ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

22、如图，在直角坐标系xOy中，圆O：x2+y2＝4与x轴负半轴交于点A，过点A的直线AM，AN分别与圆O交于M，N两点．

（1）若kAM＝2，kAN，求△AMN的面积；

（2）过点P（3，﹣5）作圆O的两条切线，切点分别记为E，F，求•；

（3）若kAM•kAN＝﹣2，求证：直线MN过定点．

参考答案

1.【答案】C

【解析】直线的斜截式方程为，

∴直线的斜率，∴倾斜角，故选：C．

2.【答案】B

【解析】对于A选项，若，则，故A不成立；

对于B选项，，在不等式同时乘以，得，

另一方面在不等式两边同时乘以，得，，故B成立；

对于选项C，在两边同时除以，可得，所以C不成立；

对于选项D，令，，则有，，，所以D不成立.

故选B.

3.【答案】A

【解析】由频率分布直方图可得,年收入不超过6万的家庭的频率为（0.005+0.010）×20＝0.3.可得年收入不超过6万的家庭大约为3000×0.3＝900户.故选：A.

4.【答案】C

【解析】由点，，，，可知：，

因为向量与相等，所以.故选：C

5.【答案】D

【解析】由题,是方程的两根,可得,即,

所以不等式为,即,所以,故选：D

6.【答案】C

【解析】因为圆心 到直线 距离为 ，所以半圆到直线 距离最大值为 ，到直线 距离最小值为点到直线 距离，为 ，所以 ，选C.

7.【答案】A

【解析】，，则，

，

.故选：.

8.【答案】B

【解析】圆：,

若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆：有公共点，可转化为距离.即，解得的范围是.所以的最大值为

9.【答案】AD

【解析】对于A选项，为偶函数，且当时，为减函数，符合题意.

对于B选项，为偶函数，根据幂函数单调性可知在上递增，不符合题意.

对于C选项，为奇函数，不符合题意.

对于D选项，为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，在区间上单调递减，符合题意.故选：AD.

10.【答案】AC

【解析】如图所示，连接､相交于点，连接，.

由正四棱锥，可得底面，，所以.

因为，所以平面，

因为，，分别是，，的中点，

所以，，而，

所以平面平面，所以平面，所以，故A正确；

由异面直线的定义可知:与是异面直线，不可能，因此B不正确；

平面平面，所以平面，因此C正确；

平面，若平面，则，与相矛盾，

因此当与不重合时，与平面不垂直，即D不正确.

故选:AC.

11.【答案】AC

【解析】对于A选项，令，解得，

则函数的定义域是，A选项正确；

对于B选项，函数的最小正周期为，B选项错误；

对于C选项，令，解得，

则函数的单调递增区间是，C选项正确；

对于D选项，令，解得，

则函数的对称中心为，D选项错误.故选：AC.

A．4 B．6 C． D．8

12.【答案】ABC

【解析】如图，

圆：的圆心坐标为，半径为，
直线过定点，由图可知，

圆心到直线距离的最大值为，
则点到直线距离的最大值为.

ABC中的值均不大于，只有D不符合.故选：ABC.

13.【答案】

【解析】，，，

因此，.

故答案为：.

14.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000．

【解析】由频率分布直方图及频率和等于1可得，

解之得．于是消费金额在区间内频率为，所以消费金额在区间内的购物者的人数为：，故应填3；6000．

15.【答案】

【解析】如图,在中,,,,

设底面外接圆的圆心为M,半径为,则,

所以,因为是球的弦,,

因为A、B、C、D四点都在球O的表面上,所以,

所以球O的半径,

所以球的表面积.

16.【答案】；

【解析】因为

当时，，在上单调递增，

因为

所以，解得，即

故答案为：

17.【答案】（1）或；（2）

【解析】（1）由题，或，，或；

（2）由得，则，解得，

由得，则，解得，

∴实数的取值范围为．

18.【答案】（1）（2）见证明；（3）

【解析】（1）∵函数是指数函数，且，

∴，可得或（舍去），∴；

（2）由（1）得，

∴，∴，∴是奇函数；

（3）不等式：，以2为底单调递增，

即，

∴，解集为．

19.【答案】（1）最小正周期为，值域为；（2），，

【解析】（1）

的最小正周期，值域为

（2）令，，解得：，

单调递增区间为，

令，则，    为单调递增区间

令，则，    为单调递增区间

令，则，    为单调递增区间

综上所述：函数的单调递增区间为，，

20.【答案】(1)见证明；(2)见证明

【解析】（1）证明：因为点、分别是棱和的中点，所以，又在矩形中，，所以，

又面，面，所以平面

（2）证明：在矩形中，，又平面平面，平面平面，面，

所以平面，

又面，所以①

因为且是的中点，所以，②

由①②及面，面，，所以平面 .

21.【答案】（Ⅰ）20人（Ⅱ）．

【解析】（Ⅰ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为，分数在区间内的人数为．

所以总体中分数在区间内的人数估计为．

（Ⅱ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为，

所以样本中分数不小于70的男生人数为．

所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为．

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为．

22.【解析】（1）解：由题知，得直线AM的方程为y＝2x+4，

直线AN的方程为yx﹣1，…（2分）

所以，圆心到直线AM的距离d，所以AM＝2，

由中位线定理知，AN，…

由题知kAM•kAN＝﹣1，所以AN⊥AM，S．…（6分）

（2）解：||4，PO2，

所以cos∠OPE．…

所以cos∠FPE＝2cos2∠OPE﹣1＝2（）2﹣1，

所以．…

（3）证明：由题知直线AM和直线AN的斜率都存在，且都不为0，

不妨设直线AM的方程y＝k（x+2），则直线AN的方程为y（x+2），

所以，联立方程，得（x+2）[（1+k2）x+2k2﹣2]＝0，

得x＝﹣2或x，            

所以M（），同理N（），…（13分）

因为x轴上存在一点D（，0），

所以，同理，…（15分）

所以kDN＝kDM，所以直线MN过定点（，0）